Função de Transferência e Diagrama de Blocos

Teoria Completa

Função de Transferência

E aí galera, agora é hora de conhecer mais uma ferramenta muito utilizada em controle.... a função de transferência.

Brincadeiras a parte, ela realmente existe para facilitar nossa vida. Para entendermos bem ela, vamos ver o exemplo abaixo.

Seja um sistema com a seguinte equação do movimento:

10 θ ¨ + 5 θ ˙ = f t       ,       c o m   θ ˙ 0 + = θ 0 + = f 0 + = 0

A transformada de Laplace desse sistema é:

10 s 2 Θ s - s θ 0 + - θ ˙ 0 + + 5 s Θ s - θ 0 + = F ( s )

10 s 2 Θ s + 5 s Θ s = F ( S )

Que pode ser rearrumada assim:

Θ s F s = 1 10 s 2 + 5 s = H ( s )

A função de transferência de um sistema linear, H s ,   é a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace da variável de entrada, com todas as condições iniciais nulas.

Ela é uma forma de representar a dinâmica do sistema. E só pode ser definida em um sistema linear e invariante no tempo. Lembre-se dessa condição, costuma cair com frequência em provas.

Outro detalhe importante sobre a função de transferência é que a ordem do polinômio do numerador deve ser menor ou igual ao do polinômio do denominador.

H s = Y s X s = b 0 s m + b 1 s m - 1 + … + b m - 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n - 1 + … + a n - 1 s + a n         ,   s e n d o   q u e   n ≥ m

Diagrama de blocos

Agora que estamos aqui querendo controlar determinando sistema, mas não dá para fazer isso com o poder da mente, precisamos de uma estrutura que permita realizar o controle, que tal essa aqui?

Não dá para ter noção do que fazer né, kkkkkkk. E uma representação como essa abaixo?

Mais amigável né!?

Quando disse no início que a função de transferência iria facilitar nossa vida, um dos motivos é porque ela permite que nós representemos os componentes principais do sistema através do diagrama de blocos.

Para o diagrama de blocos funcionar em sua totalidade, mais dois componentes devem ser apresentados:

  • Somador: Um círculo com uma cruz, dentro do somador ocorrem as operações de soma ou subtração. É importante que os sinais que entrem no somador tenham as mesmas dimensões e unidades.
  • Ponto de Ramificação: É um ponto no qual o sinal pode ir para outras direções.

Função de Transferência de Malha Aberta e de Malha Fechada

Agora é a hora de unir tudo que foi aprendido, o desenho em diagrama de blocos nos ajuda a esquematizar a matemática realizada pelas funções de transferências.

Quando diagrama de blocos for assim:

Ele vai estar em malha aberta e sua função de transferência de malha aberta (FTMA) vai ser:

F T M A = H s = Y s X s

Relembrando, Y s é a resposta do sistema no domínio da frequência e X s é a excitação do sistema no domínio da frequência.

Já se o diagrama de blocos representar um sistema de malha fechada.

A função de transferência de malha fechada (FTMF) será:

F T M F = H ( s ) 1 + H s = Y s X s = G ( s )

A FTMF representa a simplificação do diagrama de blocos com realimentação para o seu equivalente sem realimentação.

Esta distinção é muito importante, pois facilita nossa vida quando formos analisar a estabilidade dos sistemas para projetar os controladores.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Encontre a função de transferência Y s X s para a seguinte equaçõa diferencial:

9 d 2 X d t 2 + 5 d X d t - X t = 25   Y ( t )

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Passo 1

Bom pessoal, sempre que você tiver uma EDO, como é nosso caso aqui, e precisar da função de transferência, a primeira coisa que devemos fazer é aplicar a transformada de Laplace.

Então vamos fazer isso termo por termo:

L 9 d 2 X d t 2 = 9 s 2 X ( s )

L 5 d X d t = 5 s X ( s )

L   X t = X ( s )

L 25 Y t =   25 Y ( s )

Passo 2

Sendo assim, a expressão no dompinio d frequência fica:

9 s 2 X s + 5 s X s - X s = 25   Y ( s )

Para achar a função de transferência, devemos colocar o X s em evidência no lado esquerdo da equação:

9 s 2 + 5 s - 1 X s = 25 Y ( s )

Agora, só nos resta rearranjar os termos e teremos a nossa função de transferência

X s Y s = 25 9 s 2 + 5 s - 1

Resposta

X s Y s = 25 9 s 2 + 5 s - 1

Exercício Resolvido #2

Richard C. Dorf e Robert H. Bishop, Sistemas de Controle Modernos, 11ª ed. Rio de Janeiro: LTC., 2009, pg. 24 Prob. P1.11.

Determinar a função de transferência em malha fechada Y ( s ) / R ( S ) , quando H s = 15 s 2 + 5 s + 15 e determinar Y ( s ) quando a entrada R ( s ) é um degrau unitário.

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Passo 1

E ai galera, em questões como essa, é necessário fazer a simplificação do diagrama de bloco com realimentação unitária.

A função de transferência de malha fechada (FTMF) será:

F T M F = H ( s ) 1 + H ( s ) = Y s R s = G ( s )

Resultando no seguinte diagrama de bloco:

E para determinar Y ( s ) , utilizamos a definição:

Y s = H s R ( s )

Onde,

R s = 1 s

Passo 2

Agora, substituindo o valor de H s , na FTMF:

F T M F = 15 s 2 + 5 s + 15 1 + 15 s 2 + 5 s + 15 = G ( s )

G s = 15 s 2 + 5 s + 15 + 15 = 15 s 2 + 5 s + 30

Passo 3

Para descobrir Y ( s ) , substituímos R ( s ) na definição Y s = H s R ( s ) .

Y s = 15 s 2 + 5 s + 30 . 1 s

Ao calcular as raízes do denominador, encontramos:

s 1,2 = - 5 2 ± i 95 2

Logo,

Y s = 15 s + 5 2 + i 95 2 s + 5 2 - i 95 2 . 1 s

Resposta

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Escreva o diagrama de blocos correspondente à função de transferência abaixo:

Y s = G 1 1 - G 1 G 2 X 1 s + G 3 s X 2 s G 4

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Passo 1

Começaremos então identificando os sinais de saída e entrada e representando-os. A função de transferência do problema apresenta uma variável de saída, Y s , e duas variáveis de entrada X 1 ( s ) e X 2 s . Então vamos desenhar as setas para essas variáveis.

Passo 2

A variável de entrada X 1 ( s ) está multiplicada por uma expressão que lembra muito a expressão de uma malha de realimentação:

Sendo assim, adicionamos ao nosso diagram a malha de realimentação acima após o sinal de entrada X 1 ( s )

Passo 3

O sinal de entrada X 2 ( s ) está multiplicado apenas por uma função G 3 ( s ) , então adicionamos um bloco para essa função após a entrada do sinal X 2 ( s ) .

Passo 4

Em seguida, esses dois sinais se somam, sendo assim, precisamos adicionar um ponto de somatório no nosso diagrama de blocos.

Passo 5

Finalmente (ufa!!), precisamos adicionar um bloco G 4 que multiplica o somatório dos dois sinais de entrada, e TCHARAN, tá pronto o sorvetinho.

Resposta