Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas Compostas

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Enunciado

Seja T : R 2 → R 2 a rotação de 90° no sentido horário em torno da origem seguida pela projeção ortogonal sobre o eixo x. Calcule a matriz de T (em relação à base canônica).

(a) 1 0 0 0

(b) 0 1 0 0

(c) 0 0 1 0

(d) 0 0 0 1

Passo 1

Temos uma transformação seguida da outra, então vamos ter que trabalhar com composição de transformações lineares!

Vamos chamar de R a matriz que representa a rotação de 90° em torno da origem no sentido horário.

Bom, a matriz de rotação de um ângulo θ em torno da origem no sentido anti-horário é dada por:

R ' = c o s θ - s e n θ s e n θ c o s θ

Se queremos a matriz de rotação no sentido horário, basta usar a transposta dessa matriz!

Logo:

R = c o s θ s e n θ - s e n θ c o s θ

Como θ = 90 ° :

R = 0 1 - 1 0

Passo 2

Agora vamos chamar de P a matriz de projeção ortogonal no eixo x.

Para achar a matriz que representa essa transformação linear, vamos aplicar a transformação nos vetores da base em que estamos trabalhando (que no caso é a base canônica).

Temos:

P 1,0 = 1,0

P 0,1 = 0,0

Logo, a matriz que representa essa transformação é:

P = 1 0 0 0

Passo 3

Agora é só fazer a composição dessas duas transformações!

Lembrando que a transformação que vem primeiro fica à esquerda, vamos querer achar:

T = P ∘ R = P × R

T = 1 0 0 0 × 0 1 - 1 0

T = 0 1 0 0

Resposta

(b) 0 1 0 0

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