Exercícios Resolvidos de Túnel Através de um Planeta

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 401 ex. 79

Um túnel reto é cavado através de um planeta esférico homogêneo com massa específica de massa ρ 0 . O túnel passa pelo centro do planeta e é perpendicular ao eixo de rotação do planeta, que é fixo no espaço. O planeta gira com uma certa rapidez angular constante ω para a qual objetos no túnel não possuem peso aparente. Determine esta rapidez angular ω .

Passo 1

Vimos que a força que age sobre um objeto nu túnel é dada por:

F = G M m r R 3 = m ω 2 r

Logo, a rapidez angular é dada por:

ω = G M R 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que:

ρ 0 = M V

Como o planeta é esférico, temos que:

V = 4 3 . π R 3

Logo:

M = ρ 0 . 4 3 π R 3

Passo 3

Substituindo a expressão que encontramos no passo 2 na expressão do passo 1, temos:

ω = G ρ 0 . 4 3 π R 3 R 3 = 4 π G ρ 0 3

Resposta

ω = 4 π G ρ 0 3

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