Exercícios Resolvidos de Túnel Através de um Planeta

Ver Teoria

Enunciado

Um túnel reto é cavado através de um planeta esférico homogêneo com massa específica de massa ρ 0 . O túnel passa pelo centro do planeta e é perpendicular ao eixo de rotação do planeta, que é fixo no espaço. O planeta gira com uma certa rapidez angular constante ω para a qual objetos no túnel não possuem peso aparente. Determine esta rapidez angular ω .

Passo 1

Vimos que a força que age sobre um objeto nu túnel é dada por:

F = G M m r R 3 = m ω 2 r

Logo, a rapidez angular é dada por:

ω = G M R 3

Passo 2

Sabemos que:

ρ 0 = M V

Como o planeta é esférico, temos que:

V = 4 3 . π R 3

Logo:

M = ρ 0 . 4 3 π R 3

Passo 3

Substituindo a expressão que encontramos no passo 2 na expressão do passo 1, temos:

ω = G ρ 0 . 4 3 π R 3 R 3 = 4 π G ρ 0 3

Resposta

ω = 4 π G ρ 0 3

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que um planeta é uma esfera homogênea de raio R que (de alguma forma) possui um túnel radial estreito que passa pelo centro do planeta (Figura. 13-7). Suponha também que é possível posicionar
Suponha que um planeta é uma esfera homogênea de raio R que (de alguma forma) possui um túnel radial estreito que passa pelo centro do planeta (Figura. 13-7). Suponha também que é possível posicionar
Perfuramos um túnel da superficie até o centro da Terra (Figura 12.25). Como no Exemplo 12.10 (Seção 12.6), considere a hipótese bastante irreal de que a densidade da Terra seja constante. Com essa ap
A Fig. 13-41 mostra, fora de escala, um corte transversal da Terra. O interior da Terra pode ser dividido em três regiões: a crosta, o manto e o núcleo. A figura mostra as dimensões das três regiões e
Com que velocidade uma carta passaria pelo centro da Terra se caísse no túnel do exemplo 13 - 4 ?Imagem do exemplo 13-4: