Exercícios Resolvidos de Tensão Cisalhante Média

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 41-1.17.

Duas pranchas de madeira, cada uma com 12   m m de espessura e 225   m m de largura são unidas pela junta de encaixe mostrada na figura. Sabendo que a madeira utilizada rompe por cisalhamento ao longo das fibras quando a tensão de cisalhamento média alcança 8   M P a , determine a intensidade P da carga axial que romperá a junta.

Passo 1

Existem 6 conexões que estão resistindo ao cisalhamento gerado pela força P :

Observando uma dessas conexões de perto, conseguimos identificar uma seção resistente ao cisalhamento, como indicado pela linha tracejada na figura abaixo:

Cada uma dessas 6 seções resistentes possui dimensões de 16   m m   ×   12   m m :

  • a dimensão de 16   m m vem da figura original do exercício;
  • e a de 12   m m corresponde à espessura das pranchas de madeira.

Para o equilíbrio da prancha de madeira, cada uma dessas seções deve exercer uma força cisalhante interna V de tal forma que a soma de todas as forças V seja igual à força P :

Entendido o que está acontecendo no exercício, vamos pensar agora em como resolvê-lo:

  • O exercício quer saber o valor da força P necessária para provocar uma falha nas juntas;
  • Para encontrar P = 6 V , precisamos encontrar primeiro o valor da força de cisalhamento interna V necessária para romper uma junta;
  • V pode ser encontrado usando a fórmula da tensão cisalhante média τ = V / A , uma vez que o exercício já nos disse que é necessário uma tensão τ = 8   M P a para romper a madeira;
  • Antes de usarmos a equação τ = V / A , só precisamos calcular antes a área A da seção de dimensões 16   m m   ×   12   m m .
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Passo 2

Vamos começar então pelo cálculo das áreas A !

Em uma prancha de madeira, existem 6 seções resistentes ao cisalhamento.

Cada uma dessas seções possui dimensões de 16   m m (comprimento da seção resistente) por 12   m m (espessura da prancha de madeira).

Então, a área A de uma dessas seções é dado por:

A = ( 16   m m ) ( 12   m m )

A = 192   m m 2

Passo 3

A tensão τ de falha da madeira foi fornecido pelo exercício e agora encontramos a área A de uma seção resistente.

Então podemos calcular a força cisalhante interna V de falha das juntas através da fórmula da tensão cisalhante média:

τ = V A

Substituindo os valores de τ e A :

8   M P a = V ( 192   m m 2 )

Isolando V :

V = ( 8   M P a ) ( 192   m m 2 )

Como M P a = N / m m 2 :

V = ( 8 * 192 ) M P a * m m 2

V = 1536   N

Passo 4

Como a força P precisa provocar esforços internos V nas 6 juntas de uma prancha de madeira:

P = 6 V

Se for necessário, um Diagrama de Corpo Livre e uma análise das condições de equilíbrio podem ser feitas para provar essa relação:

Como V = 1536   N :

P = 6 V

P = 6 ( 1536   N )

P = 9216   N

Reescrevendo em k N :

Resposta

P = 9,22   k N

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