Exercícios Resolvidos de Tensão Cisalhante Média e Esforço Cortante

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 40-1.15.

As componentes de madeira A e B devem ser unidas por cobrejuntas de madeira compensada que serão totalmente coladas às superfícies em contato. Como parte do projeto da junção, e sabendo que a folga entre as extremidades das componentes deve ser 6   m m , determine o comprimento L mínimo permitido para que a tensão de cisalhamento média na cola não exceda 700   k P a .

Passo 1

As madeiras tentam cisalhar (cortar) a cola, gerando uma uma força cisalhante interna V na cola, e, consequentemente, uma tensão de cisalhamento média τ = V / A nela.

Quando τ excede 700   k P a , a cola falha e as madeiras se soltam.

Como reação ao esforço interno V que as madeiras geram na cola, a cola faz forças de mesma intensidade V nas madeiras. São essas forças que mantêm as madeiras juntas e em equilíbrio:

Como sempre, A é a seção resistente à força cisalhante.

Pensa aí! A seção da cola resistente à essas forças V é a área retangular na junção entre duas madeiras.

Essa área retangular A = b * h possui base b = 75   m m e altura h , como mostram a figura original do exercício e a figura acima, respectivamente.

Para resolver o exercício vamos ter que:

  • Calcular a força cisalhante interna V na cola;
  • Calcular a área da cola A = b * h resistente à essa força V . Essa área vai ser encontrada em função de h para evitar muitos cálculos;
  • Inserir esses valores na fórmula de tensão cisalhante média τ = V / A e aplicar a condição τ ≤ 700   k P a para encontrar o valor mínimo que h deve ter;
  • Usar a relação L = 2 h + 6   m m (retirada da figura acima) para finalmente encontrar o valor mínimo que L deve ter.
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Passo 2

Para calcular a força cisalhante interna V , vamos observar o equilíbrio de uma madeira:

Todas as forças estão na vertical, então só precisamos fazer o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

Como a força de 15   k N aponta para cima e as forças V apontam para baixo:

15   k N - V - V = 0

2 V = 15   k N

V = 7,5   k N

Vamos guardar esse valor!

Passo 3

Próximo passo é calcular a área A da seção resistente de cola ao esforço interno V .

Como a área é retangular:

A = b * h

Substituindo b = 75   m m :

A = 75   m m h

Passo 4

V e A calculados, hora da fórmula da tensão cisalhante média

τ = V A

Substituindo os valores encontrados para V e A :

τ = 7,5   k N 75   m m h

Lembra aí! Queremos saber qual o valor mínimo de h tal que τ ≤ 700   k P a . Então vamos aplicar essa condição:

7,5   k N 75   m m h = τ ≤ 700   k P a

7,5   k N 75   m m h ≤ 700   k P a

Isolando h :

7,5   k N 75   m m 700   k P a ≤ h

Passo 5

Pausa para observar as unidades dessa última equação:

k N m m * k P a

(Se quiser, pode fazer essa pausa em uma folha de rascunho!)

Lembra aí! Pascal ( P a ) é o mesmo que newtons por metro quadrado ( N / m 2 ).

Então podemos substituir k P a por k N / m 2 :

k N m m * k P a = k N m m k N m 2

Cortando k N com k N :

k N m m * k P a = 1 m m 1 m 2

Arrumando as unidades:

k N m m * k P a =   m 2 m m

Substituindo m por 10 3   m m :

k N m m * k P a = 10 3   m m 2 m m

  k N m m * k P a = 10 6   m m 2 m m

k N m m * k P a = 10 6   m m

Passo 6

Voltando para a nossa equação:

7,5   k N 75   m m 700   k P a ≤ h

Como k N / m m * k P a = 10 6   m m :

7,5 ( 75 ) ( 700 ) 10 6   m m ≤ h

Calculando:

143   m m ≤ h

Ou seja, o valor mínimo de h é 143   m m .

Passo 7

Agora só falta aplicar a relação L = 2 h + 6   m m , como mostra a figura:

Aplicando essa relação e substituindo o valor mínimo de h ( h = 143   m m ), encontramos o valor mínimo de L :

L = 2 h + 6   m m

L = 2 143   m m + 6   m m

Resposta

L = 292   m m

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