Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Desconhecido

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Enunciado

Um fabricante de latas para conservas sabe que deve ajustar o equipamento que produz as latas se o valor médio do peso for maior ou igual ao peso relatado na lata, e que é de 450 gramas. Para decidir sobre o que fazer, o fabricante obteve uma amostra de 15 latas retiradas ao acaso do estoque produzido, pesou as latas e obteve um peso médio igual a 44 2,35 gramas e um desvio padrão amostral igual a 23,2 gramas. Sabe-se ainda, da história do processo e de testes efetuados, que o verdadeiro desvio padrão é de 14,5 gramas.

Pede-se:

  1. Especifique as hipóteses para conduzir um teste para a média com o intuito de encontrar a decisão que o fabricante deve tomar.
  1. Qual é a formulação e a decisão do teste de hipótese aos níveis de significância α = 5 % e α = 1 % admitindo que o desvio padrão é desconhecido?

Mostre os resultados através do cálculo da estatística do teste. Esboce um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeição e aceitação de H 0 .

Passo 1

a)

O fabricante quer decidir se deve ou não reajusta o seu equipamento, e ele sabe que deve reajustar se μ ≥ 450 gramas. Nossa hipótese nula concorda com isso aí:

H 0 :   μ = 450     o u     μ ≥ 450   ( t a n t o   f a z ! )

E queremos saber se precisa reajustar, então temos que testar se o peso médio é menor que isso aí:

H 1 :   μ < 450

Estamos num teste unilateral inferior.

Passo 2

b)

Como n < 30 , vamos usar a distribuição T-Student para tomar nossas decisões.

Vamos calcular primeiramente nossa estatística de teste para teste de hipótese da média:

T t e s t e = x - - μ s n

Lembrando que aqui estamos considerando o desvio padrão desconhecido, então usamos o desvio padrão amostral que é igual a 23,2 gramas. Como n = 15 (pois temos 15 latas na amostra), μ = 450 (sempre é o valor que usamos para construir nossas hipóteses), e a média amostral x - encontrada foi 442,35 , nosso T t e s t e fica:

T t e s t e = 442,35 - 450 23,2 15 = - 1,2771

Passo 3

Nosso ponto crítico no teste unilateral inferior é dado por:

- t 1 - α

Primeiramente, vamos testar para α = 0,05 :

- t 1 - 0,05 = - t 0,95

E como n = 15 , vamos ter 14 graus de liberdade. Procurando esse cara na tabela T de Student:

- t 14 ;   0,95 = - 1,761

Então nossa estatística de teste fica fora da região crítica:

E isso significa que não rejeitamos a hipótese nula!

Passo 4

Agora vamos testar para para α = 0,01 . Nosso ponto crítico vai ser:

- t 1 - 0,01 = - t 0,99

Para grau de liberdade v = 14 :

t 14 ;     0,99 = - 2,624

Então nossa estatística de teste também fica fora da região crítica:

Então nós não rejeitamos nossa hipótese nula!

Resposta

a)

H 0 :   μ ≥ 450

H 1 :   μ < 450

b)

Para o nível de significância de 5%, não rejeitamos a hipótese nula.

Para o nível de significância de 1%, não rejeitamos a hipótese nula.

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