Teoria Completa
Já sabemos como calcular os autovetores e autovalores de uma matriz. Mas lembra que toda matriz pode ser representada por uma ? Então, como calcular os autovalores e autovetores de uma ?
Bom, é mais simples do que você imagina. Quando associamos um autovalor ou autovetor a uma matriz, estamos nos referindo a matriz que representa uma transformação indo da base canônica para a canônica.
Primeiramente, podemos reescrever aquela definição que demos de autovetor e autovalor usando transformação no lugar de matriz. No fundo, é a mesma coisa que vimos com matrizes. Se você aplica uma transformação em algum vetor e ela “cospe” um múltiplo do vetor, então esse vetor é um autovetor. E o valor que foi multiplicado por ele é um autovalor. Se liga:
Bom, vamos usar a abaixo como exemplo.
Para encontrarmos seus autovalores primeiramente basta calcular as raízes do polinômio característico. Lembra dele? Esse aqui oh:
Só que agora temos , que é a matriz que representa a transformação na base canônica. Assim sendo:
OBS: Lembre-se que é a matriz identidade e a transformação identidade.
Então, para encontrar os autovalores basta fazer .
Vamos testar para a nossa .
Logo, e !!
E para achar os autovetores?
Como já vimos, podemos usar a forma matricial fazendo:
Ou então podemos usar agora a . Basta fazer:
Vamos usar essa para :
Assim, nossos autovetores são . Que é a mesma coisa que . Era de se esperar que desse infinitos valores, já que temos um autoespaço né?
Agora vamos um método de matrizes para :
Resolvendo o sistema achamos que , e portanto, nossos autovetores são .
Repare que a fórmula usada acima foi basicamente:
Caso você não tenha a matriz na base canônica, é só usar a mesma fórmula acima só que para outra base qualquer:
Tanto o polinômio característico, quanto os autovalores da serão os mesmos. A única coisa que vai mudar é que você não vai encontrar o autovetor direto, e sim as coordenadas do autovetor na base . Preste bastante atenção nisso ;)
Proposições com Autovalores e Autovetores
Bom galera não tem nada novo nesse capítulo. Vamos apenas nos limitar a usar as propriedades de autovalores e autovetores para provar coisas. Vamos ver um exemplo que é o melhor jeito de entendermos.
Sejam e autovetores, definimos com . Temos que e estão associados ao mesmo autovalor . Prove que é autovetor associado a .
Taí o problema que temos que resolver. Vamos dar uma traduzida no que ele quer? Ele quer que a gente prove que, se tivermos dois autovetores associados ao mesmo autovalor , qualquer vetor gerado pela desses dois autovetores também será um autovetor associado à .
Vamos começar a usar as propriedades que conhecemos. Sabemos que e são autovetores de uma matriz, ou de uma . Vamos chamar essa de . Logo, pelo enunciado, temos:
Então queremos que:
Pela linearidade, temos:
Opa, os dois lados da igualdade batem, então está provado ;)
Basicamente é isso aí que você vai fazer. Vamos dar uma praticada nos exercícios!
Exercício Resolvido #1
Sejam uma base de e a transformação linear tal que:
Encontre
Encontre o polinômio característico de
Encontre os autovalores de
Encontre os autovetores de
Passo 1
Bom, para encontrar a matriz , basta apenas escrevermos as imagens dos vetores da base como uma da base .
Logo nossa matriz fica assim:
Passo 2
Agora basta calcular o polinômio característico da matriz acima, pois é a mesma coisa para qualquer base.
Passo 3
Para achar os autovalores, basta achar o polinômio característico:
Se , então:
Assim temos então dois autovalores, sendo o segundo deles repetido (multiplicidade ). São eles:
Passo 4
Agora faltam só os autovetores!
Vamos usar a propriedade:
Para
Assim, temos que:
Passo 5
Agora falta achar a relação de com as coordenadas
E finalmente!
Logo, os autovetores de são:
Passo 6
Agora vamos achar os autovetores de :
Aplicando as relações do passo anterior:
Logo os autovetores de são:
Resposta
e
Exercício Resolvido #2
Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações abaixo:
Passo 1
Letra a)
Para calcular os autovalores precisamos de uma matriz, então vamos achar a matriz que representa na base canônica:
Como se trata de uma base canônica, não precisamos reescrever nas coordenadas dela:
Fazendo:
Passo 2
Calculando os autovetores.
Para
Para :
Passo 3
Letra b)
É só repetir o que fizemos na letra a), só que para coordeandas:
Como a matriz é triangular inferior, o seu determinante é o produto das diagonais:
Assim, podemos ver que os autovalores são
Passo 4
Chegou a hora de calcular os autovetores!
Para :
Para :
Para :
Resposta
Letra a)
Letra b)
Os autovetores, são os respectivos autoespaços, excluindo o vetor nulo.
Exercício Resolvido #3
Se e são valores próprios de um operador linear associados aos vetores próprios e , respectivamente, determinar
Passo 1
Pela linearidade da transformação, temos que:
Além disso, como é autovetor associado ao autovalor , temos:
Por sua vez, como é autovetor associado ao autovalor , temos:
Juntando todas essas informações, temos que:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Seja uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor , sem alterar as direções nem inverter os sentidos.
Calcular
Qual a matriz do operador na base ?
Passo 1
Sabemos que a transformação dobra o comprimento do vetor sem alterar sua direção nem inverter seu sentido. Sendo assim, podemos dizer que é autovetor associado ao autovalor . Temos assim:
Analogamente, temos que é autovetor associado ao autovalor . Temos então:
Agora o que temos que fazer é escrevermos em função de e e nos aproveitarmos da linearidade da transformação. Temos:
Logo:
De
Substituindo em
Portanto,
Juntando todas essas informações, temos que: