Exercícios Resolvidos de Transformada de Função vezes Exponencial

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Enunciado

Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de t :

t senh ⁡ 3 t ; t cos ⁡ 2 t ; e t d 100 e - t t 100 d t 100

Passo 1

Vamos resolver uma transformada em cada passo. Primeiro, vamos calcular:

L t senh ⁡ 3 t s

Ok, aqui temos um t que multiplica senh ⁡ 3 t . Bem, aqui temos que lembrar que o t vai remeter a derivada:

L t n f ( t ) s = - 1 n d n F s d s n

Beleza, resta saber F s = L f ( t ) s . Neste caso, f t = senh ⁡ 3 t , cuja transformada é tabelada e igual a:

L senh ⁡ a t s = a s 2 - a 2

Repara que é igual ao do sen ⁡ a t , só que com o sinal do a trocado embaixo. Só pela oportunidade, a mesma lógica vale para o cosh ⁡ a t :

L cosh ⁡ a t s = s s 2 - a 2

Se seu professor não dá uma tabela na prova, fica a dica na hora de lembrar. Você também pode usar a definição e o resultado vai sair integrando por partes. Agora, retornando ao nosso problema, temos:

L senh ⁡ 3 t s = 3 s 2 - 3 2

Logo:

L t senh ⁡ 3 t s = - 1 d d s 3 s 2 - 3 2

Em que, usando a regra da cadeia:

- 1 d d s 3 s 2 - 3 2 = ( - 1 ) d d s 3 s 2 - 9 - 1 = - 1 ⋅ - 3 s 2 - 9 - 2 ⋅ 2 s

L t senh ⁡ 3 t s = 6 s s 2 - 9 2

Passo 2

Agora vamos calcular:

L t cos ⁡ 2 t

Lembrando que:

L t n f ( t ) s = - 1 n d n F s d s n

Temos:

L t cos ⁡ 2 t = - 1 d L cos ⁡ 2 t d s

Como:

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Então, usando a regra do quociente:

- 1 d L cos ⁡ 2 t d s = - 1 d d s s s 2 + 2 2 = - 1 ⋅ s ' ⋅ s 2 + 4 - s ⋅ s 2 + 4 ' s 2 + 4 2

L t cos ⁡ 2 t = - 1 ⋅ 1 s 2 + 4 - s 2 s s 2 + 4 2 = - 1 ⋅ s 2 + 4 - 2 s 2 s 2 + 4 2

L t cos ⁡ 2 t = s 2 - 4 s 2 + 4 2

Passo 3

Para fechar, vamos calcular agora:

L e t d 100 e - t t 100 d t 100

Temos que lembrar aqui que a exponencial vai atuar deslocando a transformada do que ela está multiplicando:

L e a t f t = L f t s - a

Neste caso, temos que: f t = d 100 e - t t 100 d t 100

Então vamos calcular a transformada:

L d 100 e - t t 100 d t 100 s

Para isso, precisamos lembrar da transformada de uma derivada, de forma geral:

L d n g t d s n = s n L g t - s n - 1 g ' 0 … - s g n - 2 0 - g n - 1 0

Vamos calcular esses termos para o que nós temos. Para g t = e - t t 100 :

L g t = L e - t t 100 = L t 100 s + 1

Como:

L t n = n ! s n + 1

Temos:

L t 100 s + 1 = 100 ! s + 1 101

OK, agora temos que calcular algumas as derivadas para entender o que acontece. Usando a regra do produto:

g ' t = e - t t 100 ' = - e - t t 100 + e - t ⋅ 100 ⋅ t 99

g ' ' t = - e - t t 100 + e - t ⋅ 100 ⋅ t 99 '

= e - t t 100 + e - t ⋅ 100 ⋅ t 99 - 100 e - t t 99 + 100 ⋅ 99 ⋅ e - t t 98

g ' ' ' t = e - t t 100 + 100 ⋅ 99 ⋅ e - t ⋅ t 98 '

= - e - t t 100 + e - t ⋅ 100 ⋅ t 99 - 100 ⋅ 99 ⋅ e - t ⋅ t 98 + 100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ e - t ⋅ t 97

Para não ter que fazer isso 100 vezes, vamos reparar que em todas as derivadas aparecem o t elevado a alguma coisa multiplicando tudo. De forma que o termo de menor grau multiplicando é, para cada derivada:

g ' t → t 99

g ' t → t 98

g ' ' ' t → t 97

Então, é natural supor que:

g n t → t 100 - n

Logo, temos, neste caso:

L d 100 g t d t 100 s = s 100 L g t - s 99 g ' 0 … - s g 98 0 - g 99 0

Todas as derivadas que aparecem tem todos os termos multiplicados por t de grau maior ou igual a 1 , logo, para t = 0 :

g ' 0 = g ' ' 0 = … = g 98 0 = g 99 0 = 0

E temos:

L d 100 e - t t 100 d t 100 s = s 100 ⋅ 100 ! s + 1 101

Então, temos que:

L e t d 100 e - t t 100 d t 100 = s + 1 100 ⋅ 100 ! s + 2 101

Pronto!

Resposta

L t senh ⁡ 3 t s = 6 s s 2 - 9 2 ; L t cos ⁡ 2 t = s 2 - 4 s 2 + 4 2 ; L e t d 100 e - t t 100 d t 100 = s + 1 100 ⋅ 100 ! s + 2 101