Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

Calcular a integral de linha da função vetorial

F x , y = x + 2 y , sec ⁡ y 2 e tg ⁡ y 2 + 4 x

Ao longo da curva que liga o ponto ( 2,0 ) ao ponto ( 0,0 ) e é definida pela equação y = 1 - x - 1 2 .

Passo 1

Opaaa, e ai! Vamos continuar no nosso estudo para ficar fera no Teorema de Green!!

Essa integral de linha parece complicada de se calcular diretamente pela definição, não é? O campo vetorial envolve secantes, tangentes, termos não muito agradáveis de se trabalhar! Vamos tentar, então, aplicar o Teorema de Green e ver se encontramos algo mais simples.

A curva C em que devemos integrar é uma semicircunferência, pois, elevando a equação ao quadrado, temos

y = 1 - x - 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado, temos

y 2 = 1 - x - 1 2  

Passando x - 1 2   pro outro lado, temos

x - 1 2 + y 2 = 1

Passo 2

Como y deve ser maior que zero, queremos a parte de cima da circunferência de raio 1 centrada em ( 1,0 ) . Mas essa curva não é fechada, certo? Então vamos fechá-la na maneira mais simples: com um segmento de reta σ que liga seus pontos final e inicial.

A curva final será, portanto:

Veja que ela está orientada positivamente, não se esqueça disso!

Aplicando, então, o Teorema de Green, teremos, então:

∫ C   F ⋅ d r + ∫ σ   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Então, para achar a integral de linha da nossa curva C , vamos passar a integral da nossa reta pro outro lado e ficamos com:

∫ C   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y - ∫ σ   F ⋅ d r

Passo 3

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x sec ⁡ y 2 e tg ⁡ y 2 + 4 x = 4

Aqui o primeiro termo é constante pra gente pois depende só de y e estamos derivando em relação a x .

Agora F 1 :

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y x + 2 y = 2

Por fim:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 4 - 2 = 2

Passo 4

Aplicando o teorema de Green, temos:

∫ C   F ⋅ d r + ∫ σ   F ⋅ d r = ∬ D   2   d x d y

Sendo que

∬ D   2   d x d y = 2 ⋅ área D

Como se trata de uma semicircunferência de raio 1 , e a área da circunferência é A D = π R 2

∬ D   2   d x d y = 2 ⋅ área D

∬ D   2   d x d y = 2 ⋅ π ⋅ 1 2 2 = π

Assim:

∫ C   F ⋅ d r + ∫ σ   F ⋅ d r = π

Passo 5

Falta, agora, calcular a integral sobre o segmento σ , para isso, vamos parametrizá-lo. Como temos o ponto inicial ( 0,0 ) e o final ( 2,0 ) ligados pela reta y = 0 , uma boa parametrização seria

σ → = ( x , 0 )

Onde temos

0 ≤ x ≤ 2

( y é constante e x varia).

Derivando essa expressão, temos

σ ' → = ( 1,0 )

Passo 6

Montando a integral de linha sobre σ teremos:

∫ σ   F ⋅ d r = ∫ 0 2 F σ → ⋅ σ ' → d x

Então, substituindo σ → = ( x , 0 ) nos pontos da nossa função F , temos F ( x , 0 ) que dá

∫ σ   F ⋅ d r = ∫ 0 2 x + 0 , sec ⁡ 0 2 e tg ⁡ 0 2 + 4 x ⋅ ( 1,0 ) d x

Veja que escrevemos o campo F em função da parametrização de σ .

∫ σ   F ⋅ d r = ∫ 0 2 x   d x

= x 2 2 0 2

2 2 - 0 2 2 = 4 2 = 2

Passo 7

Fazendo a diferença entre esses dois resultados, finalmente calculamos a integral sobre C :

∫ C   F ⋅ d r + ∫ σ   F ⋅ d r = π

∫ C   F ⋅ d r = π - ∫ σ   F ⋅ d r

Como achamos que ∫ σ   F ⋅ d r = 2

∫ C   F ⋅ d r = π - 2

Prontinho. Matamos mais essa!

Resposta

π - 2