Teoria Completa
Mágica da Álgebra Linear
Neste capitulo vamos falar de diagonalização. Acho que a primeira coisa que você se perguntou foi: tem alguma coisa a ver com matriz diagonal? Bom, na verdade tem sim!
Vamos falar exatamente das matrizes diagonais só que vamos misturar com autovetores e autovalores também.
Então presta muita atenção nessa parte! Primeiro de tudo, o que são matrizes diagonalizáveis? Vou até enquadrar pra você de tão importante que é isso! Haha
Reorganizando essa equação, podemos escrever a igualdade como . Essa é a chamada decomposição espectral de uma matriz. É bom você gravar esse nome porque de vez em quando ele aparece em questões. Quando pedirem a decomposição espectral é só escrever a matriz na forma
Ta, mas como eu faço isso? Vamos ver o exemplo abaixo pra ficar mais claro:
Vamos pegar uma , tal que
Assim se formos representar a matriz de na base canônica, teremos:
Agora, vamos ver se existe essa matriz :
Deve existir alguma matriz que satisfaça essa condição. Então queremos achar uma que torne diagonal fazendo aquela multiplicação lá em cima. Um possível jeito é fazer:
E para achar a , basta usarmos a equação lá do quadro haha.
Fazendo a multiplicação descobrimos que:
Pô, não vale, você chutou um valor para a matriz . É..., é verdade hahaha.
Mas se liga no que eu vou falar agora. Vamos calcular os autovetores e os autovalores de .
Mas o que isso tem a ver cara?
Confia em mim haha, agora que entra a mágica.
Para achar os autovetores de (lembre-se que está tudo na base canônica):
Para achar os autovetores de :
Tá, agora vem a mágica. Repara que os autovalores SÃO EXATAMENTE OS ELEMENTOS DA NOSSA MATRIZ DIAGONAL !! E QUE OS AUTOVETORES DERAM EXATAMENTE OS VETORES COLUNA DA NOSSA MATRIZ !!
Bom, isso não é coincidência!! Ao diagonalizarmos uma matriz (ou fazermos a decomposição espectral dela), a matriz diagonal SEMPRE será a matriz dos autovalores. E a matriz , SEMPRE será a matriz dos autovetores em coluna. Lembrando que a ordem que os autovetores aparecem em deve respeitar a ordem que os autovalores associados aparecem em !
O truque por trás da Mágica
Sei que todos estão morrendo de vontade de saber o truque por trás dessa mágica então vou revelar pra vocês (ou não tão nem aí pra saber, mas vou dizer assim mesmo).
Podemos reescrever aquela nossa equação assim oh:
Sendo uma base cujos elementos são os autovetores de .
Então, a nossa vai ficar:
E como temos que reescrevê-los nas coordenadas da base canônica
Que é igual a matriz !!
E a vai ficar:
Assim a nossa matriz vai ficar:
Que é igual a nossa matriz !!!
Resumindo: Diagonalizar uma matriz não é nada mais, nada menos, que escrever a matriz que representa indo de uma base (nesse caso a canônica) para a base dos autovetores.
Tá beleza, entendi! Mas eu vou ter que ficar montando essas matrizes nas bases dos autovetores sempre?? COM CERTEZA NÃO!!
Basta você botar os autovalores na diagonal sua matriz , e os autovetores em coluna na sua matriz , respeitando a ordem que escolheu para os autovalores em !!!
Lembra que estamos escrevendo matrizes que representam em bases diferentes, logo a ordem da base IMPORTA!! Lembre-se que base é um conjunto ordenado! Ou seja, se você escolheu sua como:
A sua será:
Quando uma matriz ou será diagonalizável?
Beleza, já vimos quando uma matriz será diagonalizável. Mas quando uma será? Bom, como já devem imaginar, se uma matriz que represente a em uma base qualquer for diagonalizável, a transformação será diagonalizável!
Legal, mas então pra sabermos se é ou não teremos sempre que resolver aquelas contas? Na verdade não, existe um macetinho pra sabermos se uma matriz é diagonalizável ou não!
Obs.: Quando eu falo matriz, entenda que estou me referindo a também já que para uma ser diagonalizável, basta que alguma representação matricial sua seja ;)
Tá, mas então qual é esse bizu?
Nós só podemos diagonalizar uma matriz, se existir uma base de autovetores para o seu domínio. No caso do nosso exemplo eles eram .
Em outras palavras, uma matriz é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de é . Então para diagonalizar uma matriz de dimensão , basta seguirmos os passos abaixo:
- Calcule os autovalores através das raízes do polinômio característico: .
- Encontre os autovetores (bases para os autoespaços) resolvendo os sistemas homogêneos: para cada autovalor .
- Junte os autovetores que você achou. Se tivermos autovetores a matriz é diagonalizável.
Também podemos pensar que uma matriz só será diagonalizável se e somente se a multiplicidade geométrica de seus autovalores for igual à algébrica!
Uma última forma de verificar se uma matriz é diagonalizável, e isso pode ajudar vocês a resolver alguns problemas mais rapidamente é se ela tiver todos os autovalores distintos!
Lembra de quando vimos que autovetores associados a autovalores diferentes sempre serão ? Então, se todos os autovalores forem diferentes, todos os autovetores serão e teremos a base de autovetores para o nosso domínio ;)
Só toma cuidado que toda matriz com autovalores distintos é diagonalizável, mas nem toda matriz diagonalizável tem autovalores distintos!!
Dica: Aqui vai uma dica que pode vir a te ajudar muito na prova, se é diagonalizável, então também é!
Exercício Resolvido #1
A matriz abaixo está fatorada na forma . Sem fazer contas, determine os autovalores da matriz e bases para cada um dos autoespaços.
Passo 1
Como vimos nesse capítulo, ao fatorarmos uma matriz na forma:
Com matriz diagonal, temos que a diagonal de são os autovalores dessa matriz, e as colunas de são autovetores associados aos autovalores (na ordem em que eles aparecem em ). E é exatamente essa fatoração que o enunciado nos dá!
Sendo assim, temos o autovalor associado ao autoespaço . Uma base para ele são os próprios autovetores .
Já o autovalor está associado ao autoespaço que tem como base .
Resposta
Autovalor associado ao autoespaço com base .
Autovalor associado ao autoespaço com base .
Exercício Resolvido #2
Diga se a matriz abaixo é diagonalizável:
Passo 1
Fazendo :
Temos:
Passo 2
Para :
Então o autoespaço associado é , ou seja, .
Passo 3
Para :
Então temos e, portanto, .
Logo
Como e são , então temos uma base de autovetores, se considerarmos uma matriz que representa uma .
Logo a matriz é diagonalizável.
Resposta
É diagonalizável.
Exercício Resolvido #3
Seja dada por:
Encontre os autovalores de e os respectivos autoespaços.
A transformação é diagonalizável? Se sim, dê sua forma diagonal.
Passo 1
Para encontrar os autovalores precisamos passar a transformação para uma forma matricial, assim vamos escolher a mais fácil, , sendo .
Assim temos que:
Passo 2
Para calcular os autovalores vamos fazer
Assim temos que:
E o polinômio característico é:
Ou
Passo 3
Para calcular os autovetores:
Logo quem é nosso autovetor?
Cuidado! Não é o vetor nulo só porque .
E o autoespaço é:
Passo 4
Assim, podemos afirmar que nossa não é diagonalizável, porque não existe uma base de autovetores para o seu domínio.
Resposta
não é diagonalizável, porque não existe uma base de autovetores para o seu domínio.
Exercício Resolvido #4
Considere . Determine e tais que:
Passo 1
A questão nos pede para escrevermos matrizes de acordo com as equações. E o que essas equações te lembram?
Diagonalização!! Isso mesmo, então sabemos que é diagonalizável e ele quer que a gente descubra as matrizes dos autovetores que faltam! Mas tem uma diferença entre as duas letras. Repare que a ordem nas diagonais estão trocadas, isso também altera a ordem dos autovetores. Sendo assim, vamos aos cálculos!
Passo 2
Sabendo que temos dois autovalores diferentes, calculá-los:
Para :
Bom assim, temos que nosso autoespaço será:
E assim:
E já era de se esperar que a dimensão fosse , já que o autovalor se repete duas vezes.
Para :
E assim:
Passo 3
Agora já podemos montar nossa matriz de autovetores! Como o autovalor vem primeiro na matriz diagonal:
Passo 4
Aqui vamos usar o mesmo procedimento da letra , como já sabemos os autovetores basta seguir a ordem da matriz diagonal e como ordem dos autovalores é :
OBS: A ordem dos autovetores associados ao não importa.
Resposta