Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas

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Enunciado

Seja A a matriz 2 × 2   que representa, em relação à base canônica, a projeção ortogonal sobre a reta de equação 3 x - 2 y = 0 . A soma das entradas de A é:

(a) 15/13

(b) 20/13

(c) 25/13

(d) 30/13

Passo 1

Vamos começar achando uma base pro espaço que estamos projetando.

3 x - 2 y = 0 ∴ x = 2 y 3

Então os vetores da reta são do tipo:

x , y = 2 y 3 , y = y 2 3 , 1

E uma base pra esse espaço é { 2 3 , 1 } .

Lembra que se temos vetores da forma ( a , b ) , então os vetores do tipo ( - b , a ) são ortogonais a eles.

Então, os vetores ortogonais ao nosso espaço são - 1 , 2 3 .

Como ( 2 3 , 1 ) e ( - 1 , 2 3 ) são linearmente independentes, eles formam uma base para R 2 .

Passo 2

Vamos dizer que a matriz de projeção na reta dada é uma matriz P.

Se fizermos:

P ( 1,1 )

Vamos obter um vetor cuja primeira linha é a soma dos elementos da primeira linha de P e cuja segunda linha é a soma dos elementos da segunda linha de P.

Se eu somo as coordenadas desse vetor, eu tenho as somas dos elementos de P!

Então vamos ter que achar P(1,1).

Pra começar, vamos ver como escrevemos (1,1) na base { 2 3 , 1 , - 1 , 2 3 } que achamos no Passo 1:

1,1 = a 2 3 , 1 + b - 1 , 2 3

1,1 = 2 a 3 - b ,   a + 2 b 3

2 a 3 - b = 1 a + 2 b 3 = 1

Multiplicando a primeira equação por 2 3 :  

4 a 9 - 2 3 b = 2 3 a + 2 b 3 = 1

Somando as duas:

13 a 9 = 5 3

a = 15 13

Substituindo em qualquer uma das equações, vamos achar:

b = - 3 13

Passo 3

Beleza, então achamos que:

1,1 = 15 13 2 3 , 1 - 3 13 - 1 , 2 3

Aplicando a transformação P dos dois lados:

P 1,1 = P [ 15 13 2 3 , 1 - 3 13 - 1 , 2 3 ]

Mas a transformação de projeção é linear, então:

P 1,1 = 15 13 P 2 3 , 1 - 3 13 P ( - 1 , 2 3 )

Mas sabemos quem é P ( 2 3 , 1 ) e P ( - 1 , 2 3 ) !

Olha só, o vetor ( 2 3 , 1 ) pertence ao espaço em que estamos projetando, então a projeção dele vai ser ele mesmo!

Outra forma de dizer isso é:

P 2 3 , 1 = 2 3 , 1

Já o vetor ( - 1 , 2 3 ) pertence a um espaço ortogonal ao que estamos projetando, então a projeção dele vai ser o vetor nulo:

P - 1 , 2 3 = 0,0

Substituindo esses valores:

P 1,1 = 15 13 2 3 , 1 = ( 10 13 , 15 13 )

Passo 4

Lembra que eu falei que esse vetor tem em cada coordenada a soma de uma das linhas de P?

Então vamos somar as duas coordenadas dele pra obter a soma de todas as coordenadas da matriz que representa P!

10 13 + 15 13 = 25 13

Resposta

(c) 25/13

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