Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas

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Enunciado

Seja T uma reflexão no plano, através de uma reta que passa pela origem. Se T 1,2 = 2 , - 1 , então T 3,1 é igual a

a   3,1

b   1 , - 3

c   3 , - 1

d   - 1,3

Passo 1

Se liga, o que precisamos pra aplicar a linearidade da nossa T L ? Precisamos dela aplicada em uma base do nosso domínio certo? Po, mas ele só deu a T L aplicada em um vetor =/

É aí que você se engana! Como estamos tratando da matriz reflexão ao nos dar a transformação aplicada em um vetor ele já nos deu ela aplicada em dois vetores! Pensa comigo, a gente refletiu um vetor. O que acontece se pegarmos o resultado disso e refletimos de novo? Voltamos para o nosso vetor original!! Isso acontece porque a inversa de uma matriz reflexão é sempre ela mesma!

Então nós temos o seguinte:

T 1,2 = 2 , - 1

T 2 , - 1 = 1,2

Agora sim podemos usar a linearidade:

3,1 = a 1,2 + b 2 , - 1

a + 2 b = 3 2 a - b = 1       I I I

Fazendo I + 2 I I :

5 a = 5

a = 1

Substituindo em I I :

2 - b = 1

b = 1

Então:

3,1 = 1,2 + 2 , - 1

T 3,1 = T 1,2 + T 2 , - 1

T 3,1 = 2 , - 1 + 1,2

T 3,1 = 3,1

Taí nossa resposta! Se quisermos ir um pouco mais a fundo na questão, podemos perceber também que a reta em torno da qual estamos refletindo é a reta gerada pelo vetor 3,1 !

Resposta

Letra a

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