Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para comparação entre Médias Populacionais com σ Conhecidos

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Enunciado

Uma máquina A produz peças circulares cujos diâmetros D i devem obedecer a uma determinada especificação em m m , e uma outra máquina B foi encontrada no mercado. Quer-se saber se os diâmetros médios das duas máquinas são semelhantes, ou seja, se as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente iguais em termos dos diâmetros delas.

Tomou-se uma amostra de 13 peças da máquina A e 16 peças da máquina B, tendo sido obtidas as seguintes estimativas amostrais:

Máquina A: X - A = 97   m m e S A = 10   m m ;

Máquina B: X - B = 94   m m e S B = 9   m m ;

a) Teste a hipótese se existe diferença entre a média dos diâmetros da máquina A ( μ A ) para a média dos diâmetros da máquina B ( μ B ), ao nível de significância de 5 % .

b) Através do teste de hipótese para a variância, determine com o nível de significância de 5 % se existe diferença entre a variância dos gastos da máquina A para a variância dos gastos da máquina B.

Passo 1

Fala galerinha, bora fazer mais uma questão de PROBEST!!!

Nesse problema ele forneceu para gente as médias e desvios-padrão amostrais de peças produzidas por duas máquinas A e B. Para a máquina A com n A = 13 , obtivemos X - A = 97   m m e S A = 10   m m . Já para a máquina B com n B = 16 , achamos X - B = 94   m m e S B = 9   m m .

No item (a) queremos saber se as duas médias são compatíveis entre si, dentro de uma significância de 5 % . Para comparar duas médias, usamos o teste T para a variável:

T = X - A - X - B - μ A - μ B S A 2 n A + S B 2 n B   ~   t ν

A variável T segue uma distribuição de Student para

ν = S A 2 n A + S B 2 n B 2 S A 2 n A 2 n A - 1 + S B 2 n B 2 n B - 1

Eu sei que essas fórmulas são feias, mas é só usar elas direitinho e com calma que não vamos ter problema!

Passo 2

No fundo, o que queremos é fazer um teste de hipótese. Vamos estabelecer as hipóteses:

H 0 :       μ A = μ B H a :       μ A ≠ μ B

Se as médias forem compatíveis, a hipótese H 0 será aceita. Note também que se trata de um teste bilateral:

Assim, queremos a probabilidade da região central corresponda a 1 - α = 0,95 e a porcentagem da região externa seja α = 0,05 = 5 % . Como a distribuição é simétrica e o teste é bilateral, dividimos essa porcentagem em partes iguais nas duas extremidades. Nosso objetivo é achar T α / 2 .

Para isso, olhamos na tabela na distribuição de Student. O primeiro passo para isso é calcular o número de graus de liberdade ν . Substituindo na expressão que escrevi acima:

ν = 10 2 13 + 9 2 16 2 10 2 13 2 13 - 1 + 9 2 16 2 16 - 1 = 24,5

Vamos arredondar para ν = 25 pois a tabela só apresenta valores inteiros. Queremos que

P T > T α / 2 = α 2 = 0,025

Olhando na tabela:

Portanto,

T α / 2 = 2,060

Passo 3

Como o teste é bilateral, nós vamos aceitar H 0 se

- T α / 2 < T o b s < T α / 2

Para calcular o T o b s fazemos μ A = μ A na expressão para T (já que essa é a hipótese que queremos testar). Fazendo isso,

T o b s = X - A - X - B - μ A - μ B S A 2 n A + S B 2 n B = 97 - 94 10 2 13 + 9 2 16 = 0,84

É fácil ver que a condição - T α / 2 < T o b s < T α / 2 é satisfeita, de modo que a hipótese H 0 deve ser aceita. Isso significa que as médias são compatíveis entre si!

Passo 4

No item (b) devemos testar as variâncias e, para isso, vamos recorrer ao teste F. Primeiro vamos estabelecer as hipóteses do teste bilateral:

H 0 :       σ A 2 = σ B 2 H a :       σ A 2 ≠ σ B 2

Para comparar variâncias, temos que usar a variável F que segue a distribuição de Snedecor. A variável F é dada por

F = S A 2   σ B 2 S B 2   σ A 2   ~   f ν A ,     ν B

Temos também que ν A = n A - 1 = 13 - 1 = 12 e ν B = n B - 1 = 16 - 1 = 15 .

Passo 5

Um gráfico da distribuição é dado a seguir:

Como o teste é bilateral, a porcentagem da região central deve ser 1 - α , de modo que dividimos α / 2 para cada extremidade. Temos que calcular F m i n = F α / 2 e F m a x = F 1 - α / 2 .

Temos que

P F > F m a x = 0,05 2 = 0,025

Recorremos à tabela:

Portanto,

F m a x = 2,96

Já para o mínimo, temos

P F < F m i n = 0,05 2 = 0,025 → P F > F m i n = 1 - 0,025 = 0,975

A prova não forneceu a tabela para a distribuição com p = 0,975 . Mas olhando para a distribuição podemos perceber que F m i n deve ser muito pequeno, bem menor que 1 . Isso que vai nos importar como vou te mostrar no próximo passo!

Passo 6

Agora calculamos F o b s supondo que σ A = σ B (isso que queremos verificar no nosso teste):

F o b s = S A 2   σ B 2 S B 2   σ A 2 = S A S B 2 = 10 9 2 = 1,23

Para que a hipótese H 0 seja aceita e as variâncias sejam compatíveis, devemos ter F m i n < F o b s < F m a x . Como F m a x = 2,96 , temos que F o b s < F m a x . Resta ver se F o b s > F m i n , o que é bem simples.

Apesar de não termos achado F m i n , concluímos que deve ser um número bem pequeno, menor que 1 . Com isso, a condição F o b s > F m i n é garantida. Portanto, as variâncias são compatíveis entre si!

Fechamos a questão 😉.

Resposta

a) As médias são compatíveis entre si.

b) As variâncias são compatíveis entre si.

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