Diagonalização

Teoria Completa

Mágica da Álgebra Linear

Neste capitulo vamos falar de diagonalização. Acho que a primeira coisa que você se perguntou foi: tem alguma coisa a ver com matriz diagonal? Bom, na verdade tem sim!

Vamos falar exatamente das matrizes diagonais só que vamos misturar com autovetores e autovalores também.

Então presta muita atenção nessa parte! Primeiro de tudo, o que são matrizes diagonalizáveis? Vou até enquadrar pra você de tão importante que é isso! Haha

Reorganizando essa equação, podemos escrever a igualdade como A = P D P - 1 . Essa é a chamada decomposição espectral de uma matriz. É bom você gravar esse nome porque de vez em quando ele aparece em questões. Quando pedirem a decomposição espectral é só escrever a matriz na forma P D P - 1

Ta, mas como eu faço isso? Vamos ver o exemplo abaixo pra ficar mais claro:

Vamos pegar uma T , tal que T x , y = x + y ,   x + y

Assim se formos representar a matriz de T na base canônica, teremos:

T ε = A = 1 1 1 1

Agora, vamos ver se existe essa matriz D :

A = P ⋅ D ⋅ P - 1

Deve existir alguma matriz P que satisfaça essa condição. Então queremos achar uma P que torne D diagonal fazendo aquela multiplicação lá em cima. Um possível jeito é fazer:

P = 1 1 1 - 1

E para achar a D , basta usarmos a equação lá do quadro haha.

D = P - 1 ⋅ A ⋅ P

Fazendo a multiplicação descobrimos que:

D = 1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1

D = 1 2 1 2 1 2 - 1 2 1 1 1 1 1 1 1 - 1

D = 1 1 0 0 1 1 1 - 1

D = 2 0 0 0

Pô, não vale, você chutou um valor para a matriz P . É..., é verdade hahaha.

Mas se liga no que eu vou falar agora. Vamos calcular os autovetores e os autovalores de A .

Mas o que isso tem a ver cara?

Confia em mim haha, agora que entra a mágica.

det ⁡ ( A - λ I ) = 0 ⇒

1 - λ 1 1 1 - λ = 0 ⇒

1 - λ 2 - 1 = 0 ⇒

λ 2 - 2 λ + 1 - 1 = 0 ⇒

λ 2 - 2 λ = 0 ⇒

λ = 0   o u   λ = 2

Para achar os autovetores de λ = 0 (lembre-se que está tudo na base canônica):

1 1 1 1 x y = 0 ⇒

x + y = 0 ⇒ y = - x

V λ = 0 = s p a n { 1 , - 1 }

Para achar os autovetores de λ = 2 :

- 1 1 1 - 1 x y = 0 ⇒

- x + y = 0 ⇒ x = y

V λ = 2 = s p a n { 1,1 }

Tá, agora vem a mágica. Repara que os autovalores SÃO EXATAMENTE OS ELEMENTOS DA NOSSA MATRIZ DIAGONAL D !! E QUE OS AUTOVETORES DERAM EXATAMENTE OS VETORES COLUNA DA NOSSA MATRIZ P !!

Bom, isso não é coincidência!! Ao diagonalizarmos uma matriz (ou fazermos a decomposição espectral dela), a matriz diagonal D SEMPRE será a matriz dos autovalores. E a matriz P , SEMPRE será a matriz dos autovetores em coluna. Lembrando que a ordem que os autovetores aparecem em P deve respeitar a ordem que os autovalores associados aparecem em D !

O truque por trás da Mágica

Sei que todos estão morrendo de vontade de saber o truque por trás dessa mágica então vou revelar pra vocês (ou não tão nem aí pra saber, mas vou dizer assim mesmo).

Podemos reescrever aquela nossa equação assim oh:

A = P ⋅ D ⋅ P - 1

T ε = I d ε ← γ ⋅ T γ ⋅ I d ε ← γ - 1

Sendo γ = 1,1 , 1 , - 1 uma base cujos elementos são os autovetores de T .

Então, a nossa I d ε ← γ vai ficar:

I d 1,1 = 1,1

I d 1 , - 1 = ( 1 , - 1 )

E como temos que reescrevê-los nas coordenadas da base canônica

I d ε ← γ = 1 1 1 - 1

Que é igual a matriz P !!

E a T γ vai ficar:

T 1,1 = 2 1,1 = ( 2,2 )

T 1 , - 1 = 0 1 , - 1 = 0,0

Assim a nossa matriz vai ficar:

T γ = 2 0 0 0

Que é igual a nossa matriz D !!!

Resumindo: Diagonalizar uma matriz não é nada mais, nada menos, que escrever a matriz que representa T indo de uma base (nesse caso a canônica) para a base dos autovetores.

Tá beleza, entendi! Mas eu vou ter que ficar montando essas matrizes nas bases dos autovetores sempre?? COM CERTEZA NÃO!!

Basta você botar os autovalores na diagonal sua matriz D , e os autovetores em coluna na sua matriz P , respeitando a ordem que escolheu para os autovalores em D !!!

Lembra que estamos escrevendo matrizes que representam T L s em bases diferentes, logo a ordem da base IMPORTA!! Lembre-se que base é um conjunto ordenado! Ou seja, se você escolheu sua D como:

D = 0 0 0 2

A sua P será:

P = 1 1 - 1 1

Quando uma matriz ou T L será diagonalizável?

Beleza, já vimos quando uma matriz A será diagonalizável. Mas quando uma T L será? Bom, como já devem imaginar, se uma matriz que represente a T L em uma base qualquer for diagonalizável, a transformação será diagonalizável!

Legal, mas então pra sabermos se é ou não teremos sempre que resolver aquelas contas? Na verdade não, existe um macetinho pra sabermos se uma matriz é diagonalizável ou não!

Obs.: Quando eu falo matriz, entenda que estou me referindo a T L também já que para uma T L ser diagonalizável, basta que alguma representação matricial sua seja ;)

Tá, mas então qual é esse bizu?

Nós só podemos diagonalizar uma matriz, se existir uma base de autovetores para o seu domínio. No caso do nosso exemplo eles eram L I s .

Em outras palavras, uma matriz A n × n é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de A é n . Então para diagonalizar uma matriz A de dimensão n , basta seguirmos os passos abaixo:

  • Calcule os autovalores através das raízes do polinômio característico: p λ = det ⁡ T - λ I .
  • Encontre os autovetores (bases para os autoespaços) resolvendo os sistemas homogêneos: T - λ I v = 0 para cada autovalor λ .
  • Junte os autovetores que você achou. Se tivermos n autovetores L I a matriz A é diagonalizável.

Também podemos pensar que uma matriz só será diagonalizável se e somente se a multiplicidade geométrica de seus autovalores for igual à algébrica!

Uma última forma de verificar se uma matriz é diagonalizável, e isso pode ajudar vocês a resolver alguns problemas mais rapidamente é se ela tiver todos os autovalores distintos!

Lembra de quando vimos que autovetores associados a autovalores diferentes sempre serão L I ? Então, se todos os autovalores forem diferentes, todos os autovetores serão L I e teremos a base de autovetores para o nosso domínio ;)

Só toma cuidado que toda matriz com autovalores distintos é diagonalizável, mas nem toda matriz diagonalizável tem autovalores distintos!!

Dica: Aqui vai uma dica que pode vir a te ajudar muito na prova, se A é diagonalizável, então A T também é!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 210 – Fix 7.15

A matriz abaixo está fatorada na forma M D M - 1 . Sem fazer contas, determine os autovalores da matriz e bases para cada um dos autoespaços.

3 1 - 2 - 2 0 4 0 0 2 = 1 2 - 1 1 0 2 1 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 - 2 - 1 4 2 1 - 3 1 1 - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como vimos nesse capítulo, ao fatorarmos uma matriz na forma:

A = P D P - 1

Com D matriz diagonal, temos que a diagonal de D são os autovalores dessa matriz, e as colunas de P são autovetores associados aos autovalores (na ordem em que eles aparecem em D ). E é exatamente essa fatoração que o enunciado nos dá!

Sendo assim, temos o autovalor 2 associado ao autoespaço 1,1 , 1 , 2,0 , 1 . Uma base para ele são os próprios autovetores 1 , 1,1 , 2,0 , 1 .

Já o autovalor 1 está associado ao autoespaço que tem como base - 1,2 , 0 .

Resposta

Autovalor λ = 2 associado ao autoespaço com base 1 , 1,1 , 2,0 , 1 .

Autovalor λ = 1 associado ao autoespaço com base - 1 , 2,0 .

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Diga se a matriz abaixo é diagonalizável:

2 1 0 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Fazendo det ⁡ A - λ I = 0 :

Temos:

2 - λ 1 0 1 - λ = 0

2 - λ 1 - λ = 0

λ = 2   o u   λ = 1

Passo 2

Para λ = 2 :

0 1 0 - 1 x y = 0 0

y = 0

Então o autoespaço associado é ( x ,   0 ) , ou seja, V λ = 2 = s p a n 1 ,   0 .

Passo 3

Para λ = 1 :

1 1 0 0 x y = 0 0

Então temos x + y = 0 e, portanto, x = - y .

Logo V λ = 1 = s p a n { - 1 ,   1 }

Como ( - 1 ,   1 ) e ( 1 ,   0 ) são L I , então temos uma base de autovetores, se considerarmos A uma matriz que representa uma T : R 2 ⟶ R 2 .

Logo a matriz é diagonalizável.

Resposta

É diagonalizável.

Exercício Resolvido #3

Lista 1 para a P3, exercício 12-a)-b), Álgebra Linear I, PUC-rio.

Seja T : R 3 ⟶ R 3 dada por:

T x , y , z = ( x + 2 y ,   - 2 x + y ,   3 z )

a   Encontre os autovalores de T e os respectivos autoespaços.

b   A transformação T é diagonalizável? Se sim, dê sua forma diagonal.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a   Para encontrar os autovalores precisamos passar a transformação para uma forma matricial, assim vamos escolher a mais fácil, T ε , sendo ε = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 .

Assim temos que:

T 1,0 , 0 = 1 , - 2,0

T 0,1 , 0 = 2,1 , 0

T 0,0 , 1 = 0,0 , 3

T ε = 1 2 0 - 2 1 0 0 0 3

Passo 2

Para calcular os autovalores vamos fazer det ⁡ T ε - λ I = 0

Assim temos que:

T ε - λ I = 1 - λ 2 0 - 2 1 - λ 0 0 0 3 - λ

E o polinômio característico é:

p λ = 1 - λ 2 ⋅ 3 - λ + 4 3 - λ = 0 ⇒

3 - λ 1 - λ 2 + 4 = 0 ⇒

3 - λ = 0 ∴ λ = 3

Ou

1 - λ 2 + 4 = 0 ∴ 1 - λ 2 = - 4 ∴ λ ∉ R

Passo 3

Para calcular os autovetores:

T ε - 3 I v ε = - 2 2 0 - 2 - 2 0 0 0 0 x y z = 0 ⇒

- 2 x + 2 y = 0 ⇒ 2 y = 2 x ⇒ y = 0 - 2 x - 2 y = 0 ⇒ - 4 x = 0 ⇒ x = 0 0 = 0

Logo quem é nosso autovetor?

0,0 , z = z ( 0,0 , 1 )

Cuidado! Não é o vetor nulo só porque x = y = 0 .

E o autoespaço é:

V λ = 3 = s p a n { 0,0 , 1 }

Passo 4

b   Assim, podemos afirmar que nossa T não é diagonalizável, porque não existe uma base de autovetores para o seu domínio.

Resposta

a   V λ = 3 = s p a n { 0,0 , 1 }

b   T não é diagonalizável, porque não existe uma base de autovetores para o seu domínio.

Exercício Resolvido #4

Curso de Álgebra Linear, Fundamentos e Aplicações Terceira Edição, Marco Cabral e Paulo Golfeld, página 211 Prob. 7.12

Considere A x , y , z = x + y 2 , x + y 2 ,   z . Determine P e Q tais que:

a   P - 1 A P = 1 0 0 0 1 0 0 0 0

b   Q - 1 A Q = 1 0 0 0 0 0 0 0 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A questão nos pede para escrevermos matrizes P ,   Q de acordo com as equações. E o que essas equações te lembram?

Diagonalização!! Isso mesmo, então sabemos que A é diagonalizável e ele quer que a gente descubra as matrizes dos autovetores que faltam! Mas tem uma diferença entre as duas letras. Repare que a ordem nas diagonais estão trocadas, isso também altera a ordem dos autovetores. Sendo assim, vamos aos cálculos!

Passo 2

a   Sabendo que temos dois autovalores diferentes, calculá-los:

Para λ = 1 :

  A x , y , z = x + y 2 , x + y 2 ,   z = 1 ⋅ x , y , z ⇒

x + y 2 = x ⇒ x + y = 2 x ⇒ x = y x + y 2 = y ⇒ 2 y 2 = y ⇒ y = y z = z

Bom assim, temos que nosso autoespaço será:

x , y , z = y , y , z = y 1,1 , 0 + z 0,0 , 1

E assim:

V λ = 1 = s p a n 1,1 , 0 , 0,0 , 1

E já era de se esperar que a dimensão fosse 2 , já que o autovalor se repete duas vezes.

Para λ = 0 :

A x , y , z = x + y 2 , x + y 2 ,   z = 0 ⋅ x , y , z ⇒

x + y 2 = 0 ⇒ x = - y x + y 2 = 0 z = 0

E assim:

x , y , z = - y , y , 0 = y - 1,1 , 0

V λ = 0 = s p a n - 1,1 , 0

Passo 3

Agora já podemos montar nossa matriz de autovetores! Como o autovalor 1 vem primeiro na matriz diagonal:

P = 1 0 - 1 1 0 1 0 1 0

Passo 4

b   Aqui vamos usar o mesmo procedimento da letra a , como já sabemos os autovetores basta seguir a ordem da matriz diagonal e como ordem dos autovalores é 1 ,   0 ,   1 :

Q = 1 - 1 0 1 1 0 0 0 1

OBS: A ordem dos autovetores associados ao λ = 1 não importa.

Resposta

a   P = 1 0 - 1 1 0 1 0 1 0

b   Q = 1 - 1 0 1 1 0 0 0 1

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