Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Desconhecido

Ver Teoria

Enunciado

Os seguintes dados foram coletados de uma população normal cuja média e variância são desconhecidas: 13, 10, 8, 11, 6, 7, 12, 5, 9

(a) Achar uma estimativa pontual da média e da variância da população

(b) Qual é o intervalo de confiança de 90% para a média da população?

(c) O intervalo de confiança de 95% para a média da população contém ou está contido no intervalo de confiança de 90%? Explique sua resposta. (d) Se for testada a hipótese H 0 : µ = 11 contra H 1 : µ 6= 11 ao nível de significância α = 10% que decisão será tomada?

Passo 1

(a) Para achar uma estimativa pontual para a média e variância, calculamos a média amostral e a variância amostral. Vamos lembrar das fórmulas:

x ̄ = 1 n ∑ i = 1 n x i ; e

s 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n ( x i - x ̄ ) 2 .

Onde x ̄ denota a média amostral e s 2 a variância amostral.

Passo 2

Agora vamos aplicar as fórmulas aos dados:

x ̄ = 13 +   10 +   8 +   11 +   6 +   7 +   12 +   5 +   9 9 = 81 9 = 9

s 2 = ( 13 - 9 ) 2 +   ( 10 - 9 ) 2 +   ( 8 - 9 ) 2 +   ( 11 - 9 ) 2 +   ( 6 - 9 ) 2 +   ( 7 - 9 ) 2 +   ( 12 - 9 ) 2 +   ( 5 - 9 ) 2 + (   9 - 9 ) 2 8 = 60 8 = 7,5

Passo 3

(b) Observa que a gente não sabe a variância da população, a gente só tem uma estimativa, que foi dada no item (a). Logo, pra gente construir um intervalo de confiança de 90% a gente vai ter que usar a fórmula do I C com a t de Student com n - 1 → 8 graus de liberdade.

I C   =   [ x ̄ - t 0,90 ; 8 ⋅ s n ,   x ̄ + t 0,90 ; 8 ⋅ s n ]

Passo 4

Olhando na tabela, a gente encontra que t 0,90 ; 8 =   1,86 . A gente também tem que   s   =   s 2 → 7,5 ≈ 2,74 .   Substituindo todos os dados na nossa fórmula, temos:

I C   =   [ 9   -   1,86 × ( 2,74 3 ) ,   9   +   1,86 × ( 2,74 3 ) ] = [ 7,3 ;   10,7 ]

Passo 5

(c) Essa é mais conceitual, e a ideia é a seguinte: se o número da amostra é fixo,um intervalo de 95% de confiança vai ser um intervalo maior do que um de 90% de confiança. Por quê? Pensa que se o intervalo é maior, você tem mais “confiança” de que seu parâmetro está lá (nesse caso a média da população). Assim, um intervalo de 95% de confiança contém um intervalo de 90% de confiança.

Passo 6

(d) A gente tem dois modos equivalentes de resolver esse exercício:

  1. Ou a gente constrói o I C centrado na média amostral e vê se o nosso parâmetro da hipótese nula (nesse caso, μ =   11 ) está nesse intervalo; ou
  2. A gente constrói o I C centrado no parâmetro da hipótese nula ( μ = 11 ) e testa se nossa média amostral está nesse intervalo.

Do primeiro modo, o I C já foi construído no item anterior e é dado por I C   =   [ 7,3 ;   10,7 ] . Como μ =   11 não pertence a esse intervalo, rejeitamos a hipótese nula!

Tem gente que está acostumada a fazer do segundo modo, então vamos fazer também:

Nesse caso, o I C é dado por I C =   [ 11   -   1,86 × ( 2,74 3 ) ,   11   +   1,86 × ( 2,74 3 ) ] → I C   =   [ 9,3 ;   12,7 ] .

Agora a gente precisaria ver se nossa média amostral está nesse intervalo. Se não estiver, rejeitamos a hipótese nula. as observa que   x ̄ = 9 não está nesse intervalo! Então, de fato, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

(a) x ̄ =   9 e s 2 =   7,5 .

(b) I C   =   [ 7,3 ;   10,7 ] .

(c) Contém.

(d) Rejeitamos a hipótese nula H 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

9-49.Para o teste de hipoteses H.p-5 contra Hip.cia desconhecidaen=12.aproxime o valor/para cada uma das se-guintes estatisticas de teste.
Estabeleça as propriedades da Eq. (15.1) para a função CO: L μ = Φ C - μ n σ
9-45.Uma hipotese sera usada para testar que a media de uma populacaoe igual a 10 contra a alternativa de que a media da populacaoemaiordo que 10.com variancia conhecida a.Qual eo valor critico para a
9.47.Para oteste de hipoteses ep=7contra//p7.com varian-cia desconhecida en=20.aproxime o valor P para cadla uma das se-guintes estatisticas de teste.
9-48.Para o teste de hipoteses Hep=10 conta//:p10.com va-riancia desconhecidaen-15.aproxime o valor P para cada uma dasseguintes estatisticas de teste.