USP, Mecânica, PSUB-2021.1, Questão 01
02) Um disco rígido e homogêneo de massa e raio rola sem escorregar sobre um plano horizontal, conforme mostrado na figura. O disco é conectado por um fio ideal a um bloco de massa que escorrega com atrito sobre um plano com inclinação . O sistema parte do repouso quando sob a ação de um momento binário constante. Sabendo que o coeficiente de atrito nas interfaces de contato é , pede-se:
a) A energia cinética do bloco em função da velocidade angular do disco.
b) A energia cinética do disco em função de sua velocidade angular .
c) O trabalho da força normal atuante no bloco em função de .
d) O trabalho da força de atrito atuante no bloco em função de .
e) O trabalho da força peso atuante no bloco em função de .
f) O trabalho da força normal atuante no disco em função de .
g) O trabalho da força de atrito atuante no disco em função de .
h) O trabalho da força peso atuante no disco em função de .
i) O trabalho do momento binário atuante no disco em função de .
j) A velocidade angular do disco em função de .
k) A aceleração angular do disco.
Passo 1
Eaí pessoal, tudo bem com vocês?
Nessa questão temos um bloco em um plano inclinado que está preso, por um fio, a um disco que rola sem escorregar em uma superfície rugosa. A esse disco é aplicado um momento binário . O sistema inteiro parte do repouso.
a) Pra começar, devemos determinar a energia cinética do bloco em função da velocidade angular do disco.
Bom, sabemos que, como o bloco parte do repouso, a energia cinética é dada por:
Mas, como podemos relacionar a velocidade angular do disco com a velocidade do bloco?
Então, a primeira sacada que precisamos ter é a do vínculo geométrico.
Como o bloco e o disco estão presos por um fio inextensível, eles precisam compartilhar da mesma velocidade. Assim:
Massa! Além disso, como é a velocidade de rotação do disco, podemos afirmar que:
Logo, substituindo em , vem:
Excelente 😊
Passo 2
b) Nesse item devemos calcular a energia cinética do disco.
E a pergunta que não quer calar: a rotação vai influenciar em algo na energia cinética?
Hahaha, sim. Com certeza! Sempre que temos um corpo que translada e rotaciona, a energia cinética é dada por:
Lembra que o momento de inércia do disco vale:
Além disso, já vimos que:
Substituindo esses dados, vem:
Logo:
Bouaa! Matamos mais um item 😊
Passo 3
Passo 4
c) Nesse item devemos determinar o trabalho da força normal atuando no bloco.
Mas pô, não precisa nem esquentar a cabeça com esse item, como a força normal é sempre perpendicular ao deslocamento sabemos que o seu trabalho é sempre nulo!
Portanto:
Passo 5
d) Agora devemos determinar o trabalho da força de atrito em função do ângulo de giro do disco.
Das equações da cinemática para um movimento circular, sabemos que:
Só que, pelo vínculo geométrico, o bloco e o disco andam as mesmas distâncias. Assim:
Como o trabalho vale:
Temos:
Mas, como calcular a força de atrito?
Precisamos desenhar o diagrama de forças do bloco. Sabendo que atuam o peso, a normal, a tração e a força de atrito, temos:
Daí, como o bloco está sempre apoiado no plano inclinado, podemos afirmar que a resultante na direção perpendicular à superfície é nula. Logo:
Sabendo que:
Vem:
Como ela é contra o movimento, seu trabalho é negativo. Substituindo em , vem:
Prontinho 😊
Passo 6
e) Devemos calcular o trabalho da força peso atuando no bloco.
Pelo diagrama de forças do bloco, sabemos que o Peso possui:
- Uma componente perpendicular ao deslocamento , que não realizará trabalho;
- Uma componente no sentido oposto ao deslocamento , que realizará um trabalho negativo.
Portanto, vem:
Do item anterior, sabemos que:
Logo:
Show!
Passo 7
f) Mais um item de graça pra gente 😊
A questão pede pra determinar o trabalho da força normal atuante no disco. Mas, como já vimos, o trabalho da força normal é sempre nulo! Logo:
Fooi!!
Passo 8
g) Aqui devemos calcular o trabalho da força de atrito atuante no disco.
E aí, pergunta malandra agora, será que é só fazer ?
Nãooo hahaha, tem uma pegadinha nesse item. Sabe quando ele fala que o disco rola sem escorregar?
Então, isso significa que a velocidade do ponto de contato do disco na superfície está sempre com . Assim, é como se ele não estivesse sofrendo nenhum deslocamento a cada instante de tempo. Ou seja, temos uma força atuando, a força de atrito, mas não há deslocamento onde ela atua. Logo:
Interessante né? Vamo pro próximo 😊
Passo 9
h) O item nos pede para calcular o trabalho da força peso atuante no disco.
Basicamente, o trabalho da força peso é dado por:
Só que o nosso disco rola sob uma superfície plana horizontalmente, ou seja, não tem variação de altura.
Assim, temos também:
Perfeito!
Passo 10
i) Pra finalizar essa onda de cálculo de trabalho, devemos determinar o trabalho do momento binário atuante no disco. Vocês lembram como podemos calcular o trabalho de um momento?
Haha, bora rever agora pra não esquecer nunca mais. É só fazer:
Onde é o tanto que o disco girou enquanto o momento atuava. Pra essa questão o trabalho vai ser exatamente esse.
Prontinho 😊
Passo 11
Calma lá, já estamos acabando haha.
j) Devemos determinar a velocidade angular do disco, , em função de .
Bora ser esperto galera, todos esses itens mandando calcular trabalho não são à toa. Vamos abordar esse item por energia. Como temos forças conservativas e não conservativas misturadas, uma boa ideia é aplicar o Teorema da Energia Cinética. Assim, temos:
Logo:
O legal é que já determinamos todas essas variáveis nos itens anteriores. Daí, substituindo vem:
Colocando em evidência, temos:
Isolando , vem:
Logo:
Só deixando mais bonito, ficamos com:
Boa, falta só mais um itemm!
Passo 12
k) Pra finalizar, devemos determinar a aceleração angular do disco.
Lembra que:
E que:
Então é isso que vamos tentar usar. Do item anterior, temos:
Se derivarmos os dois lados da equação em relação ao tempo, temos:
Massa! Agora é só isolar :
AEEEE, terminamos!!! Bouaa galera.
Aproveita pra beber uma água, dar uma respirada, e depois já volta com tudoo. Tamo junto!
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
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