Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para comparação entre Médias Populacionais com σ Conhecidos

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Enunciado

Uma pessoa que desenvolve produtos está interessada em reduzir o tempo de secagem de um zarcão. Duas formulações de tintas são testadas; a formulação 1 tem uma química padrão e a formulação 2 tem um novo ingrediente para a secagem, que deve reduzir o tempo de secagem. Da experiência, sabe-se que o desvio padrão do tempo da secagem é igual a 8 minutos, e essa variabilidade inerente não deve ser afetada pela adição do novo ingrediente. Dez amostras são pintadas com a formulação 1 e outras dez com a formulação 2. As 20 amostras foram pintadas em uma ordem aleatória.

Os tempos médios de secagem das duas amostras são x - 1 = 121 m i n e x - 2 = 112 m i n , respectivamente. O idealizador de produtos pode afirmar que a eficiência aumentou com o novo ingrediente? Teste usando α = 0,05 .

Passo 1

Muito blábláblá nesse enunciado para nos dizer o que?

“...Da experiência, sabe-se que o desvio padrão do tempo da secagem é igual a 8 minutos, e essa variabilidade inerente não deve ser afetada pela adição do novo ingrediente...”

Ele tá nos dizendo que o desvio padrão populacional vale 8 m i n e que ele não muda com a adição do nosso ingrediente, ou seja, σ é conhecido e, além disso:

σ 1 = σ 2 = 8 m i n

E sabendo disso, o enunciado quer saber se a eficiência aumentou com a nova fórmula, ou seja, se nosso tempo de secagem diminuiu.

Então nós estamos num Teste de hipótese para comparação entre duas médias (os tempos de secagem médios!) com σ conhecidos!

Passo 2

Vamos começar definindo nossas hipóteses. Na nula, sempre igualamos os dois parâmetros que estamos testando:

H 0 :     μ 1 = μ 2

Na alternativa, como queremos testar se o tempo de secagem diminuiu, vamos ter:

H 1 :     μ 1 > μ 2

Então estamos num teste unilateral superior!

Passo 3

Calculando a estatatistica de teste:

Z t e s t e = x - 1 - x - 2 σ 1 2 n + σ 2 2 m

Z t e s t e = 121 - 112 8 ² 10 + 8 ² 10 = 2,52

Passo 4

E como estamos num teste unilateral superior, o ponto crítico vai ser:

z c r i t i c o = z 1 - α

Como α = 0,05 :

z c r i t i c o = z 1 - 0,05 = z 0,95 = 1,64

E nossa região crítica é tudo que for MAIOR que isso. Como nossa estatística de teste vale 2,52 , ela cai dentro da RC!

Ou seja, nós rejeitamos a hipótese nula que dizia que os rendimentos eram iguais, e aceitamos a alternativa que dizia que o tempo de secagem da nova fórmula era menor que o da antiga, ou seja, o rendimento aumentou!

Resposta

Rejeita-se H 0 .

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