Exercícios Resolvidos de Teorema Trabalho-Energia

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Enunciado

Em um laboratório, um próton é acelerado tal que adquire uma energia cinética que é dobro de sua energia de repouso.

a) Qual é a velocidade do próton no laboratório, medida em termos de c ?

b) Suponha que o próton viesse a colidir com uma partícula α em repouso, e que fosse possível que a partícula α “capturasse” o próton, formando uma única partícula após a colisão, sem perdas de energia para o meio. Qual seria a massa de repouso dessa nova partícula? Com que velocidade ela sairia após a colisão?

(Dado: a partícula α é o núcleo do átomo de H e e tem massa m α = 4   m p ).

c) Verifique se, nesse processo, o ganho de energia de repouso do sistema equivale à perda de energia cinética.

Passo 1

Eai galerinha, prontos para resolver uma questão de física 4?

Nesse problema vamos brincar com energia relativística. A energia total relativística é dada por

E = γ m c 2

Essa energia compreende a energia de repouso m c 2 e a energia cinética K :

γ m c 2 = m c 2 + K

Mas o enunciado disse que a energia cinética era o dobro da energia de repouso:

K = 2 m c 2

Assim,

γ m c 2 = m c 2 + 2 m c 2 → γ = 3

Passo 2

Agora você precisa lembrar que

γ = 1 1 - β 2 ,         β = v c

Logo,

1 1 - β 2 = 3

Elevando ao quadrado:

1 1 - β 2 = 9 → 1 - β 2 = 1 9

Portanto,

β 2 = 1 - 1 9 = 8 9

Tirando a raiz,

β = v c = 2 2 3

Portanto, a velocidade do próton era

v = 2 2 3   c

Passo 3

No item (b), o próton do item (a) vai colidir com uma partícula α que está em repouso e eles vão se juntar e formar uma nova partícula. O enunciado disse que a energia é conservada nesse processo, de modo que

E a n t e s = E d e p o i s

Antes da colisão tínhamos três energias:

E a n t e s = m p c 2 + m α c 2 + K p

Tínhamos a energia de repouso do próton, a energia de repouso da partícula α e a energia cinética do próton. A partícula α não tinha energia cinética pois estava em repouso. Vimos também que K = 2 m p c 2 , de modo que

E a n t e s = 3 m p c 2 + m α c 2

Além disso, m α = 4 m p , de modo que

E a n t e s = 3 m p c 2 + 4 m p c 2 = 7 m p c 2

Após a colisão vamos ter uma nova partícula cuja massa de repouso é M e ela terá uma energia cinética K ' :

E d e p o i s = M c 2 + K '

Eu sei que você é tentado a dizer que M = m p + m α = 5 m p , porém não podemos fazer isso! A gente sabe que nesses processos energia pode se converter em massa e vice versa, então temos que tomar cuidado! Usando a conservação da energia total achamos que

7 m p c 2 = M c 2 + K '

Passo 4

A equação que achamos no passo anterior tem duas incógnitas: M e K ' . Portanto, precisamos de uma nova equação para montar um sistema. Essa equação vem da conservação do momento linear!

Vamos lembrar que o momento relativístico de uma partícula é dado por

p = γ m v

Ele também é dado pela relação

E 2 = m c 2 2 + p c 2 → p c 2 = E 2 - m c 2 2

Aplicando a conservação do momento linear:

p a n t e s = p d e p o i s

p p r o t + p α = p

Nessa última equação, p representa o momento da partícula formada após a colisão. Como a partícula α está em repouso, temos que p α = 0 . Assim,

p p r o t = p

Multiplicando por c e elevando ao quadrado, temos que

p p r o t c 2 = p c 2

Usando a relação entre energia e momento:

E p 2 - m p c 2 2 = E 2 - M c 2 2

Note que para o próton eu usei a massa m p e para a partícula nova eu usei a massa M . Bom, vimos no item (a) que γ = 3 para o próton, de modo que

E p = γ m p c 2 = 3 m p c 2

Assim, do lado esquerdo da equação temos

E p 2 - m p c 2 2 = 3 m p c 2 2 - m p c 2 2 = 8 m p c 2 2

Igualando com o lado direito:

8 m p c 2 2 = E 2 - M c 2 2

Passo 5

Agora vamos olhar para o lado direito. A energia total será dada por

E = M c 2 + K '

Basta somar a energia de repouso com a energia cinética. Assim,

E 2 - M c 2 2 = M c 2 2 + 2 M c 2 K ' + K ' 2 - M c 2 2

Logo, a equação de conservação do momento fica

8 m p c 2 2 = 2 M c 2 K ' + K ' 2

Com isso, temos nosso sistema:

7 m p c 2 = M c 2 + K ' 8 m p c 2 2 = 2 M c 2 K ' + K ' 2

Nossas incógnitas são M e K ' . Lembre-se que a primeira equação (obtida no passo 3) é a conservação da energia total e a segunda é a conservação do momento linear.

Passo 6

Resolver esse sistema não é a coisa mais fácil do mundo, mas vamos lá que eu te ajudo!

O primeiro passo é isolar M c 2 na primeira equação:

M c 2 = 7 m p c 2 - K '

Daí substituímos na segunda:

8 m p c 2 2 = 2 7 m p c 2 - K ' K ' + K ' 2

8 m p c 2 2 = 14 m p c 2 K ' - K ' 2

K ' 2 - 14 m p c 2 K ' + 8 m p c 2 2 = 0

Vamos resolver essa equação de segundo grau na variável K ' . PS: encare m p c 2 como se fosse um número conhecido:

K ' = 14 m p c 2 ± 196 m p c 2 2 - 4 ⋅ 8 m p c 2 2 2

K ' = 14 m p c 2 ± 164 m p c 2 2 2 = 14 m p c 2 ± 2 m p c 2 41 2

Simplificando por 2 :

K ' = m p c 2 7 ± 41

Note que temos duas respostas possíveis. Qual escolher? A energia cinética deve ser positiva e 41 < 49 = 7 , de modo que nos dois casos a energia cinética é positiva. Vamos usar as duas respostas por enquanto:

K + ' = m p c 2 7 + 41

K - ' = m p c 2 7 - 41

Com isso, podemos voltar para achar M :

M c 2 = 7 m p c 2 - K '

Usando a primeira resposta para K + ' :

M c 2 = 7 m p c 2 - m p c 2 7 + 41 = - m p c 2   41 < 0

A energia de repouso não pode ser negativa de jeito nenhum. Assim, devemos descartar K + ' . Usando K - ' :

M c 2 = 7 m p c 2 - m p c 2 7 - 41 = m p c 2   41 > 0

Agora deu tudo lindo e maravilhoso 😊. Com isso, achamos que

M = m p 41               e           K ' = m p c 2 7 - 41

Repare que a massa de repouso da partícula M ≠ 5 m p . De fato, M > 5 m p , isso significa que parte cinética do próton foi convertida em energia de repouso para a nova partícula. Mas isso é assunto para o item (c).

Passo 7

Ainda não terminamos o item (b), pois só achamos a energia cinética, não a velocidade da partícula. Sabemos que

γ M c 2 = M c 2 + K '

Assim,

K ' = γ - 1 M c 2

Usando os resultados que achamos no problema:

m p c 2 7 - 41 = γ - 1 ⋅ m p 41   c 2

Simplificando os m p e c 2 :

γ - 1 = 7 - 41 41 = 7 41 - 1

Logo,

γ = 7 41 → γ 2 = 49 41

Daí, é só usar a definição de γ :

1 1 - β 2 = 49 41 → 1 - β 2 = 41 49

Logo,

β 2 = 1 - 41 49 = 8 49 → β = 2 2 7

Portanto, a velocidade com que a partícula nova sai da colisão é

v = 2 2 7   c

Agora sim o item (b) acabou! UFA!

Passo 8

Eu sei que já adiantei parte do item (c), mas vamos fazer ele mesmo assim...

Antes da colisão, a energia de repouso total (próton e partícula α ) era

E r e p o u s o a n t e s = m p c 2 + m α c 2 = 5 m p c 2

Depois da colisão, essa energia passou a ser

E r e p o u s o d e p o i s = 41 m p c 2

Portanto, houve um aumento da energia de repouso:

E r e p g a n h a = E r e p d e p o i s - E r e p a n t e s = 41 m p c 2 - 5 m p c 2 = 41 - 5   m p c 2

Isso significa que a energia cinética deve ter diminuído para que a energia de repouso aumentasse. Antes da colisão, a energia cinética era

K = 2 m p c 2

Lembre-se que ela era o dobro da energia de repouso do próton. Já para a partícula formada após a colisão:

K ' = m p c 2 7 - 41

Vamos calcular a energia perdida:

K p e r d i d a = K - K ' = m p c 2 2 - 7 - 41 = 41 - 5   m p c 2

Vemos que ela é exatamente igual a energia cinética perdida! Isso não deve ser nenhuma surpresa para gente né? A energia total deve se conservar, podemos converter energia cinética em energia de repouso e vice versa, mas a soma das duas deve permanecer sempre a mesma!

E com isso fechamos esse problema lindinho 😉.

Resposta

v p r o t = 2 2 3   c

v = 2 2 7   c               e             M = m p 41

K p e r d i d a = E r e p g a n h a

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