Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas Compostas

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Enunciado

Assinale a transformação linear, T : R 2 → R 2 , resultante da reflexão ortogonal através da reta y = 2 x seguida da reflexão ortogonal através da reta y = - 3 x :

a   T x , y = y , - x

b     T x , y = - 4 x 5 - 3 y 5 , - 3 x 5 + 4 y 5

c   T x , y = - y , x

d   T x , y = - 3 x 5 + 4 y 5 , 4 x 5 + 3 y 5

Passo 1

Vamos por partes. Nossa transformação T , pode ser escrita da seguinte forma:

T x , y = T 2 T 1 x , y

Onde T 1 é a transformação que reflete pela reta y = 2 x . Quando aplicada em vetores da reta ela retorna os próprios vetores da reta, e quando aplicada em vetores ortogonais a reta ela retorna eles vezes - 1 .

Os vetores na reta são esses:

y = 2 x ⇒ x , 2 x = x 1,2

E os ortogonais são da forma:

t - 2,1

Logo,

T 1 1,2 = 1,2

T 1 - 2,1 = ( 2 , - 1 )

Analogamente, nossa T 2 reflete pela reta y = - 3 x , cujos vetores são da forma:

y = - 3 x ⇒ x , - 3 x = x 1 , - 3

E cujos vetores ortogonais são:

t - 3 , - 1

Então ela faz o seguinte:

T 2 1 , - 3 = 1 , - 3

T 2 - 3 , - 1 = 3,1

Passo 2

Agora nós podemos encontrar as duas transformações pra achar a fórmula geral, ou achar as matrizes, multiplicar e depois passar pra T L de volta. Bom, vamos achar essas benditas T L s !

Primeiro T 1 :

T 1 1,2 = 1,2

T 1 - 2,1 = ( 2 , - 1 )

Então:

x , y = a 1,2 + b - 2,1

a - 2 b = x 2 a + b = y       I I I

De I temos que:

a = x + 2 b

Substituindo em I I :

2 x + 2 b + b = y

2 x + 5 b = y

b = y - 2 x 5

Substituindo em I :

a = x + 2 y - 2 x 5

a = x + 2 y - 4 x 5

a = 2 y + x 5

Vamos deixar essas relações guardadas e voltar pra nossa primeira equação:

x , y = a 1,2 + b - 2,1

T 1 x , y = a T 1 1,2 + b T 1 - 2,1

T 1 x , y = a 1,2 + b 2 , - 1

Substituindo a e b :

T 1 x , y = 2 y + x 5 1,2 + y - 2 x 5 2 , - 1 = 4 y - 3 x 5 , 3 y + 4 x 5

Passo 3

Agora T 2 :

T 2 1 , - 3 = 1 , - 3

T 2 - 3 , - 1 = 3,1

Então temos:

x , y = a 1 , - 3 + b - 3 , - 1

a - 3 b = x - 3 a - b = y       I I I

De I :

a = x + 3 b

Substituindo em I I :

- 3 x + 3 b - b = y

- 3 x - 10 b = y

b = - 3 x - y 10

Substituindo em I :

a = x + 3 - 3 x - y 10

a = x - 3 y 10

Voltando pra nossa primeira equação:

x , y = a 1 , - 3 + b - 3 , - 1

T 2 x , y = a T 2 1 , - 3 + b T 2 - 3 , - 1

T 2 x , y = a 1 , - 3 + b 3,1

T 2 x , y = x - 3 y 10 1 , - 3 + - 3 x - y 10 3,1

T 2 x , y = - 8 x - 6 y 10 , - 6 x + 8 y 10 = - 4 x - 3 y 5 , - 3 x + 4 y 5

Passo 4

Ufa, finalmente podemos achar T x , y :

T x , y = T 2 T 1 x , y = T 2 4 y - 3 x 5 , 3 y + 4 x 5 =

= - 4 4 y - 3 x 5 - 3 3 y + 4 x 5 5 , - 3 4 y - 3 x 5 + 4 3 y + 4 x 5 5 =

= - 16 y - 9 y + 12 x - 12 x 25 , - 12 y + 12 y + 9 x + 16 x 25 =

= - 25 y 25 , 25 x 25 = - y , x

Fala sério, você ficou com medo quando apareceu aquela equação enorme né? haha. Mas no final deu tudo certo, a resposta é a c .

Resposta

Letra c

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Seja T x , y , z = 2 x + y , x + y + z , y - 3 z de R 3 em R 3 com produto interno canônico.Mostre que T é um operador auto-adjunto mas não ortogonal.Se v = ( 2 , - 1,5 ) e w = ( 3,0 , 1 ) , verifique
Seja V um espaço vetorial real de dimensão n , T : V → V um operador linear auto-adjunto e v ∈ V um autovetor de T .Mostre que [ v ] , o espaço gerado por v , é invariante por aplicação do aperador T
Seja o operador linear T :R 3 → R 3 cuja matriz em relação à base canônica é 1 4 2 4 - 5 - 4 2 - 4 1 Exiba uma base ortonormal de autovetores.
Dada a matriz A = a 0 0 0 b c 0 c b Mostre que os autovalores são: a ,b + ceb - c Ache uma base de autovetores
Mostre que se T é uma transformação ortogonal do plano no plano, sua matriz em relação à base canônica só pode ser da forma: A = cos ⁡ α - s e nα s e nα cos ⁡ α Ou da forma: B = cos ⁡ α s e nα s e nα