Classificação de Formas Quadráticas

Teoria Completa

Fala galera, nesse capítulo vamos ver como classificar formas quadráticas!!

Tá, mas o que diabos é uma forma quadrática? Uma forma quadrática é uma função desse tipo:

f x , y = a x 2 + b x y + c y 2

Esse tipo de função pode ser classificada em:

  • Definida positiva f x , y > 0 para todo x , y R não nulo
  • Definida negativa f x , y < 0 para todo x , y R não nulo
  • Semi-definida positiva f x , y 0 para todo x , y R não nulo
  • Semi-definida negativa f x , y 0 para todo x , y R não nulo
  • Indefinida f x , y pode ser positivo ou negativo dependendo de x e y

Okay, mas como classificamos isso? Primeiro temos que escrever ela de uma forma meio estranha. Vamos ver um exemplo pra ficar claro:

Exemplo:

Temos f x , y = 2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 . Essa função pode ser escrita na forma:

f x , y = 2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 = x y 2 - 2 - 2 2 x y

Como podemos ver, a matriz 2 - 2 - 2 2 é simétrica e portanto diagonalizável! Se calcularmos os autovalores dela obteremos 0 e 4 . Se diagonalizarmos ela ficaremos com algo assim:

2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 = x y 2 - 2 - 2 2 x y = x y P 0 0 0 4 P - 1 x y

Por ser simétrica, a matriz além de diagonalizável também possui uma base ortonormal de autovetores, lembra? Ou seja, podemos encontrar uma matriz de autovetores P ortogonal, de forma que P - 1 = P T . Se fizermos ainda P = Q T P T = Q , temos:

2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 = x y Q T 0 0 0 4 Q x y

Agora chamamos v = x y e v T = x y . E definimos w = Q v w T = v T Q T . Logo:

2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 = w T 0 0 0 4 w

De forma geral, temos w = a b , portanto:

2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 = a b 0 0 0 4 a b

Ufa, agora se fizermos o produto:

2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 = a b 0 0 0 4 a b = a b 0 4 b = 4 b 2

Temos que b 2 0 para vetores a , b 0,0 , logo essa forma quadrática é semi-definida positiva!

O procedimento geral é o seguinte:

Dada uma forma quadrática:

f x , y = a x 2 + b x y + c y 2

Passo 1: Reescreva a função na forma:

x y a b 2 b 2 c x y

Passo 2: Ache os autovalores da matriz a b 2 b 2 c e reescreva novamente a função como:

a b λ 1 0 0 λ 2 a b

Passo 3: Se todos os autovalores forem positivos, a função é definida positiva. Se todos os autovalores forem negativos, a função é definida negativa. Se a função tiver apenas autovalor nulo e positivo, ela é semi-definida positiva. Se a função tiver apenas autovalor nulo e negativo, ela é semi-definida negativa. Caso contrário, a função será indefinida.

Obs.: Ao invés de calcularmos os autovalores podemos fazer uma análise mais rápida pelo determinante e traço da matriz. Como o determinante é o produto dos autovalores, se ele for menor que zero, temos que a função é indefinida.

Se o determinante for maior que zero, encontramos o traço da matriz (soma dos autovalores). Se o traço for positivo, a função é positivo definida. Se for negativo, a função é negativo definida.

Se o determinante for igual a zero, encontramos o traço da matriz. Se o traço for positivo, a função é semi-definida positiva. Se for negativo, a função é semi-definida negativa.

Classificação para funções de 3 variáveis

De forma análoga, podemos classificar funções do tipo:

f x , y , z = a x 2 + b x 2 + c z 2 + d x y + e x z + f y z

Passo 1: Reescreva a função na forma:

x y z a d 2 e 2 d 2 b f 2 e 2 f 2 c x y z

Passo 2: Ache os autovalores da matriz a d 2 e 2 d 2 b f 2 e 2 f 2 c e reescreva novamente a função como:

a b c λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 a b c

Passo 3: Se todos os autovalores forem positivos, a função é definida positiva. Se todos os autovalores forem negativos, a função é definida negativa. Se a função tiver apenas autovalores nulos e positivos, ela é semi-definida positiva. Se a função tiver apenas autovalores nulos e negativos, ela é semi-definida negativa. Caso contrário, a função será indefinida.

Obs.: Aqui como temos 3 autovalores aquela análise que fizemos do determinante e traço não vale mais!!! Tem até um jeito de se encontrar pelos determinantes mas não vale a pena tratarmos dele aqui. Vamos ter que achar os autovalores na raça mesmo haha.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 24 – Prob. 1.14

Determine por inspeção se é L I :

a   1,2 , 2,3 , 2,4 , 4,5

b   - 1,2 , 1 , - 3 , 3 , - 6 , - 3,9

c   1,2 , 2,1 , 3,3

d   1,2 , 3,4 , 5 , 0,0 , 0,0 , 0 , 5,4 , 3,2 , 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Letra ( a )

Como podemos ver o segundo vetor é quase o primeiro, pois se multiplicarmos o primeiro por 2 , teremos:

2 1,2 , 2,3 = 2,4 , 4,6

E como as três primeiras coordenadas ficaram iguais, caso forcemos a ultima coordenadas ser 5 , as outras três ficarão diferentes. Então, podemos afirmar que não existe um jeito de forçar o vetor ( 1,2 , 2,3 ) de ficar com as coordenadas iguais ao ( 2,4 , 4,5 ) , sendo multiplicado por um numero apenas. Logo é conjunto é L I .

Letra ( b )

Bom, se multiplicarmos o primeiro vetor por - 3 ele dá exatamente o segundo vetor e, portanto vemos que ambos são múltiplos. Logo o conjunto é L D .

Passo 2

Letra ( c )

Podemos ver que se somarmos os dois primeiros vetores desse conjunto, teremos:

1,2 + 2,1 = 3,3

Que dá exatamente o terceiro vetor e, portanto, o conjunto é L D .

Letra ( d )

Opa, viu o vetor nulo, não precisa nem pensar! Já sabe que o conjunto é L D !

Resposta

a   Sim

b   Não

c   Não

d   Não

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Classifique as formas quadráticas abaixo:

a f x , y = - 16 x 2 + 8 x y - y 2

b f x , y = 2 x 2 + 3 x y - y 2

c f x , y , z = 2 x 2 + y 2 + 2 y z + z 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a   Reescrevemos a função como:

f x , y = - 16 x 2 + 8 x y - y 2 = x y - 16 4 4 - 1 x y

Temos que:

- 16 4 4 - 1 = 16 - 16 = 0

t r - 16 4 4 - 1 = - 17

Como o determinante é zero, e o traço é negativo, a função é semi definida negativa.

Passo 2

b   Reescrevemos a função como:

f x , y = 2 x 2 + 3 x y - y 2 = x y 2 3 2 3 2 - 1 x y

Temos que:

2 3 2 3 2 - 1 = - 2 - 9 4 = - 17 4

Como o determinante é negativo, a função é indefinida.

Passo 3

c   Reescrevemos a função como:

f x , y = 2 x 2 + y 2 + 2 y z + z 2 = x y z 2 0 0 0 1 1 0 1 1 x y z

Encontrando os autovalores:

p λ = 2 - λ 0 0 0 1 - λ 1 0 1 1 - λ = 2 - λ 1 - λ 2 - 2 - λ = 2 - λ 1 - λ 2 - 1

p λ = 0

2 - λ 1 - λ 2 - 1 = 0

2 - λ = 0 λ = 2

1 - λ 2 - 1 = 0

1 - λ 2 = 1

λ = 2   o u   0

Logo, temos os autovalores 0 , 2 e 2 . Portanto, a função é semi definida positiva.

Resposta

a Semi definida negativa

b Indefinida

c Semi definida positiva

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