Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas

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Enunciado

Considere as seguintes transformações lineares de R 2 em R 2 : R , a reflexão através da reta y = - x ; P , a projeção (ortogonal) sobre a reta y=0; T , a transformação obtida pela composição de ambas, aplicando-se primeiro R e em seguida P . A matriz de T é:

(a) 0 - 1 0 0

(b) - 1 0 0 0

(c) 0 0 - 1 0

(d) 0 0 0 - 1

Passo 1

Vamos começar lembrando que uma matriz representa uma transformação linear, e uma transformação é um outro nome para função!

Assim como as funções, também podemos compor transformações lineares.

Se aplicamos primeiro a transformação B e depois a A, a composta vai ser dada por:

A ∘ B = A B

Então, se encontrarmos a matriz para a transformação R e a matriz para a P, podemos encontrar a de T, que é a composta das duas, fazendo:

T = P ∘ R = P R

já que primeiro foi aplicado R e depois P.

Agora vamos ver como podemos achar essas matrizes.

Passo 2

R é a transformação de R 2 em R 2 que faz a reflexão através da reta y = - x .

Então, pegando dois vetores ( 1,0 ) e ( 0,1 ) , o efeito de R nesses vetores vai ser:

R 1,0 = ( 0 , - 1 )

R 0,1 = ( - 1,0 )

Na primeira linha, temos a primeira coluna de R , enquanto na segunda temos a segunda coluna de R .

Logo, a matriz que representa essa transformação é:

R = 0 - 1 - 1 0

Passo 3

P é a transformação de R 2 em R 2 que faz a projeção ortogonal na reta y = 0 , que é na verdade o eixo x.

Então, de novo pegando dois vetores ( 1,0 ) e ( 0,1 ) , o efeito de P nesses vetores vai ser:

P 1,0 = ( 1,0 )

P 0,1 = ( 0,0 )

Na primeira linha, temos a primeira coluna de P , enquanto na segunda temos a segunda coluna de P .

Logo, a matriz que representa essa transformação é:

P = 1 0 0 0

Passo 4

Agora para achar a matriz composta de P com R, aplicando primeiro R e depois a P, fazemos:

T = P R =   1 0 0 0 0 - 1 - 1 0 = 0 - 1 0 0

Resposta

(a) 0 - 1 0 0

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