Exercícios Resolvidos de Tensão Cisalhante Média

James M. Gere, Mecânica dos materiais, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003, pp. 41-1.6-6-(b).

Um parafuso para finalidades especiais de diâmetro d = 12   m m passa através de um furo em uma placa de aço (veja a figura). A cabeça hexagonal do parafuso está direcionada contra a placa de aço. O raio do círculo circunscrito pelo hexágono é r = 10   m m (o que significa que cada lado do hexágono tem comprimento 10   m m ). A espessura t da cabeça do parafuso é de 6   m m e a força de tração P no parafuso é de 9,0   k N .

Determine a tensão de cisalhamento média τ m é d na cabeça do parafuso.

Passo 1

O exercício quer saber a tensão de cisalhamento média τ m é d na cabeça do parafuso:

τ m é d = V A

Precisamos então identificar:

  • qual à a força cisalhante interna V na cabeça do parafuso;
  • e qual é a área da seção A resistente à essa força.

Para tanto, vamos visualizar um diagrama de corpo livre da cabeça de um parafuso que está sendo tracionado por uma força P :

O que está acontecendo: a placa de aço exerce uma força em volta de toda a cabeça do parafuso, de intensidade total P , para o segurar o parafuso no seu lugar.

A linha tracejada indica uma superfície cilíndrica de diâmetro d = 12   m m e altura t = 6   m m que é a seção resistente ao cisalhamento:

A figura abaixo mostra os esforços internos nessa seção:

Na prática, você não precisa fazer todos esses desenhos. O que precisamos é saber interpretar o exercício para chegar às conclusões que:

  • Para garantir o equilíbrio desse pedaço da cabeça do parafuso mostrado na última imagem, V deve ser igual à P = 9,0   k N ;
  • A área da seção resistente A é como a área da face lateral de um cilindro de diâmetro d = 12   m m e altura t = 6   m m .

A dimensão r = 10   m m fornecida pelo enunciado para os lados da cabeça hexagonal do parafuso não será utilizada pela gente nesse exercício: ela não é necessária para encontrar A , V ou τ m é d .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar então calculando a área A .

Pensa aí... A área da face lateral de um cilindro é como o perímetro da base do cilindro vezes a altura do cilindro.

O perímetro de um círculo é 2 π R . Se t é a altura do cilindro, a área A fica assim:

A = 2 π R ( t )

Nós não temos o raio R da base do cilíndro, mas temos o diâmetro d = 12   m m . Como R = d / 2 :

A = 2 π d 2 ( t )

A = ( π d ) ( t )

Substituindo os valores de d e t :

A = π ( 12   m m ) ( 6   m m )

A = 226,2   m m 2

Passo 3

Agora podemos aplicar a fórmula da tensão cisalhante média:

τ m é d = V A

Vimos no passo 1 que V deve ser igual à P = 9   k N e vimos no passo 2 que A = 226,2   m m 2 , então:

τ m é d = 9   k N 226,2   m m 2

Para termos um resultado em M P a = N / m m 2 , vamos reescrever 9   k N como 9000   N :

τ m é d = 9000   N 226,2   m m 2 = 9000 226,2   M P a

Fazendo a divisão, isso dá:

Resposta

τ m é d = 39,8   M P a

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