Diagrama de Blocos

Teoria Completa

Diagrama de blocos

Agora que estamos aqui querendo controlar determinando sistema, mas não dá para fazer isso com o poder da mente, precisamos de uma estrutura que permita realizar o controle, que tal essa aqui?

Não dá para ter noção do que fazer né, kkkkkkk. E uma representação como essa abaixo?

Mais amigável né!?

Quando disse no início que a função de transferência iria facilitar nossa vida, um dos motivos é porque ela permite que nós representemos os componentes principais do sistema através do diagrama de blocos.

Para o diagrama de blocos funcionar em sua totalidade, mais dois componentes devem ser apresentados:

  • Somador: Um círculo com uma cruz, dentro do somador ocorrem as operações de soma ou subtração. É importante que os sinais que entrem no somador tenham as mesmas dimensões e unidades. A gente usa o somador sempre que tivermos duas informações (dois sinais) que precisam ser combinados para gerar um terceiro sinal. O caso mais clássico é quando precisamos comparar um sinal com um valor pré-estabelecido (setpoint) para calcular um erro. Como está mostrado na figura abaixo.
  • Ponto de Ramificação: É um ponto no qual o sinal pode ir para outras direções. O ponto de ramificação vai parecer sempre que uma informação precisa fazer dois caminhos diferentes. Mas cuidado, quando um sinal se ramifica, as duas ramificações serão idênticas ao sinal original, elas não se dividem.

Função de Transferência de Malha Aberta e de Malha Fechada

Agora é a hora de unir tudo que foi aprendido, o desenho em diagrama de blocos nos ajuda a esquematizar a matemática realizada pelas funções de transferências.

Quando diagrama de blocos for linear, retinho, uma informação entrando no bloco, e outra saindo, sem realimentação, igual o da figura abaixo:

Ele vai estar em malha aberta e sua função de transferência de malha aberta (FTMA) vai ser:

F T M A = H s = Y s X s

Também podemos escrever assim:

Y s = H s X ( s )

Como Y ( s ) é a saída do bloco, nós nos referimos a ele como a resposta do sistema. X ( s ) é o sinal de entrada que causa a resposta Y ( s ) , ele será chamado de entrada do sistema.

Já se o diagrama de blocos representar um sistema com realimentação, ele será do tipo malha fechada. Repare que o sinal da resposta Y ( s ) passa por um ponto de bifurcação e é realimentado no início da malha. Dessa forma, a resposta Y ( s ) depende dela mesma. Abaixo temos um esquema de malha fechada com realimentação unitária (que é quando não tem nenhum bloco na linha da realimentação).

Como a função de transferência depende dela mesma, podemos escrever a expressão para Y ( s ) da seguinte forma:

Y s = X s H s - Y s H ( s )

Repare que Y ( s ) é a diferença (por causa do sinal negativo no somatório) entre a entrada X ( s ) e a própria resposta Y ( s ) . Como o bloco H ( s ) se encontra após o ponto do somatório, ele multiplica ambos os sinais.

Podemos então fazer algumas manipulações para encontrar a função de transferência da malha:

Y s + Y s H s = H s X ( s )

Y s 1 + H s = H s X ( s )

Y s X s = H s 1 + H s

A FTMF representa a simplificação do diagrama de blocos com realimentação para o seu equivalente sem realimentação.

F T M F = H ( s ) 1 + H s = Y s X s = G ( s )

Esta distinção é muito importante, pois facilita nossa vida quando formos analisar a estabilidade dos sistemas para projetar os controladores.

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Exercício Resolvido #1

Richard C. Dorf e Robert H. Bishop, Sistemas de Controle Modernos, 11ª ed. Rio de Janeiro: LTC., 2009, pg. 24 Prob. P1.11.

Determinar a função de transferência em malha fechada Y ( s ) / R ( S ) , quando H s = 15 s 2 + 5 s + 15 e determinar Y ( s ) quando a entrada R ( s ) é um degrau unitário.

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Passo 1

E ai galera, em questões como essa, é necessário fazer a simplificação do diagrama de bloco com realimentação unitária.

A função de transferência de malha fechada (FTMF) será:

F T M F = H ( s ) 1 + H ( s ) = Y s R s = G ( s )

Resultando no seguinte diagrama de bloco:

E para determinar Y ( s ) , utilizamos a definição:

Y s = H s R ( s )

Onde,

R s = 1 s

Passo 2

Agora, substituindo o valor de H s , na FTMF:

F T M F = 15 s 2 + 5 s + 15 1 + 15 s 2 + 5 s + 15 = G ( s )

G s = 15 s 2 + 5 s + 15 + 15 = 15 s 2 + 5 s + 30

Passo 3

Para descobrir Y ( s ) , substituímos R ( s ) na definição Y s = H s R ( s ) .

Y s = 15 s 2 + 5 s + 30 . 1 s

Ao calcular as raízes do denominador, encontramos:

s 1,2 = - 5 2 ± i 95 2

Logo,

Y s = 15 s s + 5 2 + i 95 2 s + 5 2 - i 95 2

Resposta

Y s = 15 s s + 5 2 + i 95 2 s + 5 2 - i 95 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Encontre a função de transferência Y s X s para a seguinte equaçõa diferencial:

9 d 2 y ( t ) d t 2 + 5 d y ( t ) d t - y t = 25   x ( t )

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Passo 1

Bom pessoal, sempre que você tiver uma EDO, como é nosso caso aqui, e precisar da função de transferência, a primeira coisa que devemos fazer é aplicar a transformada de Laplace.

Então vamos fazer isso termo por termo:

L 9 d 2 y ( t ) d t 2 = 9 s 2 Y ( s )

L 5 d y ( t ) d t = 5 s Y ( s )

L   y t = Y ( s )

L 25 X t =   25 X ( s )

Passo 2

Sendo assim, a expressão no dompinio d frequência fica:

9 s 2 Y s + 5 s Y s - Y s = 25   X ( s )

Para achar a função de transferência, devemos colocar o Y s em evidência no lado esquerdo da equação:

9 s 2 + 5 s - 1 Y s = 25 X ( s )

Agora, só nos resta rearranjar os termos e teremos a nossa função de transferência

Y s X s = 25 9 s 2 + 5 s - 1

Resposta

Y s X s = 25 9 s 2 + 5 s - 1

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Escreva o diagrama de blocos correspondente à função de transferência abaixo:

Y s = G 1 1 - G 1 G 2 X 1 s + G 3 s X 2 s G 4

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Passo 1

Começaremos então identificando os sinais de saída e entrada e representando-os. A função de transferência do problema apresenta uma variável de saída, Y s , e duas variáveis de entrada X 1 ( s ) e X 2 s . Então vamos desenhar as setas para essas variáveis.

Passo 2

A variável de entrada X 1 ( s ) está multiplicada por uma expressão que lembra muito a expressão de uma malha de realimentação:

Sendo assim, adicionamos ao nosso diagram a malha de realimentação acima após o sinal de entrada X 1 ( s )

Passo 3

O sinal de entrada X 2 ( s ) está multiplicado apenas por uma função G 3 ( s ) , então adicionamos um bloco para essa função após a entrada do sinal X 2 ( s ) .

Passo 4

Em seguida, esses dois sinais se somam, sendo assim, precisamos adicionar um ponto de somatório no nosso diagrama de blocos.

Passo 5

Finalmente (ufa!!), precisamos adicionar um bloco G 4 que multiplica o somatório dos dois sinais de entrada, e TCHARAN, tá pronto o sorvetinho.

Resposta

Exercício Resolvido #4

Prof. Ninoska Bojorge, UFF, Lista 2 2017.1. Adaptado

Desenhe o diagrama de blocos que representa a função de transferência abaixo:

Y s = G 1 k 2 - k 3 τ s + 1 X 1 s + G 4 - 1 X 2 ( s )

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Passo 1

Para montar esse coleguinha, precisamos identificar as variáveis de entrada e saída da função de transferência. Essa FT tem uma variável de saída, Y s , e duas variáveis de entrada, X 1 ( s ) e X 2 ( s ) . Vamos respresentar as setas dessas variáveis então:

Passo 2

Vamos analisar o “caminho” que cada variável de entrada faz para resultar na variável de saída. A variável X 1 ( s ) , multiplica uma diferença de duas funções k 2 - K 3 τ s + 1 , isso indica um ponto de ramificação em X 1 ( s ) :

Passo 3

Ainda em X 1 ( s ) é possível notar que o sinal também multiplica uma função G 1 , sendo assim:

Passo 4

Em X 2 , também é possível notar um ponto de ramificação devido ao termo ( G 4 - 1 ) , portanto:

A linha reta indica que não existe nenhuma alteração no sinal, ou, em outras palavras, que a função de transferência naquele trecho é 1 .

Passo 5

Por fim, os dois termos provenientes dos sinais de entrada se encontram e se somam, resultando nessa belezinha de diagrama aqui:

Resposta

Exercício Resolvido #5

Prof. Ninoska Bojorge, UFF, Lista 2 2017.1. Adaptado

Desenhe o diagrama de blocos que representa a função de transferência abaixo:

Y s = G 1 G 2 G 3 G 4 1 - G 1 G 2 G 3 G 5 X ( s )

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Passo 1

Como sempre, começamos representando os sinais de entrada e de saída. Essa tá de boa, um sinal de entrada X ( s ) , e um sinal de saída Y ( s )

Passo 2

Agora vem a pegadinha da questão. Olhando a função de transferência dada você já vai logo falar: MALHA DE REALIMENTAÇÃO!!! Sim, meu guerreirinho, é uma malha de realimentação, mas repare que o termo G 4   aparece no numerador mas não aparece no denominador, isso indica então que ele não faz parte da malha de realimentação.

O termo G 5 aparece no denominador mas não aparece no numerador, e isso é ok, quer dizer que o bloco G 5 está no loop, ou na corrente de realimentação.

Passo 3

Agora falta apenas representar o bloco da função G 4 . Como blocos em série multiplicam as funçãoes, basta colocar o bloco da função G 4 em seguida da malha de realimentação.

Resposta

Exercício Resolvido #6

Smith & Corripio, Princípios e Prática do Controle Automático de Processos, 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pag 93, 3-19

Desenhe o diagrama de blocos representando as seguintes funções de transferência. Em cada caso não faça nenhuma manipulação algébrica para simplificar as funções de transferência.

  1. Y s = K 1 τ 1 s + 1 X 1 s + K 2 τ 2 s + 1 X 2 s
  2. Y s = 1 τ s + 1 K 1 F 1 s - K 2 F 2 s  
  3. Y 1 s = G 1 s X s + G 3 s Y 2 s

Y 2 s = G 2 s Y 1 ( s )

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Passo 1

Item a)

Para montar o diagrama de bloco, devemos analisar nossas entradas e saídas. No item a nós temos uma saída, Y s , e duas entradas, X 1 ( s ) e X 2 ( s ) , então vamos representa-las:

Passo 2

A entrada X 1 s está multiplicada por um termo K 1 τ 1 s + 1 enquanto a entrada X 2 ( s ) está multiplicada por um termo K 2 τ 2 s + 1 . Esses serão nossos blocos, vamos então representa-los:

Passo 3

Para obter a variável de saída, devemos somar os dois termos das variáveis de entrada. Faremos isso introduzindo um ponto de somatório.

Passo 4

Item b)

Novamente temos duas entradas, F 1 ( s ) e F 2 ( s ) , e uma saída, Y ( s ) . Vamos começar respresentando essas entradas e saídas:

Passo 5

A entrada F 1 ( s ) é multiplicada por um termo K 1 , enquanto a entrada F 2 s é multiplicada por um termo K 2 . Em seguida, esses dois termos se encontram, sendo que a entrada de X 2 ( s ) tem sinal negativo, sendo assim:

Passo 6

Em seguida, todo resultado do ponto de soma é multiplicado por um termo K τ s + 1 , o que resulta no sinal de saída:

Passo 7

Item c)

Nesse item, não fica claro quais são nossas entradas e saídas, além disso nós temos duas equações, o que pode complicar um pouco mais nossa vida. Mas vamos com calma.

Se analisarmos bem a primeira equação, perceberemos que ela é extremamente similar com a equação do item a). Sendo assim, usaremos a resposta do primeiro item, substituindo os sinais e blocos pelos valores adequados para respresentar a primeira equação

Passo 8

Agora já temos a primeira parte do nosso diagrama representada, e podemos focar na segunda expressão. Ela estabelece uma relação entre Y 2 s e Y 1 ( s ) . Representando essa relação em forma de diagram de blocos, teremos:

Resposta

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Considere o sistema constituído por dois tanques em cascata conforme mostrado na figura abaixo.

Sendo as equações que governam esse sistema no domínio da frequência:

A 1 s H 1 s = Q 0 - Q 1

A 2 s H 2 s = Q 1 - Q 2

Q 1 = H 1 s R 1

Q 2 = H 2 s R 2

Obter o diagrama de blocos que relaciona a saída Q 2 com a entrada Q 1

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Passo 1

Nessas questões em que temos as equações que governam o sistema e nos é pedido para obter o diagrama de blocos, trabalhamos como se estivéssemos montando um quebra cabeça.

Nós temos dois componentes do diagrama de blocos para nos auxiliar: o somador e o ponto de ramificação.

Muitas vezes é necessário rearrumar a equação de governo para facilitar a construção do diagrama de blocos. No nosso caso, será necessário isolar as alturas H 1 e H 2 .

Passo 2

Como temos duas equações de governo com uma diferença entre termos de vazão, vamos expressar isso como um somador.

A 1 s H 1 s = Q 0 - Q 1

A 2 s H 2 s = Q 1 - Q 2

Passo 3

Após utilizarmos os somadores, verificamos que nossos erros E ( s ) são bem parecidos com as equações de governo. Precisamos agora rearrumarmos as equações para verificarmos o que precisa ser multiplicado ao erro para fazer aparecer as variáveis H 1 e H 2 .

Rearrumando elas,

H 1 s = 1 A 1 s ( Q 0 - Q 1 )

H 2 s = 1 A 2 s ( Q 1 - Q 2 )

Ou seja, aos nossos erros:

E 1 s = Q 0 - Q 1

E 2 s = Q 1 - Q 2

Multiplicamos:

1 A 1 s   e   1 A 2 s

Isso vai ser representado no diagrama de blocos como uma função de transferência em que entra os erros E 1 s , E 2 ( s ) e sai as alturas H 1 s , H 2 ( s ) .

Passo 4

Estamos próximo do fim, nosso próximo recurso a ser utilizado é um ponto de ramificação, pois vemos que tanto no primeiro quanto no segundo diagrama de blocos, temos que fazer aparecer as vazões Q 1   e Q 2 .

Nós já usamos as duas primeiras equações de governo, temos mais duas para poder ser utilizadas.

Rearrumando as duas para deixar em evidência as vazões e verificarmos o que está faltando.

Q 1 = 1 R 1 . H 1 ( s )

Q 2 = 1 R 2 . H 2 ( s )

Opa, verificamos que temos uma função de transferência aí também, que relaciona minhas alturas como entrada e me devolve como saída as vazões. Aplicando isso no diagrama de blocos.

Como precisamos correlacionar Q 2 com Q 1 , unimos os diagramas de blocos.

Resposta