Exercícios Resolvidos de Tensão Cisalhante Média

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 30-1.67.

A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto B C . Se P = 15   k N , determine a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pinos em A , B e C . Todos os pinos estão sujeitos a cisalhamento duplo, como mostra a figura, e cada um tem diâmetro de 18   m m .

Passo 1

A viga é mantida em equilíbrio pelas reações:

  • do apoio A (uma reação na vertical, V A , e uma na horizontal, H A );
  • e da haste B C (uma força F B C , no sentido da própria haste),

como mostra o seu Diagrama de Corpo Livre:

Aplicando as condições de equilíbrio nessa viga e sabendo que P = 15   k N , conseguimos calcular o valor das reações V A , H A e F B C .

Juntas, as duas reações em A formam uma força F A = V A 2 + H A 2 , que é a força a qual o pino em A está sujeito sob cisalhamento duplo.

Enquanto isso, os pinos em B e C estão submetidos à cisalhamento duplo pela força F B C , que é a força de tração na haste B C .

A tensão cisalhante média τ nesses pinos é dada pela sua fórmula:

τ = V A

Mas como todos os pinos estão sob cisalhamento duplo, para todos eles vai valer a relação V = F / 2 , de tal forma que:

τ = F 2 A

Ou seja, para o pino em A vamos ter:

τ A = F A 2 A

E para os pinos em B e em C :

τ B = τ C = F B C 2 A

Para todos os pinos, a área A da seção transversal é a mesma e vai ser calculada a partir de seu diâmetro d = 18   m m .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar aplicando as condições de equilíbrio no diagrama de corpo livre da viga:

Lembra aí! As condições de equilíbrio possíveis são equilíbrio de forças (na vertical e na horizontal) e equilíbrio de momentos (em relação à algum ponto).

Como temos 3 incógnitas ( V A , H A e F B C ), 3 condições de equilíbrio são o suficiente!

Vamos fazer o equilíbrio de momentos em relação ao ponto B e o equilíbrio de forças nas duas direções.

Começando pelo equilíbrio de momentos:

M B = 0

Em relação ao ponto B , só as cargas P e a força V A geram momentos e os braços dessas forças podem ser vistos no DCL acima. Além disso, só a força V A gera um momento no sentido anti-horário.

Tendo tudo isso em mente, o somatório de momentos fica assim:

V A 5   m - 2 P 4,5   m - 4 P 3   m - 4 P 1,5   m - P 0,5   m = 0

Somando todas as forças P :

V A 5   m - P 2 * 4,5   m + 4 * 3   m + 4 * 1,5   m + 0,5   m = 0

V A 5   m - P 27,5   m = 0

Isolando V A :

V A = 27,5 5   P

V A = 5,5 P

Uma incógnita descoberta, faltam duas!

Agora podemos partir para o equilíbrio de forças na vertical:

F V = 0

Tomando o devido cuidado de decompor a força F B C , esse somatório de forças fica assim:

F B C * s e n   30 ° + V A - P - 4 P - 4 P - 2 P = 0

Somando as forças P :

F B C * s e n   30 ° + V A - 11 P = 0

Como V A = 5,5   P e s e n   30 ° = 1 / 2 :

F B C * 1 2 + 5,5 P - 11 P = 0

F B C 2 - 5,5 P = 0

Isolando F B C :

F B C 2 = 5,5 P

F B C = 11 P

V A e F B C descobertas, agora só falta encontrar H A .

Finalmente, temos o equilíbrio de forças na horizontal:

F H = 0

Mais uma vez tomando o cuidado de decompor F B C , esse somatório de forças fica assim:

- F B C * cos 30 ° - H A = 0

Isolando H A e substituindo cos 30 ° = 3 / 2 :

H A = - F B C 3 2

Como F B C = 11 P :

H A = - 11 P 3 2

H A = - 5,5 3 P

Passo 3

Reações descobertas! Antes de calcular as tensões em cada pino, vamos só calcular a área A da seção transversal dos pinos.

Por se tratar de uma seção circular de diâmetro d = 18   m m :

A = π d 2 4

A = π 18   m m 2 4

254,5   m m 2

Passo 4

Agora podemos calcular as tensões em cada pino.

Para o pino em A , precisamos primeiro calcular a força resultante nesse ponto. Como temos duas forças V A e H A perpendiculares, usamos o teorema de pitágoras:

F A = V A 2 + H A 2

Substituindo V A = 5,5 P e H A = - 5,5 3 P :

F A = 5,5 2 P 2 + 5,5 2 3 2 P 2

F A = 5,5 2 P 2 1 + 3 2

F A = 5,5 P 4

F A = 11 P

Aplicando a fórmula da tensão cisalhante média τ = V / A para o pino em A , que está sob cisalhamento duplo de tal forma que V = F A / 2 , temos:

τ A = F A 2 A

Substituindo F A = 11 P , A = 254,5   m m 2 e P = 15   k N :

τ A = 11 P 2 ( 254,5   m m 2 )   = 11 ( 15   k N ) 2 ( 254,5   m m 2 )  

Para obtermos resultados em M P a = N / m m 2 , podemos reescrever 15   k N como 15000   N :

τ A = 11 ( 15000 ) 2 ( 254,5 )   N m m 2

Calculando, isso dá:

τ A = 324   M P a

Passo 5

Para os pino em B e C , já temos o valor da força F B C que atua neles.

Aplicando a fórmula da tensão cisalhante média τ = V / A , tendo em mente que esses pinos estão sob cisalhamento duplo de tal forma que V = F B C / 2 , temos:

τ B = τ C = F B C 2 A

Substituindo F B C = 11 P , A = 254,5   m m 2 :

τ B = τ C = 11 P 2 ( 254,5   m m 2 )  

Vemos que essa é a mesma conta de τ A , então já podemos adiantar que:

τ B = τ C = 324   M P a

Resposta

τ A = 324   M P a

τ B = τ C = 324   M P a

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