Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas

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Enunciado

Considere os planos paralelos

π : x + y + z = 0

τ : x + y + z = 1

E o ponto P = ( 1,1 , 0 ) .

(a) Determine a projeção ortogonal do ponto P na reta r : t , t , t ,   t ∈ R .

(b) Determine a projeção ortogonal do ponto P no plano π .

(c) Determine o espelhamento (reflexão) do ponto P em relação ao plano π .

(d) Considere o ponto Q = 2,1 , 0 . Observe que o ponto A = ( 1,0 , 0 ) pertence a τ e que P Q → = 0 A → (ou seja, transladando P pelo vetor 0 A → obtemos Q). Determine o espelhamento de Q em relação ao plano τ .

Passo 1

(a) Primeiro vamos lembrar como achamos a matriz de projeção ortogonal quando estamos projetando em uma direção v:

P v = v v T v T v

Achando essa matriz, se quisermos projetor um vetor u na direção v , basta fazer o produto da matriz pelo vetor u .

Nessa questão, queremos projetar na reta

r : t , t , t ,   t ∈ R

Que é na verdade a direção do vetor 1,1 , 1   (só colocar o parâmetro t pra fora e ver qual a direção da reta).

Então nossa matriz vai ficar:

Como a reta r contém a origem, projetar o ponto P é a mesma coisa que projetar o vetor 0 P → =(1,1,0).

Então vamos fazer:

Passo 2

(b) Note que a direção em que projetamos P anteriormente é a mesma direção do vetor normal n → = 1,1 , 1 do plano π .

O que tá acontecendo no espaço é mais ou menos isso aqui:

Ou seja, podemos escrever:

P v 1,1 , 0 + P π 1,1 , 0 = 0 P →

Ou seja:

P π 1,1 , 0 = 0 P → - P v 1,1 , 0

Substituindo:

P π 1,1 , 0 = 1,1 , 0 - 2 3 , 2 3 , 2 3 = 1 3 , 1 3 , - 2 3

Passo 3

(c) Quando falamos da reflexão de P em relação ao plano π , estamos pensando no seguinte:

Então temos que:

R π 1,1 , 0 = P π ( 1,1 , 0 ) - P v ( 1,1 , 0 )

Mas vimos antes que:

P π 1,1 , 0 = 0 P → - P v 1,1 , 0

Então:

R π 1,1 , 0 = 0 P → - P v 1,1 , 0 - P v 1,1 , 0

R π 1,1 , 0 = 0 P → - 2 P v 1,1 , 0

Substituindo os valores que já achamos:

R π 1,1 , 0 = 1,1 , 0 - 2 2 3 , 2 3 , 2 3 = ( - 1 3 , - 1 3 , - 4 3 )

Passo 4

(d) ) Considerando os pontos Q = 2,1 , 0   e A = ( 1,0 , 0 ) dados.

Temos:

P Q → = 0 A → ⇒ Q - P = 0 A → ⇒ Q = P + 0 A →

∴ Q = P + ( 1,0 , 0 )

Além disso, os planos dados foram:

π : x + y + z = 0

τ : x + y + z = 1

Note que o plano τ pode ser visto como o plano π transladado de (1,0,0).

Dessa forma, refletir Q por τ é a mesma coisa que refletir P por π e somar (1,0,0).

Sabemos do item anterior quanto vale a reflexão de P por π :

R π 1,1 , 0 = - 1 3 , - 1 3 , - 4 3

Logo:

R τ 2,1 , 0 = - 1 3 , - 1 3 , - 4 3 + 1,0 , 0 = ( 2 3 , - 1 3 , - 4 3 )    

Resposta

(a) P v 1,1 , 0 = 2 3 , 2 3 , 2 3

(b) P π 1,1 , 0 = 1 3 , 1 3 , - 2 3

(c) R π 1,1 , 0 = ( - 1 3 , - 1 3 , - 4 3 )

(d) R τ 2,1 , 0 = ( 2 3 , - 1 3 , - 4 3 )    

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