Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para comparação entre Médias Populacionais com σ Conhecidos

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Enunciado

Um experimento foi realizado para comparar o desgaste de determinados polímeros submetidos a escoamento de fluidos. Foram coletados os seguites dados em duas amostras de dois tipos de polímeros diferentes:

T i p o   1 :     54 ,   55 ,   58 ,   51 ,   57   [ m m ]

T i p o   2 :     50 ,   54 ,   56 ,   52 ,   53   [ m m ]

Sabe-se que σ 1 2 = 7,5   m m ² e σ 2 2 = 5   m m ² .

Ao nível de confiança de 95 % , existe diferença nos desgastes médios dos dois polímeros?

Passo 1

Queremos testar se existem diferenças entre duas médias (os desgastes médios!) de dois polímeros. Conhecemos suas variâncias populacionais. Então estamos num caso de Teste de hipótese para comparação entre médias com σ conhecidos!

Passo 2

Vamos começar definindo nossas hipóteses. Na nula, sempre igualamos os dois parâmetros que estamos testando:

H 0 :     μ 1 = μ 2

Na alternativa, como queremos verificar se existe diferença:

H 1 :     μ 1 ≠ μ 2

Então estamos num teste bilateral!

Passo 3

Antes de tudo vamos calcular nossas médias amostrais:

x - 1 = 54 + 55 + 58 + 51 + 57 5 = 55

x - 2 = 50 + 54 + 56 + 52 + 53 5 = 5 3

Passo 4

Agora podemos partir para o cálculo da nossa estatística de teste, que nesse caso de teste de hipótese é dada pelo teste Z:

Z t e s t e = x - 1 - x - 2 σ 1 2 n + σ 2 2 m

Lembrando que n = m = 5 , pois temos cinco elementos nas duas amostras, podemos substituir todos os valores na fórmula e achar a estatística de teste:

Z t e s t e = 55 - 53 7,5 5 + 5 5 = 1,264

Passo 5

Agora podemos calcular nossos pontos críticos, que para o teste bilateral é:

z c r i t i c o = ∓ z 1 - α 2

Como o nível de confiança pedido é de 95 % :

1 - α = 0,95

α = 0,05

Então:

z c r i t i c o = ∓ z 1 - 0,05 2 = ∓ z 0,975 = ∓ 1,96

E como estamos no teste bilateral, nossa região crítica vai ser tudo que for MENOR que - 1,96 e também tudo que for MAIOR que 1,96 . O que significa que nossa estatística de teste de 1,264 cai fora da região crítica, já que ela está entre - 1,96 e 1,96 . Ou seja, nós não rejeitamos a hipótese nula!

Não podemos afirmar portanto que há diferença entre as médias dos desgastes.

Resposta

Não rejeita-se H 0 .

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