Soluções Tabeladas para Condução Transiente

Teoria Completa

Introdução

Um dos principais objetivos quando estudamos a condução de calor é determinar a distribuição de temperaturas no interior de um corpo.

Para casos em que B i < 0,1 , podemos usar o Método dos Parâmetros Concentrados. Quando B i > 0,1 , temos a opção de usar o Método dos Efeitos Espaciais.

No entanto, quando estamos trabalhando com placas planas, podemos usar soluções tabeladas para resolver a equação de calor.

Vamos pensar na seguinte situação:

Uma placa de espessura L , confinada a uma região 0 ≤ x ≤ L , está inicialmente a uma temperatura uniforme T i . Em t > 0 , a superfície x = 0 é conservada isolada e a superfície em x = L é mantida a uma temperatura constante T ∞ .

O nosso objetivo aqui é desenvolver a expressão da distribuição transiente de temperatura na placa.

Formulação Matemática do Problema

A equação de calor é dada por:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Para representar o nosso problema, vamos fazer as seguintes considerações:

  • Transferência de calor unidimensional;
  • Transferência de calor sem geração térmica q ˙ = 0 ;
  • Propriedades térmicas constantes.

Dessa forma, a nossa equação de calor fica com essa cara:

∂ 2 T x , t ∂ x 2 = 1 α . ∂ T x , t ∂ t

Em que α = k / ρ c p é a difusividade térmica do material.

Para que as condições de contorno sejam homogêneas, vamos definir uma nova temperatura θ x , t , dada por:

θ x , t = T x , t - T ∞

Dessa forma, a equação de calor terá essa cara:

∂ 2 θ x , t ∂ x 2 = 1 α . ∂ θ x , t ∂ t

As condições de contorno serão de superfície isolada em x = 0 , e superfície a temperatura constante em x = L . Dessa forma:

∂ θ x , t ∂ x = 0 e m   x = 0

θ x , t = 0 e m   x = L

E a condição inicial será dada por:

θ x , t = T i - T ∞ = θ i e m   t = 0

Soluções Tabeladas

A equação de calor que encontramos é resolvida através do método de separação de variáveis. O mesmo pressupõe que a função θ x , t pode ser representada como o produto de duas funções que dependem de x e t , separadamente:

θ x , t = ψ x . Γ t

Aplicando esse método e resolvendo a equação de calor, podemos representar a temperatura θ x , t como:

Tá, eu sei que assusta, então vamos entender quem é quem! A função F x corresponde à distribuição inicial de temperatura.

No nosso caso, como a placa está inicialmente a uma temperatura uniforme T i :

F x = θ i

Além disso:

  • ψ λ n , x : Autofunções;
  • λ n : Autovalores;
  • 1 / N : Integral de normalização.

Esses três caras são justamente o que a nossa tabela irá fornecer. Assim, pra determinar esses caras, basta saber as condições de contorno, se liga:

Onde H = h / k .

Na tabela, temos as seguintes condições de contorno:

  • ψ = 0 : Temperatura constante;
  • d ψ / d x = 0 : Superfície isolada;
  • - k . d ψ / d x + h ψ = 0 : Convecção na superfície.

Voltando ao nosso problema...

No nosso caso, temos uma condição de superfície isolada em x = 0 d ψ / d x = 0 e temperatura constante em x = L ψ = 0 .

Isso corresponde ao caso 4 da tabela. Dessa forma, a autofunção será:

Onde λ n é o autovalor dado como solução da seguinte equação:

cos ⁡ λ n L = 0

O cosseno será nulo para quando o ângulo assumir algum dos seguintes valores:

λ n L = π 2 ,   3 π 2 ,   5 π 2 ,   7 π 2 ,   9 π 2 , …

Logo, podemos dizer que:

λ n L = 2 n - 1 π 2

n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

E a integral de normalização será:

Dessa forma, substituindo tudo isso na expressão de θ x , t , teremos:

θ x , t = ∑ n = 1 ∞ 1 N . exp ⁡ - α . λ n 2 t . ψ λ n , x . ∫ 0 L F x . ψ λ n , x . d x

θ x , t = ∑ n = 1 ∞ 2 L . exp ⁡ - α . λ n 2 t . cos ⁡ λ n x . ∫ 0 L θ i . cos ⁡ λ n x . d x

θ x , t = 2 L . θ i . ∑ n = 1 ∞ exp ⁡ - α . λ n 2 t . cos ⁡ λ n x . ∫ 0 L cos ⁡ λ n x . d x

Vamos resolver a integral separada pra não bagunçar demais:

I = ∫ 0 L cos ⁡ λ n x . d x = sen ⁡ λ n x λ n 0 L

I = 1 λ n sen ⁡ λ n L = 1 λ n sen ⁡ 2 n - 1 π 2 L . L

I = 1 λ n sen ⁡ 2 n - 1 π 2

Repare que, quando n for par, o seno será igual a - 1 e, quando n for ímpar, o seno será igual a 1 . Assim, podemos reescrever o resultado acima como:

I = 1 λ n - 1 n + 1

Substituindo na expressão da temperatura, teremos:

Onde:

λ n = 2 n - 1 π 2 L

Agora estamos prontos pra cair nos exercícios!

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Exercício Resolvido #1

Questão 5, UFRJ, P1-2007.1

Considere condução de calor transiente e unidimensional em uma placa plana com propriedades constante e espessura L .

A placa, que se encontra inicialmente na temperatura uniforme T i , troca calor através de sua superfície em x = 0 por convecção com um meio na temperatura T ∞ com coeficiente de transferência de calor h .

A superfície em x = L é mantida na temperatura constante T L . Sabendo-se que a geração de energia na placa é nula, forneça para este problema:

i Formulação matemática.

i i Solução analítica.

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Passo 1

i Formulação matemática.

Para chegar à formulação matemática, vamos partir da equação de calor, dada por:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Vamos fazer as seguintes considerações:

  • Condução de calor unidimensional;
  • Condução transiente;
  • Propriedades constantes;
  • Não há geração térmica.

Assim, a equação de calor pode ser escrita da seguinte forma:

k ∂ 2 T ∂ x 2 = ρ c p ∂ T ∂ t

∂ 2 T ∂ x 2 = ρ c p k ∂ T ∂ t

Para condição inicial, o problema nos disse que:

Como condições de contorno, o problema nos disse que a superfície em x = 0 troca calor por convecção e a superfície em x = L é mantida à temperatura constante T L .

Assim:

Passo 2

i i Solução analítica.

Para encontrar a solução analítica, vamos partir do princípio que o problema possui uma solução homogênea (a qual vamos calcular a partir das soluções tabeladas) e uma solução particular (não-homogênea, que teremos que resolver), que depende somente de x .

Assim:

T x , t = T h x , t + T p x , t

Aplicando isso à nossa formulação matemática, teremos:

∂ 2 T h ∂ x 2 + ∂ 2 T p ∂ x 2 = 1 α ∂ T h ∂ t - k d T h d x + h T h - k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = 0 T h + T p = T L p a r a   x = L T h = T i p a r a   t = 0

Separando os dois problemas, teremos:

∂ 2 T h ∂ x 2 = 1 α ∂ T h ∂ t - k d T h d x + h T h = 0 p a r a   x = 0 T h = 0 p a r a   x = L T h = T i p a r a   t = 0

∂ 2 T p ∂ x 2 = 0 - k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = 0 T p = T L p a r a   x = L

Passo 3

Começando pela solução homogênea:

∂ 2 T h ∂ x 2 = 1 α ∂ T h ∂ t - k d T h d x + h T h = 0 p a r a   x = 0 T h = 0 p a r a   x = L T h = T i p a r a   t = 0

Pelas condições de contorno, este corresponde ao caso 7 da nossa tabela, onde:

ψ λ n , x = sen ⁡ λ n L - x

1 N = 2 λ n 2 + H 2 L λ n 2 + H 2 + H

Sendo λ n as raízes da seguinte expressão:

λ n cot ⁡ λ n L = - H

Sendo H = h / k . Assim, a solução homogênea será dada por:

T h x , t = ∑ n = 1 ∞ 1 N . exp ⁡ - α . λ n 2 t . ψ λ n , x . ∫ 0 L F x . ψ λ n , x . d x

T h x , t = ∑ n = 1 ∞ 2 λ n 2 + H 2 L λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n L - x ∫ 0 L T i sen ⁡ λ n L - x . d x

Agora é arrumar a casa:

T h x , t = 2 T i L ∑ n = 1 ∞ λ n 2 + H 2 λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n L - x ∫ 0 L sen ⁡ λ n L - x . d x

Vamos resolver essa integral separadamente:

I = ∫ 0 L sen ⁡ λ n L - x . d x

I = cos ⁡ λ n L - x λ n 0 L

I = 1 - cos ⁡ λ n L λ n

Finalmente, a solução homogênea será:

T h x , t = 2 T i L ∑ n = 1 ∞ λ n 2 + H 2 λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n L - x 1 - cos ⁡ λ n L λ n

Onde λ n é a raiz de:

λ n cot ⁡ λ n L = - H

A partir da expressão acima, podemos chegar à expressão de sen ⁡ λ n L da seguinte forma:

λ n cot ⁡ λ n L = - H → cot ⁡ λ n L = - H λ n

A partir dessa expressão da tangente, podemos pensar no seguinte triângulo retângulo:

Onde:

cos ⁡ λ n L = H H 2 + λ n 2

Finalmente:

Passo 4

Para a solução particular, temos que:

∂ 2 T p ∂ x 2 = 0 - k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = 0 T p = T L p a r a   x = L

Integrando uma vez a equação duas vezes, temos que:

d T p d x = C 1

T p x = C 1 x + C 2

Aplicando à primeira condição de contorno, para x = 0 :

- k d T p d x + h T p = h T ∞

- k . C 1 + h . C 1 × 0 + C 2 = h T ∞

- k . C 1 + h . C 2 = h T ∞

C 2 = T ∞ + k h . C 1

Aplicando a segunda condição de contorno, para x = L :

C 1 L + C 2 = T L

Substituindo a expressão de C 2 que acabamos de encontrar:

C 1 L + T ∞ + k h . C 1 = T L

C 1 = T L - T ∞ h L + k

A constante C 2 será:

C 2 = T L - C 1 L

C 2 = T L - T L - T ∞ h L + k L

Dessa forma, a solução particular será:

T p x = C 1 x + C 2

T p x = T L - T ∞ h L + k x + T L - T L - T ∞ h L + k L

Passo 5

Finalmente, a solução analítica do problema será:

T x , t = T h x , t + T p x , t

Substituindo as soluções:

Resposta

i

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ∂ T ∂ t

T x , t = T i p a r a   t = 0

- k d T d x + h T = h T ∞ p a r a   x = 0

T x , t = T L p a r a   x = L

i i

T x , t = 2 T i L ∑ n = 1 ∞ λ n 2 + H 2 λ n 2 + H 2 + H exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n L - x 1 λ n H H 2 + λ n 2 + T L + T L - T ∞ h L + k   x - L

Exercício Resolvido #2

Questão 2, UFRJ, P1-2005.2

(Adaptado) Um chip, com base quadrada de lado L = 5   m m e espessura t = 1   m m , é montado em um substrato. O substrato comporta-se como um isolante ideal. O chip é resfriado por convecção forçada de ar através da sua superfície superior, que é a única não isolada pelo substrato.

A temperatura do ar é 20 ° C e o coeficiente de transferência de calor é 150   W / m 2 K . O chip encontra-se inicialmente desligado e em equilíbrio com o ar. Quando o chip é ligado, energia é gerada uniformemente em seu interior com uma taxa volumétrica q ˙ = 9 × 10 6   W / m 3 .

Forneça:

i Formulação matemática do problema.

i i Solução analítica.

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Passo 1

i Formulação matemática do problema.

Para chegar à formulação matemática, vamos partir da equação de calor, dada por:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Vamos fazer as seguintes considerações:

  • Condução de calor unidimensional;
  • Condução transiente;
  • Propriedades constantes;

Assim, a equação de calor pode ser escrita da seguinte forma:

k ∂ 2 T ∂ x 2 + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

∂ 2 T ∂ x 2 + q ˙ k = ρ c p k ∂ T ∂ t

Para condição inicial, o problema nos disse que o chip encontra-se inicialmente em equilíbrio com o ar, assim:

Como condições de contorno, o problema nos disse que uma das superfícies está termicamente isolada x = 0 , e há troca de calor por convecção com o ar na outra superfície x = L .

Assim:

Passo 2

i i Solução analítica.

Nós vamos dividir a solução em uma solução homogênea (que vamos calcular a partir das soluções tabeladas) e uma solução particular (não-homogênea, que teremos que resolver), que depende somente de x .

Assim:

T x , t = T h x , t + T p x , t

Aplicando isso à nossa formulação matemática, teremos:

∂ 2 T h ∂ x 2 + ∂ 2 T p ∂ x 2 + q ˙ k = 1 α ∂ T h ∂ t d T h d x + d T p d x = 0 p a r a   x = 0 k d T h d x + h T h + k d T p d x + h T p = h T ∞ p a r a   x = L T h = T ∞ p a r a   t = 0

Separando os dois problemas, teremos:

∂ 2 T h ∂ x 2 = 1 α ∂ T h ∂ t d T h d x = 0 p a r a   x = 0 k d T h d x + h T h = 0 p a r a   x = L T h = T ∞ p a r a   t = 0