Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Desconhecido

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Enunciado

Um fabricante de latas para conservas sabe que deve ajustar o equipamento que produz as latas se o valor médio do peso for maior ou igual ao peso relatado na lata, e que é de 450 gramas. Para decidir sobre o que fazer, o fabricante obteve uma amostra de 15 latas retiradas ao acaso do estoque produzido, pesou as latas e obteve um peso médio igual a 440 , 35 gramas e um desvio padrão amostral igual a 21 , 2 gramas. Sabe-se ainda, da história do processo e de testes efetuados, que o verdadeiro desvio padrão é de 14,5 gramas.

Pede-se:

a) Especifique as hipóteses para conduzir um teste para a média com o intuito de encontrar a decisão que o fabricante deve tomar.

b) Qual é a estatística do teste (formulação) e a decisão do teste de hipótese aos níveis de significância α = 1 % se considerarmos o desvio padrão conhecido?

c) Qual é a estatística do teste (formulação) e a decisão do teste de hipótese aos níveis de significância α = 5 % admitindo que o desvio padrão é desconhecido?

Defina claramente sua hipótese. Mostre os resultados através do cálculo da estatística do teste. Esboce um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeição e aceitação de H 0 com os respectivos valores.

Passo 1

a) Bom! Vamos começar!

O fabricante quer decidir se deve ou não reajustar o seu equipamento, e ele sabe que deve reajustar se μ ≥ 450 gramas. Nossa hipótese nula concorda com isso aí:

H 0 :     μ ≥ 450

E queremos saber se precisa reajustar, então temos que testar se o peso médio é menor que isso aí:

H 1 :     μ < 450

Logo, estamos num teste unilateral inferior!

Passo 2

b) Em seguida, vamos calcular nossa estatística de teste para teste de hipótese da média.

Pois muito bem! Temos a seguinte fórmula:

Z t e s t e = x - - μ σ n

Lembrando que aqui estamos considerando o desvio padrão conhecido, então usamos o desvio padrão populacional (o verdadeiro) que é igual a 14,5 gramas.

Como n = 15 (pois temos 15 latas na amostra), μ = 450 (sempre é o valor que usamos para construir nossas hipóteses), e a média amostral x - encontrada foi 440 , 35 , nosso Z t e s t e fica:

Z t e s t e = 440 , 35 - 450 14,5 15 = - 2,5775

Passo 3

Nosso ponto crítico no teste unilateral inferior é dado por:

- z 1 - α

Primeiramente, vamos testar para α = 0,01 :

- z 1 - 0,01 = - z 0,99

Olhando a tabela de distribuição normal, a seguir...

Podemos ver que...

- z 0,99 = - 2,33

Então nossa região crítica acaba englobando nossa estatística de teste:

E isso significa que rejeitamos a hipótese nula!

Passo 4

c) E por último, falta ver qual é a estatística do teste (formulação) e a decisão do teste de hipótese aos níveis de significância α = 1 % admitindo que o desvio padrão é desconhecido...

Se liga! A gente tem n = 15 latas. Então, como n < 30 , vamos usar a distribuição T-Student para tomar nossas decisões.

Bora calcular primeiramente nossa estatística de teste para teste de hipótese da média:

T t e s t e = x - - μ s n

Lembrando que aqui estamos considerando o desvio padrão desconhecido... Logo, usamos o desvio padrão amostral que é igual a 21 , 2 gramas. Como n = 15 (pois temos 15 latas na amostra), μ = 450 (sempre é o valor que usamos para construir nossas hipóteses), e a média amostral x - encontrada foi 442,35 , nosso T t e s t e fica:

T t e s t e = 440 , 35 - 450 21 , 2 15 = - 1,7629

Passo 5

Nosso ponto crítico no teste unilateral inferior é dado por:

- t 1 - α

Então, vamos fazer o teste para α = 0,05 :

- t 1 - 0,05 = - t 0,95

E como n = 15 , vamos ter 14 graus de liberdade. Procurando esse cara na tabela T de Student, encontramos que...

- t 14 ;   0,95 = - 1,761

Então nossa estatística de teste fica de novo, dentro da região crítica:

E isso significa que teremos que rejeitar a hipótese nula!

Pronto! Terminamos aqui!

Bora pra frente que atrás vem gente!

Resposta

a)

H 0 :     μ ≥ 450

H 1 :     μ < 450

b)

Z t e s t e = - 2,5775

P a r a   o   n í v e l   d e   s i g n i f i c â n c i a   d e   1 % ,   r e j e i t a m o s   a   h i p ó t e s e   n u l a .

c)

T t e s t e = - 1,7629

P a r a   o   n í v e l   d e   s i g n i f i c â n c i a   d e   5 % ,   r e j e i t a m o s   a   h i p ó t e s e   n u l a .

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