Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas Compostas

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Enunciado

Qual a matriz que realiza a reflexão ortogonal dos vetores do R 3 através do plano X Z , seguida de expansão de 4 e finalizada pela rotação de 30 graus em torno do eixo Y pela regra da mão direita (sentido trigonométrico).

a   2 3 0 2 0 - 4 0 - 2 0 2 3

b   4 0 0 0 - 4 0 0 0 4

c   3 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 3 2

d   1 0 0 0 - 1 0 0 0 1

Passo 1

Ta, vou fazer essa questão de duas formas, uma exige mais conhecimento, e a outra mais malandragem haha. Vamos lá. Primeiro a que exige mais conhecimento.

Bom, porque não montamos a bendita matriz? Nós sabemos a matriz de cada uma dessas operações individuais. São elas:

Reflexão pelo plano X Z :

1 0 0 0 - 1 0 0 0 1

Expansão de 4 em todas as direções:

4 0 0 0 4 0 0 0 4

Rotação de 30 ° em torno do eixo Y no sentido trigonométrico:

3 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 3 2

Agora é só multiplicarmos! É importante lembrar da ordem de multiplicação! A que vem primeiro tem que ficar mais a esquerda já que ela vai ser aplicada antes no vetor:

3 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 3 2 4 0 0 0 4 0 0 0 4 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1 = 3 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 3 2 4 0 0 0 - 4 0 0 0 4 = 2 3 0 2 0 - 4 0 - 2 0 2 3

Pronto, achamos nossa matriz!

Passo 2

Nós vimos como construir todas essas matrizes na teoria, mas realmente é meio chato ficar lembrando né? Principalmente a rotação e ainda tem que saber qual o sentido trigonométrico :p

Então vamos agora para o jeito mais malandro. Bom, aqui nós vamos explorar as opções! Vamos testar algum vetor que conheçamos o resultado e ver qual dá certo. Nosso maior problema é a parte da rotação, então vamos eliminar ela! Como estamos rodando em torno do eixo Y , se aplicarmos um vetor do eixo Y ele não vai girar ;)

Então pensa comigo, o que acontece se aplicarmos o vetor 0 , 1,0 nessa matriz do enunciado? Primeiro ele é refletido pelo plano X Z , então vira 0 , - 1,0 . Depois ele é multiplicado por 4 , e vira 0 , - 4,0 . E depois ele é girado em torno do eixo Y , mas como ele já está no eixo Y continua sendo 0 , - 4,0 .

Então se aplicarmos o vetor 0 , 1,0 nas matrizes temos que receber 0 , - 4,0 . Isso já elimina as matrizes c e d .

Por outro lado, se aplicarmos o vetor 1 , 0,0 o que acontece? Ele não é refletido, pois se encontra no plano de reflexão. Depois ele é expandido por 4 e vira 4,0 , 0 . E por último ele gira de 30 ° e saí do eixo X .

Repare que se você aplica o vetor 1 , 0,0 na letra b , o resultado continua no eixo X ! Já na letra a ele realmente é rodado então só pode ser essa a resposta!

Ficou com muita coisa escrita, mas na hora da prova como não precisa escrever nada disso, esse método fica muito mais rápido haha. O problema é que não é garantido que você ache a resposta com ele, poderia ficar em dúvida entre duas opções =/

Resposta

Letra a

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Seja T x , y , z = 2 x + y , x + y + z , y - 3 z de R 3 em R 3 com produto interno canônico.Mostre que T é um operador auto-adjunto mas não ortogonal.Se v = ( 2 , - 1,5 ) e w = ( 3,0 , 1 ) , verifique
Seja V um espaço vetorial real de dimensão n , T : V → V um operador linear auto-adjunto e v ∈ V um autovetor de T .Mostre que [ v ] , o espaço gerado por v , é invariante por aplicação do aperador T
Seja o operador linear T :R 3 → R 3 cuja matriz em relação à base canônica é 1 4 2 4 - 5 - 4 2 - 4 1 Exiba uma base ortonormal de autovetores.
Dada a matriz A = a 0 0 0 b c 0 c b Mostre que os autovalores são: a ,b + ceb - c Ache uma base de autovetores
Mostre que se T é uma transformação ortogonal do plano no plano, sua matriz em relação à base canônica só pode ser da forma: A = cos ⁡ α - s e nα s e nα cos ⁡ α Ou da forma: B = cos ⁡ α s e nα s e nα