Exercícios Resolvidos de Trabalho e Energia

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Enunciado

02) Um disco rígido e homogêneo de massa m e raio r rola sem escorregar sobre um plano horizontal, conforme mostrado na figura. O disco é conectado por um fio ideal a um bloco de massa 2 m que escorrega com atrito sobre um plano com inclinação α . O sistema parte do repouso quando θ 0 = 0 sob a ação de um momento binário M constante. Sabendo que o coeficiente de atrito nas interfaces de contato é μ , pede-se:

a) A energia cinética do bloco em função da velocidade angular ω do disco.

b) A energia cinética do disco em função de sua velocidade angular ω .

c) O trabalho da força normal atuante no bloco em função de θ .

d) O trabalho da força de atrito atuante no bloco em função de θ .

e) O trabalho da força peso atuante no bloco em função de θ .

f) O trabalho da força normal atuante no disco em função de θ .

g) O trabalho da força de atrito atuante no disco em função de θ .

h) O trabalho da força peso atuante no disco em função de θ .

i) O trabalho do momento binário atuante no disco em função de θ .

j) A velocidade angular do disco em função de θ .

k) A aceleração angular do disco.

Passo 1

Eaí pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos um bloco em um plano inclinado que está preso, por um fio, a um disco que rola sem escorregar em uma superfície rugosa. A esse disco é aplicado um momento binário M . O sistema inteiro parte do repouso.

a) Pra começar, devemos determinar a energia cinética do bloco em função da velocidade angular ω do disco.

Bom, sabemos que, como o bloco parte do repouso, a energia cinética é dada por:

T b = 1 2 2 m v b 2

Mas, como podemos relacionar a velocidade angular ω do disco com a velocidade v b do bloco?

Então, a primeira sacada que precisamos ter é a do vínculo geométrico.

Como o bloco e o disco estão presos por um fio inextensível, eles precisam compartilhar da mesma velocidade. Assim:

v b = v d

Massa! Além disso, como ω é a velocidade de rotação do disco, podemos afirmar que:

v d = ω r

Logo, substituindo em T , vem:

T b = m ω 2 r 2

Excelente 😊

Passo 2

b) Nesse item devemos calcular a energia cinética do disco.

E a pergunta que não quer calar: a rotação vai influenciar em algo na energia cinética?

Hahaha, sim. Com certeza! Sempre que temos um corpo que translada e rotaciona, a energia cinética é dada por:

T d = 1 2 m v d 2 + J G Z ω 2 2

Lembra que o momento de inércia do disco vale:

J G Z = m r 2 2

Além disso, já vimos que:

v d = ω r

Substituindo esses dados, vem:

T d = m ω 2 r 2 2 + m r 2 2 ⋅ ω 2 2

T d = m ω 2 r 2 2 + m ω 2 r 2 4

Logo:

T d = 3 m ω 2 r 2 4  

Bouaa! Matamos mais um item 😊

Passo 3

Passo 4

c) Nesse item devemos determinar o trabalho da força normal atuando no bloco.

Mas pô, não precisa nem esquentar a cabeça com esse item, como a força normal é sempre perpendicular ao deslocamento sabemos que o seu trabalho é sempre nulo!

Portanto:

τ n o r m a l = 0

Passo 5

d) Agora devemos determinar o trabalho da força de atrito em função do ângulo θ de giro do disco.

Das equações da cinemática para um movimento circular, sabemos que:

θ = x d r

∴ x d = θ r

Só que, pelo vínculo geométrico, o bloco e o disco andam as mesmas distâncias. Assim:

x b = θ r

Como o trabalho vale:

τ = F ⋅ d

Temos:

τ F a t = F a t ⋅ x b

⇒   τ F a t = F a t ⋅ θ r

Mas, como calcular a força de atrito?

Precisamos desenhar o diagrama de forças do bloco. Sabendo que atuam o peso, a normal, a tração e a força de atrito, temos:

Daí, como o bloco está sempre apoiado no plano inclinado, podemos afirmar que a resultante na direção perpendicular à superfície é nula. Logo:

N B = 2 m g c o s α

Sabendo que:

F a t = μ ⋅ N B  

Vem:

F a t = μ 2 m g c o s α

Como ela é contra o movimento, seu trabalho é negativo. Substituindo em τ F a t , vem:

τ F a t = - 2 m g μ c o s α ⋅ θ r  

Prontinho 😊

Passo 6

e) Devemos calcular o trabalho da força peso atuando no bloco.

Pelo diagrama de forças do bloco, sabemos que o Peso possui:

- Uma componente perpendicular ao deslocamento ( P c o s α ) , que não realizará trabalho;

- Uma componente no sentido oposto ao deslocamento ( P s e n α ) , que realizará um trabalho negativo.

Portanto, vem:

τ P = - P s e n α ⋅ x b

Do item anterior, sabemos que:

x b = θ r

Logo:

τ P =   - 2 m g r s e n α ⋅ θ

Show!

Passo 7

f) Mais um item de graça pra gente 😊

A questão pede pra determinar o trabalho da força normal atuante no disco. Mas, como já vimos, o trabalho da força normal é sempre nulo! Logo:

τ N = 0

Fooi!!

Passo 8

g) Aqui devemos calcular o trabalho da força de atrito atuante no disco.

E aí, pergunta malandra agora, será que é só fazer τ = F a t ⋅ x d ?

Nãooo hahaha, tem uma pegadinha nesse item. Sabe quando ele fala que o disco rola sem escorregar?

Então, isso significa que a velocidade do ponto de contato do disco na superfície está sempre com v = 0 . Assim, é como se ele não estivesse sofrendo nenhum deslocamento a cada instante de tempo. Ou seja, temos uma força atuando, a força de atrito, mas não há deslocamento onde ela atua. Logo:

τ F a t d i s c o = 0

Interessante né? Vamo pro próximo 😊

Passo 9

h) O item nos pede para calcular o trabalho da força peso atuante no disco.

Basicamente, o trabalho da força peso é dado por:

τ P = m g Δ h

Só que o nosso disco rola sob uma superfície plana horizontalmente, ou seja, não tem variação de altura.

Δ h = 0

Assim, temos também:

τ P d i s c o = 0

Perfeito!

Passo 10

i) Pra finalizar essa onda de cálculo de trabalho, devemos determinar o trabalho do momento binário atuante no disco. Vocês lembram como podemos calcular o trabalho de um momento?

Haha, bora rever agora pra não esquecer nunca mais. É só fazer:

τ M = M ⋅ θ

Onde θ é o tanto que o disco girou enquanto o momento atuava. Pra essa questão o trabalho vai ser exatamente esse.

τ M = M θ

Prontinho 😊

Passo 11

Calma lá, já estamos acabando haha.

j) Devemos determinar a velocidade angular do disco, ω , em função de θ .

Bora ser esperto galera, todos esses itens mandando calcular trabalho não são à toa. Vamos abordar esse item por energia. Como temos forças conservativas e não conservativas misturadas, uma boa ideia é aplicar o Teorema da Energia Cinética. Assim, temos:

τ = Δ T d i s c o + b l o c o

Logo:

τ F a t b l o c o +   τ P B l o c o +   τ M d i s c o = Δ T d i s c o + Δ T b l o c o

O legal é que já determinamos todas essas variáveis nos itens anteriores. Daí, substituindo vem:

- 2 m g μ c o s α ⋅ θ r - 2 m g r s e n α ⋅ θ + M θ =   m ω 2 r 2 +   3 m ω 2 r 2 4    

Colocando θ em evidência, temos:

θ - 2 m g r μ c o s α - 2 m g r s e n α + M = 7 m ω 2 r 2 4

Isolando ω 2 , vem:

ω 2 = 4 θ ⋅ - 2 m g r μ c o s α - 2 m g r s e n α + M 7 m r 2

Logo:

ω = 4 θ ⋅ - 2 m g r μ c o s α - 2 m g r s e n α + M 7 m r 2

Só deixando mais bonito, ficamos com:

ω =   4 θ ⋅ M - 2 m g r ( μ c o s α + s e n α ) 7 m r 2  

Boa, falta só mais um itemm!

Passo 12

k) Pra finalizar, devemos determinar a aceleração angular do disco.

Lembra que:

ω = d θ d t

E que:

α = d ω d t

Então é isso que vamos tentar usar. Do item anterior, temos:

ω 2 = 4 θ ⋅ M - 2 m g r ( μ c o s α + s e n α ) 7 m r 2

Se derivarmos os dois lados da equação em relação ao tempo, temos:

2 ω ⋅ d ω d t = 4 ⋅ M - 2 m g r ( μ c o s α + s e n α ) 7 m r 2 ⋅ d θ d t

2 ω ⋅ α = 4 ⋅ M - 2 m g r ( μ c o s α + s e n α ) 7 m r 2 ⋅ ω

Massa! Agora é só isolar α :

α =   2 ⋅ M - 2 m g r ( μ c o s α + s e n α ) 7 m r 2

AEEEE, terminamos!!! Bouaa galera.

Aproveita pra beber uma água, dar uma respirada, e depois já volta com tudoo. Tamo junto!

Resposta

a) T b = m ω 2 r 2

b)

T d = 3 m ω 2 r 2 4

c) τ n o r m a l = 0

d) τ F a t = - 2 m g μ c o s α ⋅ θ r  

e)

τ P =   - 2 m g r s e n α ⋅ θ

f) τ N = 0

g) τ F a t d i s c o = 0

h) τ P d i s c o = 0

i) τ M = M θ

j) ω =   4 θ ⋅ M - 2 m g r ( μ c o s α + s e n α ) 7 m r 2  

k) α =   2 ⋅ M - 2 m g r ( μ c o s α + s e n α ) 7 m r 2

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