Exercícios Resolvidos de Transformada de Função vezes Exponencial

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Enunciado

Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de t :

t 10 e - 7 t ; e t sen ⁡ 3 t ; e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3

Passo 1

Vamos lá galera! Primeiro vamos aplicar a transformada em:

t 10 e - 7 t

Vamos lembrar de duas transformadas. A primeira é:

L t n = n ! s n + 1

E a outra é:

L e c t f t = L f t s - c

Ou seja, basta “trocarmos” s por s - c . Assim, temos que:

L t 10 e - 7 t = L t 10 e - 7 t = L t 10 s + 7

Assim vamos ter

L t 10 e - 7 t = 10 ! s + 7 11

Passo 2

Agora vamos aplicar a transformada em:

e t sen ⁡ 3 t

Vamos lembrar da formula para sair direto:

L e a t sen ⁡ b t = b s - a 2 + b 2

Assim, fazendo a = 1 e b = 3 temos:

L e t sen ⁡ 3 t = 3 s - 1 2 + 3 2

Passo 3

E por último vamos aplicar a transformada em:

e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3

Primeiro vamos aplicar a transformada em cada parcela, assim:

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 L e - 3 t - 2 L e - 3 t t + 10 L e - 3 t cos ⁡ t 3

Lembrando que

L t n = n ! s n + 1

L e c t f t = L f t s - c

Assim, vamos ter

L e c t = L 1 s - c = L t 0 s - c = 0 ! s - c 0 + 1 = 1 s - c

E

L e c t t = L t 1 s - c = 1 ! s - c 1 + 1 = 1 s - c 2

Além disso

L e a t cos ⁡ b t = s - a s - a 2 + b 2

Assim, temos que:

9 L e - 3 t = 9 s + 3

2 L e - 3 t t = 2 s + 3 2

10 L e - 3 t cos ⁡ t 3 = 10 s + 3 s + 3 2 + 1 3 2

Logo temos que a transformada da soma ficará:

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 s + 3 - 2 s + 3 2 + 10 s + 3 s + 3 2 + 1 9

Resposta

L t 10 e - 7 t = 10 ! s + 7 11

L e t sen ⁡ 3 t = 3 s - 1 2 + 3 2

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 s + 3 - 2 s + 3 2 + 10 s + 3 s + 3 2 + 1 3 2