Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

Calcule a integral de linha do campo vetorial

F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 2 x

ao longo da curva C de equação x 2 4 + y 2 9 = 1 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos fazer um esboço da curva:

Essa integral de linha parece um pouco complicada de se calcular diretamente pela definição. Vamos, então, usar o Teorema de Green.

Mas aqui temos um problema: o campo não está definido em toda a região dentro da elipse, pois temos uma descontinuidade na origem, se substituirmos ( 0,0 ) na função teremos zero no denominador. O que faremos então? É simples, basta tirarmos a origem da jogada. Se fizermos uma circunferência que “envolva” a origem e chamarmos de D a região entre a circunferência e a elipse, o problema está resolvido. Faremos um circunferência γ de raio 1 para facilitar nossos cálculos. Vamos fazer o novo gráfico para ver como fica essa parada

Temos então:

∫ C   F ⋅ d r + ∫ γ   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Passando a integral de linha da circunferência γ pro outro lado (isolando a integral que a gente quer achar) ficamos com

∫ C   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y - ∫ γ   F ⋅ d r

Passo 2

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 + 2 x =

Derivando em relação a x , vamos precisar usar a regra do quociente que vou te relembrar rapidinho como é

a b ' = a ' ⋅ b - b ' ⋅ a b 2  

Então fazendo isso pra nossa derivada em relação a x ficamos com:

= x 2 + y 2 - x 2 x x 2 + y 2 2 + 2 =

Isso dá pra gente:

= - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 + 2

Agora para ∂ F 1 ∂ y , temos:

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y - y x 2 + y 2 =

Usando de novo a regra do quociente, ficamos com:

= - x 2 + y 2 - y 2 y x 2 + y 2 2 =

= - x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Podemos escrever como:

= - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Agora fazendo ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y , ficamos com:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 + 2 - - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Opa! Os termos esquisitos se cancelam, que belezinha, então ficamos com

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2

Passo 3

Aplicando o teorema de Green, temos:

∫ C   F ⋅ d r + ∫ γ   F ⋅ d r = ∬ D   2 d x d y = 2 área D

A área de D é a área da elipse, dada por π . a . b (onde a e b são seus semieixos) menos a do círculo. Então:

∬ D   2 d x d y = 2 2 × 3 × π ⏟ área da elipse   - π × 1 2 ⏟ área do círculo = 10 π

Guarde esse resultado. Agora vamos calcular a integral ao longo da circunferência.

Passo 4

Parametrizando a circunferência, temos:

γ = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ

Com θ variando de 2 π a 0 (pois a circunferência está orientada no sentido horário, contrário ao trigonométrico).

0 ≤ θ ≤ 2 π

Temos

γ ' = ( - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ )

Você poderia utilizar o intervalo de 0 a 2 π desde que considerasse que essa integral teria sinal oposto, pois:

∫ γ   F ⋅ d r = - ∫ γ _   F ⋅ d r

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula:

∫ a b F x t ,   y t ⋅ σ → ' t   d t

Temos:

∫ γ   F ⋅ d r = ∫   2 π   0 - sen ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ,   cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ ⋅ - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ =

Os denominadores vão dar 1 , pela nossa famosa relação s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1 , então temos:

= ∫   2 π   0 - sen ⁡ θ ,   cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ ⋅ - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ =

= ∫   2 π   0 sen 2 ⁡ θ +   3 cos 2 ⁡ θ   d θ =

Podemos separar 3 cos 2 ⁡ θ   em cos 2 ⁡ θ + 2 cos 2 ⁡ θ   e ficamos com:

∫   2 π   0 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ +   2 cos 2 ⁡ θ   d θ =

Usando a relação de novo, ficamos com:

= ∫   2 π   0 1 +   2 cos 2 ⁡ θ   d θ =

Passo 6

Agora vamos calcular o valor dessa integral. Para isso usaremos a equação do arco duplo:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Então temos:

= ∫   2 π   0 1 +   1 + cos ⁡ 2 θ d θ = ∫   2 π   0 2 + cos ⁡ 2 θ d θ =

= 2 θ + sen ⁡ 2 θ 2 2 π 0

Substituindo os valores, temos que:

2 ( 0 ) + sen ⁡ 2 ⋅ ( 0 ) 2 - 2 ( 2 π ) + sen ⁡ ( 2 ⋅ 2 π ) 2

= - 4 π

Passo 7

O que queremos calcular é a integral de linha ao longo de C , certo? Substituindo os valores que encontramos em:

∫ C   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y - ∫ γ   F ⋅ d r

Temos, então que:

∫ C   F ⋅ d r = 10 π - - 4 π =

Resposta

14 π