Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ∮ C e x + y 2 d x + e y + x 2 d y , onde C é a fronteira da região entre y = x 2 e y = x , percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos esboçar a região para entender melhor o problema. Temos uma reta y = x e uma parábola y = x 2 :

Para podermos aplicar o Teorema de Green, orientamos positivamente a curva.

Passo 2

Vamos relembrar o que diz o teorema de Green? To sentindo que você disse “Siiim” então vambora, o teorema de Green é isso aqui para curvas fechadas, orientada positivamente (sentido anti horário) e sem singularidade

∮ C F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Então vamos calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Temos

F x , y = e x + y 2 , e y + x 2

F 1 = e x + y 2

F 2 = e y + x 2

Então temos que

∂ F 2 ∂ x = e y + x 2 ' = 2 x

∂ F 1 ∂ y = e x + y 2 ' = 2 y

Ficando com:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 x - 2 y

Que pode ser escrito desse jeitinho aqui para podermos colocar esse 2 para fora quando formos integrar! ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 ( x - y )

Passo 3

Agora vamos montar a integral dupla, utilizando o Teorema de Green:

∫ C e x + y 2 d x + e y + x 2 d y = 2 ∬ D ( x - y )   d x d y

Onde D é a região limitada pela curva C , que vimos lá em cima. Vamos, então, descrever essa região para reescrever essa integral dupla em iterada. Temos que y varia entre

y = x

y = x 2

Como x 2 está na parte de baixo, ela será nosso limite inferior, e x está em cima então vai ser nosso limite superior, ok?

x 2 ≤ y ≤ x

E x varia entre

0 ≤ x ≤ 1

(é uma Região do tipo I, lembra dela? Hehe)

Nossa integral passa a ser então:

2 ∫ 0 1 ∫ x 2 x ( x - y )   d y d x

Passo 4

Começaremos integrando em relação a y :

2 ∫ 0 1 ∫ x 2 x x - y d y d x

Integrando a parte de dentro:

= 2 ∫ 0 1 x y - y 2 2 x 2 x d x =

= 2 ∫ 0 1 x 2 - x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x =

= 2 ∫ 0 1 x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x =

Passo 5

Agora em relação a x resolvendo a integral de fora:

= 2 ∫ 0 1 x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x =

= 2 x 3 6 - x 4 4 + x 5 10 0 1

Substituindo os valores, temos

2 1 3 6 - 1 4 4 + 1 5 10 - 2 0 3 6 - 0 4 4 + 0 5 10

= 2 1 6 - 1 4 + 1 10

Isso dá

2 6 - 2 4 + 2 10

Podemos simplificar os termos e temos

= 1 3 - 1 2 + 1 5

Pra fazer essa soma precisamos encontrar um denominador como a todas das frações. Fazendo o MMC, temos que o denominador é 30 , então ficamos com

10 30 - 15 30 + 6 30

Agora que já está com o denominador igual, resolvemos a parte de cima e repetimos a parte de baixo. Que nos dá

= 1 30

Resposta

1 30