Exercícios Resolvidos de Transformada de Função vezes Exponencial

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Enunciado

Determine por meio da definição de transformada de Laplace, a transformada de Laplace da seguinte função (obs: Só será considerado o cálculo feito pela definição!)

f t = 3 t e t

Passo 1

Se a gente sabe utilizar as relações para calcular a transformada de Laplace da nossa função f , já começamos o jogo ganhando! Saberemos que a resposta deve ser:

L 3 t e t = 3 s - 1 2

Seria tudo resolvido tão facilmente. Mas, infelizmente, não é isto que a questão pede. Precisamos obter a transformada de Laplace pela definição. Vamos só aproveitar para confirmar o resultado que fizermos pela definição com o resultado esperado.

Vamos começar relembrando a definição da transformada de Laplace. Seja uma função f t , a sua transformada será dada por:

L f t = ∫ 0 ∞ e - s t f t d t

Portanto, como a nossa função é f t = 3 t e t , temos que resolver a seguinte integral:

L f t = ∫ 0 ∞ e - s t 3 t e t d t = 3 ∫ 0 ∞ t e - s - 1 t d t

Passo 2

Agora que já montamos a transformada de Laplace pela definição, precisamos resolver esta integral imprópria. Primeiramente, vamos resolver a integral indefinida associada. Depois, substituiremos os limites de integração.

Portanto, a integral indefinida associada é:

∫ t e - s - 1 t d t

Vamos precisar integrar por partes. Relembrando,

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então, seja u = t e d v = e - s - 1 t . Então, d u = d t e v = - e - s - 1 t s - 1 , resultados obtidos pela derivação direta e integração das funções.

Se substituirmos as relações acima na forma da integração por partes, temos:

∫ t e - s - 1 t d t = - t e - s - 1 t s - 1 + ∫ e - s - 1 t s - 1 d t

Resolvendo a última integral, temos:

∫ t e - s - 1 t d t = - t e - s - 1 t s - 1 - e - s - 1 t s - 1 2

Passo 3

Após resolvermos a integral indefinida, podemos substituir na integral imprópria do passo 1 e substituirmos os limites de integração. Portanto,

L f t = 3 ∫ 0 ∞ t e - s - 1 t d t = 3 ⋅ - t e - s - 1 t s - 1 - e - s - 1 t s - 1 2 0 ∞

Como não podemos substituir o valor , temos que aplicar um limite com x → ∞ . Sempre precisamos fazer isto com integrais impróprias. Já para t = 0 , podemos substituir diretamente na função. Sendo assim, temos:

L f t = 3 lim x → ∞ ⁡ - t e - s - 1 t s - 1 - e - s - 1 t s - 1 2 - - 0 ⋅ e - s - 1 ⋅ 0 s - 1 - e - s - 1 ⋅ 0 s - 1 2

L f t = 3 - lim x → ∞ ⁡ t e - s - 1 t s - 1 - lim x → ∞ ⁡ e - s - 1 t s - 1 2 - 0 - 1 s - 1 2

Vamos resolver separadamente cada limite. Começando pelo primeiro que aparece, temos:

lim x → ∞ ⁡ t e - s - 1 t s - 1 = ∞ ⋅ e - ∞ s - 1 = ∞ ⋅ 0 s - 1 = ∞ ⋅ 0

Temos uma indeterminação no final! Para resolvermos esta indeterminação, vamos passar o termo e - s - 1 t para o denominador e transforma esta indeterminação em ∞ / ∞ . Depois, vamos utilizar a regra de L’Hospital (deriva em cima e deriva em baixo) e observar se o valor obtido ainda é uma indeterminação ou se já é a resposta!

Portanto,

lim x → ∞ ⁡ t e - s - 1 t s - 1 = lim x → ∞ ⁡ t s - 1 e s - 1 t = ∞ s - 1 e ∞ = ∞ ∞

Após confirmarmos a indeterminação, aplicamos a Regra de L’Hospital. Portanto,

lim x → ∞ ⁡ t s - 1 e s - 1 t = lim x → ∞ ⁡ 1 s - 1 2 e s - 1 t = 1 s - 1 2 e ∞ = 1 ∞ = 0

Pronto o nosso primeiro limite é 0. Se nós substituirmos lá na transformada de Laplace, temos:

L f t = 3 - lim x → ∞ ⁡ e - s - 1 t s - 1 2 + 1 s - 1 2

Só nos resta resolvermos este outro limite. Também é esperado que ele seja zero, para que coincida com a resposta que escrevemos no Passo 1. Vamos confirmar isto agora!

lim x → ∞ ⁡ e - s - 1 t s - 1 2 = e - ∞ s - 1 2 = 0 s - 1 2 = 0

E realmente coincidiu. Portanto,

L f t = 3 - 0 + 1 s - 1 2

L f t = 3 s - 1 2

E é exatamente a resposta que escrevemos logo no início do Passo 1!

Resposta

L f t = 3 s - 1 2