Exercícios Resolvidos de Teorema Trabalho-Energia

PUCRIO, Física 4 - FIS1061, P2 - 2017.1, Questão 4-pt3

Calcule o trabalho realizado para acelerar um próton de massa m p de uma velocidade inicial = v 1 = 0,985   c para a velocidade de v 2   =   0,986   c , onde c é a velocidade luz.

Passo 1

Aqui precisamos lembrar do seguinte, sempre que quisermos definir o trabalho de uma partícula podemos fazer a diferença de energias cinéticas do seu estado inicial e do seu estado final, ou seja, podemos usar a relação

W = K 2 - K 1

Até aqui tudo bem. Mas como vamos definir essas energias cinéticas? Tome cuidado pois aqui estamos trabalhando com partículas relativísticas, então a forma que usamos para definir as energias cinéticas é

E = E 0 + K

Em que

E = E n e r g i a   T o t a l   R e l a t i v i s t i c a = γ . m p . c 2  

E 0 = E n e r g i a   d e   R e p o u s o = m p . c 2  

K = E n e r g i a   c i n e t i c a  

Ou seja, se isolarmos o K teremos

E - E 0 = K

E trocando os valores teremos

k = γ . m p . c 2 - m p . c 2

Perceba que podemos colocar o valor de m p . c 2 em evidencia e passaremos a ter a seguinte fórmula.

k = m p . c 2 ( γ - 1 )

Mas no nosso exercício temos 2 valores de energia cinética, uma para o estado antes e um para o estado depois, dessa forma, podemos definir os nossos K’s como

k 1 = m p . c 2 ( γ 1 - 1 )

k 2 = m p . c 2 ( γ 2 - 1 )

Substituindo na nossa fórmula de trabalho teremos

W = K 2 - K 1

W = m p . c 2 ( γ 2 - 1 ) - m p . c 2 ( γ 1 - 1 )

Fazendo as transformações matemáticas chegaremos a conclusão que a nossa fórmula final para o trabalho será

W = m p . c 2 ( γ 2 - γ 1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos agora que para definir o nosso termo γ precisamos lembrar que a sua fórmula é

1 1 - ( v c ) ²

Como temos duas velocidades teremos que

γ 1 = 1 1 - ( v 1 c ) ²

γ 2 = 1 1 - ( v 2 c ) ²

Substituindo na equação do trabalho teremos que

W = m p . c 2 ( 1 1 - ( v 2 c ) ² - 1 1 - ( v 1 c ) ² )

Passo 3

Mas já temos todos os dados

v 1 = 0,985 c

v 2 = 0,986 c

m p = 1,672 x 10 - 27 k g

c = 3.10 8 m s

Substituindo teremos que

W = 1,672 x 10 - 27 . ( 3.10 8 ) 2 ( 1 1 - ( 0,986 c c ) ² - 1 1 - ( 0,985 c c ) ² )

W = 3,03.10 - 11 J

Resposta

W = 3,03.10 - 11 J

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