Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas

Elaboração Própria

Determine a matriz que realiza as seguintes transformações no R 3 :

a   Projeta os vetores do espaço no plano y = 0

b   Reflete os vetores do espaço em torno do plano z = 0

c   Reflete os vetores do espaço em torno do eixo X

Passo 1

a Bom, essa matriz representa a T L que mantém as componentes do vetor sobre o plano X Z   y = 0 inalteradas e zera as componentes sobre o eixo Y . Então:

T x , y , z = ( x , 0 , z )

Aplicando na base canônica do R 3 :

T 1,0 , 0 = 1,0 , 0

T 0,1 , 0 = 0,0 , 0

T 0,0 , 1 = 0,0 , 1

Logo,

T = 1 0 0 0 0 0 0 0 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Ao refletirmos os vetores em torno do plano X Y   z = 0 , nós estamos mantendo as componentes em X Y inalteradas e multiplicando as componentes em Z por - 1 . Logo:

T x , y , z = ( x , y , - z )

Temos então que:

T 1,0 , 0 = 1,0 , 0

T 0,1 , 0 = 0,1 , 0

T 0,0 , 1 = 0,0 , - 1

Com isso,

T = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

Passo 3

c   Quando refletimos os vetores em torno do eixo X , estamos mantendo inalteradas as componentes deles em X e multiplicando por - 1 as componentes no plano Y Z . Portanto:

T x , y , z = x , - y , - z

Então,

T 1,0 , 0 = 1,0 , 0

T 0,1 , 0 = 0 , - 1,0

T 0,0 , 1 = 0,0 , - 1

E

T = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

Resposta

a   1 0 0 0 0 0 0 0 1

b   1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

c   1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

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