Túnel Através de um Planeta

Teoria Completa

Vamos dar uma viajada agora, beleza? Mas fica tranquilo que vai dar tudo certo. Vem comigo!

Imagina que um maluco cava um túnel que atravessa um planeta. Como será que a força gravitacional agiria sobre alguma coisa que estivesse passando dentro desse túnel?

Vamos ver, primeiramente, fazendo um desenho:

Bom, aprendemos que, em uma esfera maciça, quando queremos calcular a força gravitacional quando r < R , temos que acumular a massa da esfera que dista r do centro e calcular a força gerada por ela, certo? Tem um tópico explicando isso tim tim por tim tim antes desse aqui, heim!? ;)

Se fizermos isso agora, conseguimos entender o porquê da força ser horizontal, já que ela está simplesmente apontando pro centro do planeta.

Então, a força F → , como mostrada no desenho, considerando que o objeto tem massa m , é dada por:

F → = - G M m R 3   r   i ^

No entanto, podemos melhorar isso aí, pois de acordo com o nosso desenho acima:

x → = r i ^

Substituindo:

F → = - G M m R 3   x →

O que faz sentido, já que, quando x for negativo, a força inverterá seu sentido.

OPAAA! Se me lembro bem, esse é um tipo conhecido de força, certo? Como G M / R 3 é uma constante, temos a equação de uma força em MHS (Movimento Harmônico Simples) da forma:

F → = - c x →

Onde:

c = G M R 3

Bem cara de força elástica, não é mesmo? :o

“Que maneiro! Então quer dizer que, se não houver atrito, uma partícula em um túnel ia ficar oscilando ali indeterminadamente?”

Isso mesmo! A gente pode calcular até a frequência dessa oscilação! Saca só:

G M m R 3 x = k x → k = G M m R 3

Lembra como é a frequência angular no MHS? É assim ó

ω 2 = k m

Assim com a nossa “constante de mola”

ω 2 = G M m R 3 m

ω = G M R 3

Bizarro né?! Lembrando que com essa frequência angular podemos calcular a frequência e o período desse movimento

f = ω 2 π

T = 2 π ω

Obs: Não confunda essa frequência que acabamos de calcular com a frequência de um corpo orbitando um planeta! É que as duas frequências são iguais (em valor) mas têm significados totalmente diferentes. Uma frequência é a de um MHS e a outra é de uma rotação!

Não tem muito o que inventar mais sobre esse assunto, mas não deixe de praticar. Bora lá!

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 401 ex. 79

Um túnel reto é cavado através de um planeta esférico homogêneo com massa específica de massa ρ 0 . O túnel passa pelo centro do planeta e é perpendicular ao eixo de rotação do planeta, que é fixo no espaço. O planeta gira com uma certa rapidez angular constante ω para a qual objetos no túnel não possuem peso aparente. Determine esta rapidez angular ω .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vimos que a força que age sobre um objeto nu túnel é dada por:

F = G M m r R 3 = m ω 2 r

Logo, a rapidez angular é dada por:

ω = G M R 3

Passo 2

Sabemos que:

ρ 0 = M V

Como o planeta é esférico, temos que:

V = 4 3 . π R 3

Logo:

M = ρ 0 . 4 3 π R 3

Passo 3

Substituindo a expressão que encontramos no passo 2 na expressão do passo 1, temos:

ω = G ρ 0 . 4 3 π R 3 R 3 = 4 π G ρ 0 3

Resposta

ω = 4 π G ρ 0 3

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