Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

Calcule

∮ C   x 2 - y 2 2 d x + x 2 2 + y 4 d y

onde C é a fronteira da região D definida por

D = x , y ∈ R 2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Opa, tudo bom? Vamos seguir com nosso estudo do Teorema de Green.

Vamos fazer um esboço da curva:

Como x 2 + y 2 é o raio de uma circunferência, a região está limitada por uma circunferência de raio 1 e outra de raio 2 . Como temos x ≥ 0 e y ≥ 0 , tomamos apenas o 1º quadrante.

Essa curva (a fronteira da região) é formada por 4 segmentos, cada um com uma parametrização. Resolvendo pela integral de linha, isso ia gerar muito trabalho. O que é uma dica de que pode ser uma boa usar o Teorema de Green, vamos tentar!

Passo 2

Vamos relembrar o que diz o teorema de Green? To sentindo que você disse “Siiim” então vambora, o teorema de Green é isso aqui para curvas fechadas, orientada positivamente (sentido anti horário) e sem singularidade

∮ C F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde a intenção é transformar uma integral de linha complicada em uma integral dupla bem mais simples.

Então vamos calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Temos

F x , y = x 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 4

F 1 = x 2 - y 2 2                                 F 2 = x 2 2 + y 4

Então temos que

∂ F 2 ∂ x = x 2 2 + y 4 ' = x

∂ F 1 ∂ y = x 2 - y 2 2 ' = - y

O campo vetorial da questão pode ser escrito como:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = x - - y = x + y

Passo 3

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

∬ D   x + y d x d y

Note que a curva está orientada positivamente!

Passo 4

Como a região D está compreendida entre dois arcos de circunferência, a melhor saída aqui são as coordenadas polares. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Pelo próprio gráfico, vemos que

0 ≤ θ ≤ π / 2

Que equivale a 1 / 4 de circunferência. Os valores de r variam entre os dois arcos, logo

1 ≤ r ≤ 2

Temos, então:

∫ 0 π 2 ∫ 1 2 r cos ⁡ θ + r   sen ⁡ θ r   d r d θ

Colocando r em evidência dentro do parênteses, temos

∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r 2   d r d θ =

Passo 5

Agora podemos calcular a integral de dentro. Integrando em relação a r temos (lembrando que tudo que tem θ é considerado como constante!

∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 r 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ   d r d θ =

= ∫ 0 π / 2 r 3 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ 3 r = 1 r = 2 d θ =

= ∫ 0 π / 2 2 3 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ 3 - 1 3 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ 3 d θ =

= ∫ 0 π / 2 8 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ 3 - 1 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ 3 d θ =

= 7 3 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ d θ

Passo 6

Integramos, então, em relação a θ :

= 7 3 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 π / 2 =

Substituindo os valores, temos:

7 3 sen ⁡ π 2 - cos ⁡ π 2 - sen ⁡ 0 - cos ⁡ 0

Isso nos dá

= 7 3 1 - 0 - 0 - 1 =

7 3 ⋅ 2

Que dá

14 3

Prontinho! E nem doeu rs.

Resposta

14 3