Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas

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Enunciado

Calcule a projeção ortogonal do vetor 5,1 na reta definida pelo vetor 3,1 :

a   22 5 , 8 5

b   23 5 , 7 5

c   23 5 , 9 5

d   24 5 , 8 5

Passo 1

Vamos pegar a transformação T que faz essa projeção. Sabemos que ela aplicada nos vetores da reta sobre a qual estamos projetando dá os próprios vetores:

T 3,1 = 3,1

Por outro lado, se aplicarmos ela nos vetores perpendiculares à reta na qual estamos projetando, eles serão levados no zero:

T - 1,3 = 0,0

Com isso, podemos achar o resultado da projeção de qualquer vetor já que temos uma base do R 2 ! É só usarmos a linearidade da transformação.

Passo 2

Escrevendo o vetor 5,1 em função da nossa base 3,1 , - 1,3 :

5,1 = a 3,1 + b - 1,3

5 = 3 a - b 1 = a + 3 b       I I I

Isolando b em I :

5 = 3 a - b

b = 3 a - 5

Substituindo em I I :

1 = a + 3 3 a - 5

1 = a + 9 a - 15

16 = 10 a

a = 8 5

Substituindo em I :

5 = 24 5 - b ⇒ b = - 1 5

Passo 3

Então temos que:

5,1 = 8 5 3,1 - 1 5 - 1,3

T 5,1 = 8 5 T 3,1 - 1 5 T - 1,3

T 5,1 = 8 5 3,1 - 0

T 5,1 = 24 5 , 8 5

Resposta

Letra d

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