Exercícios Resolvidos de Tensão Cisalhante Média

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 30-1.69.

A estrutura está sujeita a carga de 1   k N . Determine a tensão de cisalhamento média no parafuso em A em função do ângulo da barra θ . Represente essa função em gráfico para 0 θ 90 ° e indique os valores de θ para os quais essa tensão é mínima. O parafuso tem diâmetro de 6   m m e está sujeito a cisalhamento simples.

Passo 1

A tensão de cisalhamento média τ no parafuso vai ser dada pela equação de sempre:

τ = V A

A área A será encontrada através do diâmetro d = 6   m m do parafuso.

Mas e a força cisalhante interna V ?

O parafuso está sobre cisalhamento simples, o que significa que a força cisalhante interna V no parafuso é igual à força F B que uma peça da estrutura faz na outra no ponto B .

Podemos encontrar o valor de F B analisando as condições de equilíbrio da peça inferior da estrutura. Para isso, vamos precisar de um DCL (Diagrama de Corpo Livre) dessa peça:

No caso, é o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C que vai nos permitir relacionar a força F B = V com a carga de 1   k N .

Dessa forma, vamos encontrar o valor de V em função do ângulo θ e, consequentemente, poderemos encontrar a tensão τ = V / A em função do ângulo θ .

Finalmente, para representar o gráfico de τ em função de θ e encontrar os valores de θ para os quais a tensão é mínima, vamos precisar usar um pouco de cálculo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar então pelo DCL da peça inferior da estrutura:

Vamos lembrar... As condições de equilíbrio que podemos aplicar nesse D C L são:

  • equilíbrio de forças (que podem ser horizontais ou verticais);
  • e equilíbrio de momentos (que precisa ser em relação a algum ponto).

Nesse caso, não precisamos descobrir o valor das reações horizontal e vertical no apoio em C , H C e V C . A nossa incógnita de verdade é a força F B = V , que queremos encontrar em função do ângulo θ .

Isso significa que o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C vai ser o suficiente para as nossas necessidades:

M C = 0

Para fazer esse equilíbrio de momentos, vamos nos lembrar de uma coisa: O momento gerado por uma força é igual à essa força vezes o seu braço x .

Calcular o braço de uma força inclinada como F B é difícil:

Mas fica fácil se a gente decompor F B em suas componentes horizontal F B x = F B * cos θ (que vai ter um braço de 0,15   m ) e vertical F B y = F B * s e n   θ (que vai ter um braço de 0,6   m ):

Feita a decomposição, agora podemos voltar para o equilíbrio de momentos:

M C = 0

F B * s e n   θ * 0 , 6   m + F B * cos θ * 0 , 15   m - 1   k N 0,6   m + 0,45   m = 0

Simplificando essa expressão:

F B 0 , 6   s e n   θ + F B 0 , 15 cos θ - 1   k N 0,6   + 0,45 = 0

F B 0 , 6   s e n   θ + 0 , 15 cos θ - ( 1 k N ) ( 1,05 ) = 0

Isolando F B :

F B 0 , 6   s e n   θ + 0 , 15 cos θ = 1,05   k N

F B = 1,05   k N 0 , 6   s e n   θ + 0 , 15 cos θ

Ainda podemos simplificar essa expressão!

Como todos os números são múltiplos de 0,15 :

F B = 7 ( 0,15 )   k N 4 ( 0,15 )   s e n   θ + ( 0,15 ) cos θ

F B = 7   k N 4   s e n   θ + cos θ

Como F B = V :

V = 7   k N 4   s e n   θ + cos θ

Passo 3

V encontrado, agora vamos encontrar o valor da área A .

O pino possui uma seção transversal circular de diâmetro d = 6   m m , então podemos usar a formula da área circular em função do diâmetro:

A = π d 2 4

A = π 6   m m 2 4

A = 28,3   m m 2

Passo 4

Aplicando a fórmula da tensão cisalhante média:

τ = V A

Substituindo os valores encontrados:

τ = 7   k N 4   s e n   θ + cos θ ( 28,3   m m 2 )

τ = 7   k N 28,3   m m 2 4   s e n   θ + cos θ

Para ter resultados em M P a = N / m m 2 , podemos reescrever 7   k N como 7000   N :

τ = 7 000   N 28,3   m m 2 4   s e n   θ + cos θ = 247,3 N m m 2 4   s e n   θ + cos θ  

τ = 247,3   M P a 4   s e n   θ + cos θ

Passo 5

Precisamos e descobrir para quais valores de θ a tensão é mínima.

Vamos observar a expressão que encontramos para τ :

τ = 247,3   M P a 4   s e n   θ + cos θ

Essa expressão vai ser mínima quando a expressão ( 4   s e n   θ + cos θ ) for máxima.

Mas como vamos conseguir descobrir para que valores de θ a expressão ( 4   s e n   θ + cos θ ) é máxima?

Se lembrarmos de Cálculo 1, vamos nos lembrar que o máximo e mínimo das funções acontecem quando a sua derivada é igual a zero:

d 4   s e n   θ + cos θ d θ = 0

Vamos lembrar mais um pouco de C1!

Derivada de seno é cosseno e derivada de cosseno é menos seno, então essa derivada fica assim:

4 cos θ - s e n   θ = 0

Agora temos que isolar θ :

4 cos θ = s e n   θ

4 = s e n   θ cos θ

t g   θ = 4

θ = t g - 1   4 = a r c t g   4

Usando a função t g - 1 ou a r c t g da sua calculadora:

θ = 75,96 °

Ou seja, τ ou é mínimo ou é máximo quando θ = 75,96 ° .

Passo 6

Ainda precisamos descobrir se τ é máximo ou mínimo quando θ = 75,96 ° .

Mas também precisamos esboçar um gráfico da tensão τ em função de θ .

Então vamos aproveitar para fazer as duas coisas ao mesmo tempo, calculando o valor de τ para alguns valores de θ :

Com esses valores, confirmamos que τ é mínimo quando θ = 75,96 ° e conseguimos fazer o esboço do gráfico de τ em função de θ :

Resposta

τ = 247,3   M P a 4   s e n   θ + cos θ

θ = 75,96 °

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