Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Proporções

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Enunciado

Um economista tornou-se conhecido por sua capacidade de fazer predições de curto prazo bastante precisas sobre o comportamento futuro da economia nacional nas áreas: financeira, cambial, de comércio exterior, etc. Para avaliar sua capacidade preditiva, foram selecionadas 50 previsões feitas por ele em diferentes ocasiões ao longo do tempo, e relativas a importantes indicadores da conjuntura econômica nacional. Posteriormente, cada uma dessas previsões foi comparada com o valor que de fato ocorreu e verificou-se que, em 27 desses casos o erro relativo da previsão foi menor que 10%. Com base nesses resultados, pretende-se testar a hipótese H 0 :   p ≥ 0 , 7 contra a alternativa H 1 :   p <   0 , 7 , onde p é a proporção populacional das vezes em que ele comete erros relativos menores que 10%.

(a) Qual é a sua conclusão ao nível de significância α   =   0 , 02 ?

(b) Determine todos os valores do nível de significância α para os quais H 0 seria aceita e todos os valores de α para os quais H 0 seria rejeitada, com base nos dados.

(c) Com o teste obtido em (a), qual seria a probabilidade de se cometer o Erro do Tipo II, se na verdade tivéssemos p   =   0,5 ?

Passo 1

a) Nessa primeira letra aqui, temos que achar uma conclusão com nível de significância de 0,02 .

Se liga só! Se p 0 = 0,7 , então teremos o seguinte desvio-padrão...

σ 0 = D P p ^ = p 1 - p n

Como foram feitas n = 50   previsões...

σ 0 = 0,7 ⋅ 0,3 50

σ 0 = 0,0648

E se o nível de significância é de 2 % , então o de confiança será de...

1 - α = 1 - 0,02 = 0,98

E então...

z 1 - α = z 0,98 = 2,054

A regra de decisão, ao n´nível α   =   0,02 , seria rejeitar H 0 se p ^ o b s   <   p ^ c , onde...

p ^ c = p 0 - 1 - α σ 0

p ^ c = 0,7 - 0,98 ⋅ 0,0648

p ^ c = 0,5674

E como em 27 dos casos, o erro relativo da previsão foi menor que 10%, então p ^ o b s será dado como...

p ^ o b s = 27 50 = 0,54

E como p ^ o b s   <   p ^ c , logo H 0 deve ser rejeitada!

Passo 2

b) Em seguida, bora determinar todos os valores do nível de significância α para os quais H 0 seria aceita e todos os valores de α para os quais H 0 seria rejeitada.

A gente tem que...

p - v a l o r = P p ^ c   < p ^ o b s ,   s e   p = 0,7  

Então p ^ ≈ N ( 0,7 ; 0,0648 2 ) , o que implica que...

p - v a l o r = P p ^ < 0,54   |   p = 0,7 = P Z < 0,54 - 0,7 0,0648 = P Z < - 2,469

Olhando a tabela, obtemos então que...

p - v a l o r = 0,00678

Logo, H 0   será rejeitada para todos os casos em que α   >   p - v a l o r   =   0 ,   00678 . Para os demais casos, H 0 não será rejeitada.

Passo 3

c) E pra finalizar, falta a probabilidade de se cometer o Erro do Tipo II, se na verdade tivéssemos p   =   0,5 .

Se liga, vamos chamar de β essa probabilidade!

β = P a c e i t a r   H 0 ,   s e   p = 0,5

Só que se p = 0,5 , então o desvio padrão será de...

D P p ^ = p 1 - p n

D P p ^ = 0,5 ⋅ 0,5 50

D P p ^ = 0,0707

Isso significa que...

p ^ ≈ N ( 0,7 ; 0,0707 2 )

Logo;

β = P p ^ > p ^ c = P Z < 0,567 - 0,5 0,0707 = P Z > 0,946

Pela tabela...

β = 0,172

Resposta

a   H 0 deve ser rejeitada.

b   H 0   será rejeitada para todos os casos em que α   >   p - v a l o r   =   0 ,   00678 .

c   0,172 .

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