Exercícios Resolvidos de Soluções Tabeladas para Condução Transiente

Ver Teoria

Enunciado

Considere condução de calor transiente e unidimensional em uma placa plana com propriedades constante e espessura L .

A placa, que se encontra inicialmente na temperatura uniforme T i , troca calor através de sua superfície em x = 0 por convecção com um meio na temperatura T ∞ com coeficiente de transferência de calor h .

A superfície em x = L é mantida na temperatura constante T L . Sabendo-se que a geração de energia na placa é nula, forneça para este problema:

i Formulação matemática.

i i Solução analítica.

Passo 1

i Formulação matemática.

Para chegar à formulação matemática, vamos partir da equação de calor, dada por:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Vamos fazer as seguintes considerações:

  • Condução de calor unidimensional;
  • Condução transiente;
  • Propriedades constantes;
  • Não há geração térmica.

Assim, a equação de calor pode ser escrita da seguinte forma:

k ∂ 2 T ∂ x 2 = ρ c p ∂ T ∂ t

∂ 2 T ∂ x 2 = ρ c p k ∂ T ∂ t

Para condição inicial, o problema nos disse que:

Como condições de contorno, o problema nos disse que a superfície em x = 0 troca calor por convecção e a superfície em x = L é mantida à temperatura constante T L .

Assim:

Passo 2

i i Solução analítica.

Para encontrar a solução analítica, vamos partir do princípio que o problema possui uma solução homogênea (a qual vamos calcular a partir das soluções tabeladas) e uma solução particular (não-homogênea, que teremos que resolver), que depende somente de x .

Assim:

T x , t = T h x , t + T p x , t

Aplicando isso à nossa formulação matemática, teremos:

∂ 2 T h ∂ x 2 + ∂ 2 T p ∂ x 2 = 1 α ∂ T h ∂ t - k d T h d x + h T h - k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = 0 T h + T p = T L p a r a   x = L T h = T i p a r a   t = 0

Separando os dois problemas, teremos:

∂ 2 T h ∂ x 2 = 1 α ∂ T h ∂ t - k d T h d x + h T h = 0 p a r a   x = 0 T h = 0 p a r a   x = L T h = T i p a r a   t = 0

∂ 2 T p ∂ x 2 = 0 - k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = 0 T p = T L p a r a   x = L

Passo 3

Começando pela solução homogênea:

∂ 2 T h ∂ x 2 = 1 α ∂ T h ∂ t - k d T h d x + h T h = 0 p a r a   x = 0 T h = 0 p a r a   x = L T h = T i p a r a   t = 0

Pelas condições de contorno, este corresponde ao caso 7 da nossa tabela, onde:

ψ λ n , x = sen ⁡ λ n L - x

1 N = 2 λ n 2 + H 2 L λ n 2 + H 2 + H

Sendo λ n as raízes da seguinte expressão:

λ n cot ⁡ λ n L = - H

Sendo H = h / k . Assim, a solução homogênea será dada por:

T h x , t = ∑ n = 1 ∞ 1 N . exp ⁡ - α . λ n 2 t . ψ λ n , x . ∫ 0 L F x . ψ λ n , x . d x

T h x , t = ∑ n = 1 ∞ 2 λ n 2 + H 2 L λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n L - x ∫ 0 L T i sen ⁡ λ n L - x . d x

Agora é arrumar a casa:

T h x , t = 2 T i L ∑ n = 1 ∞ λ n 2 + H 2 λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n L - x ∫ 0 L sen ⁡ λ n L - x . d x

Vamos resolver essa integral separadamente:

I = ∫ 0 L sen ⁡ λ n L - x . d x

I = cos ⁡ λ n L - x λ n 0 L

I = 1 - cos ⁡ λ n L λ n

Finalmente, a solução homogênea será:

T h x , t = 2 T i L ∑ n = 1 ∞ λ n 2 + H 2 λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n L - x 1 - cos ⁡ λ n L λ n

Onde λ n é a raiz de:

λ n cot ⁡ λ n L = - H

A partir da expressão acima, podemos chegar à expressão de sen ⁡ λ n L da seguinte forma:

λ n cot ⁡ λ n L = - H → cot ⁡ λ n L = - H λ n

A partir dessa expressão da tangente, podemos pensar no seguinte triângulo retângulo:

Onde:

cos ⁡ λ n L = H H 2 + λ n 2

Finalmente:

Passo 4

Para a solução particular, temos que:

∂ 2 T p ∂ x 2 = 0 - k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = 0 T p = T L p a r a   x = L

Integrando uma vez a equação duas vezes, temos que:

d T p d x = C 1

T p x = C 1 x + C 2

Aplicando à primeira condição de contorno, para x = 0 :

- k d T p d x + h T p = h T ∞

- k . C 1 + h . C 1 × 0 + C 2 = h T ∞

- k . C 1 + h . C 2 = h T ∞

C 2 = T ∞ + k h . C 1

Aplicando a segunda condição de contorno, para x = L :

C 1 L + C 2 = T L

Substituindo a expressão de C 2 que acabamos de encontrar:

C 1 L + T ∞ + k h . C 1 = T L

C 1 = T L - T ∞ h L + k

A constante C 2 será:

C 2 = T L - C 1 L

C 2 = T L - T L - T ∞ h L + k L

Dessa forma, a solução particular será:

T p x = C 1 x + C 2

T p x = T L - T ∞ h L + k x + T L - T L - T ∞ h L + k L

Passo 5

Finalmente, a solução analítica do problema será:

T x , t = T h x , t + T p x , t

Substituindo as soluções:

Resposta

i

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ∂ T ∂ t

T x , t = T i p a r a   t = 0

- k d T d x + h T = h T ∞ p a r a   x = 0

T x , t = T L p a r a   x = L

i i

T x , t = 2 T i L ∑ n = 1 ∞ λ n 2 + H 2 λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n L - x 1 λ n H H 2 + λ n 2 + T L + T L - T ∞ h L + k   x - L

Exercícios de Livros Relacionados

O Problema 4.9 tratou do armazenamento de lixo radioativo no subsolo em recipientes esféricos. Em função das incertezas nas propriedades térmicas do solo, deseja-se medir a temperatura em regime estac
Deduza uma expressão para a razão da energia total transferida a partir da superfície isotérmica de um cilindro infinito para o seu interior, Q / Q o , que seja válida para F o0,2 . Represente os seus
Os componentes estruturais de uma aeronave moderna são normalmente fabricados com materiais compósitos de alto desempenho. Esses materiais são fabricados pela impregnação de malhas de fibras extremame
Bombas de calor, com base no subsolo, operam usando o solo, em vez do ar ambiente, como a fonte de calor (ou sumidouro) para aquecimento (ou resfriamento) de construções. Um líquido troca energia com
86 – Durante os meses de inverno frio, um escritório é parcialmente aquecido extraindo energia térmica armazenado no solo abaixo, usando uma bomba de calor. Durante o verão, o prédio é parcialmente re