Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas

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Enunciado

Determine (geometricamente, não faça contas) o núcleo e a imagem de cada uma das T L s abaixo de R 3 em R 3 :

a   Projeção ortogonal na reta gerada pelo vetor 2,1 , 1

b   Reflexão em torno do plano x = 0

c   Projeção ortogonal no plano x = 0

Passo 1

a Sabemos que a projeção mantém inalteradas as componentes do vetor no subespaço em questão e zera as componentes perpendiculares a esse subespaço.

Logo, as componentes do vetor sobre a reta gerada pelo vetor 2,1 , 1 permanecem as mesmas. Já as componentes perpendiculares à reta são zeradas.

Dessa forma, o núcleo da T L será o plano 2 x + y + z = 0 , que é o plano perpendicular à 2,1 , 1 .

Já a imagem será a própria reta gerada pelo vetor 2,1 , 1 ! Como ele projeta os vetores sobre essa reta, essa T L só será capaz de gerar vetores dessa reta, percebe?

Passo 2

b Ao refletirmos um vetor nós mantemos inalteradas as componentes do vetor no subespaço em questão e multiplicamos por - 1 as componentes perpendiculares a esse subespaço.

Sendo assim, as componentes do vetor sobre o plano Y Z   x = 0 permanecerão inalteradas enquanto as componentes do eixo X serão multiplicadas por - 1 .

Como você pode ver, a reflexão não leva nenhum vetor em especial para o 0 . Então como podemos ver, o núcleo é apenas o 0 . Disso, tiramos que a imagem é todo o R 3 .

Passo 3

c   A reflexão não leva nenhum vetor para o 0 . A projeção, por outro lado, leva! A projeção no plano Y Z   x = 0 , mantém as componentes nesse plano inalteradas e leva as componentes perpendiculares à esse plano (eixo X ) no 0 .

Logo, o núcleo é o eixo X , ou ainda a reta gerada pelo vetor 1,0 , 0 . Já a imagem é o plano x = 0 .

Resposta

a   Núcleo é o plano perpendicular a ( 2 , 1,1 ) , isto é, o plano 2 x + y + z = 0 . Imagem é a reta gerada por ( 2 , 1,1 ) .

b   Núcleo é o 0 somente. Imagem é todo R 3 .

c   Núcleo é a reta gerada por ( 1 , 0,0 ) (o eixo X ). Imagem é o plano x = 0 , gerado pelos eixos Y e Z .

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