Diagonalização

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Teoria

Fala aí! Bora aprender TUDO sobre Diagonalização de Matrizes?

O que Significa Diagonalizar uma Matriz?

Diagonalizar é escrever uma matriz, que representa uma transformação linear (TL) na base dos autovetores na qual ela é diagonal.

-Hãam? 😖

Pra ficar mais claro eu vou te dar um exemplo!

Vamos pegar uma , tal que e escrever ela na base canônica, assim teremos . Quando diagonalizamos a matriz , ela fica com essa carinha aqui:

Matriz A diagonalizada.
Matriz A diagonalizada.

O que fizemos aqui foi pegar uma matriz qualquer, quadrada e transformar ela em uma matriz diagonal, que vamos chamar de .

Agora você me pergunta, qual é a relação entre a matriz e a matriz ?

O que é uma excelente pergunta! Os elementos da diagonal da matriz são os autovalores da matriz ! 😱😱😱

Dizemos que uma matriz é diagonalizavel se existe uma matriz invertível e diagonal, tal que:

Matriz diagonal D
Matriz diagonal D

Essa matriz é a matriz de autovetores de . Ou seja, TÁ TUDO CONECTADO! 😱😱😱

Uma outra forma de escrever a relação acima é essa daqui:

Decomposição espectral da matriz A
Decomposição espectral da matriz A

Chamamos essa relação de decomposição espectral, guarda esse nome porque ele é importante! Mas agora vamos ao que interessa…bora aprender o passo a passo pra diagonalizar uma matriz e é claro, como descobrir se uma matriz é diagonalizavel!

Como Diagonalizar uma Matriz?

Pra a gente aprender como diagonalizar uma matriz, vamos usar o mesmo exemplo que vimos ali em cima e calcular . Só que vamos fazer de conta que não conhecemos a matriz , combinado?!

Como Diagonalizar uma Matriz
Como Diagonalizar uma Matriz

A resolução desse problema você também pode conferir no vídeo abaixo!

Passo 1: Calcular os Autovalores de

Pra a gente achar a forma diagonal da matriz , vamos precisar fazer:

A matriz tem os autovalores na diagonal, que pode ser calculado por:

Fazendo isso, temos:

Passo 2: Calcular os Autovetores

Para calcular os autovetores, fazemos:

Primeiro calculamos o autovetor associado a :

Agora, para o autovetor associado a :

Passo 3: Montar a Matriz D e a Matriz P

Finalmente podemos montar a matriz diagonal e a matriz que são as nossas respostas!

Prontinho!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A matriz abaixo está fatorada na forma M D M - 1 . Sem fazer contas, determine os autovalores da matriz e bases para cada um dos autoespaços.

3 1 - 2 - 2 0 4 0 0 2 = 1 2 - 1 1 0 2 1 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 - 2 - 1 4 2 1 - 3 1 1 - 2

Passo 1

Como vimos nesse capítulo, ao fatorarmos uma matriz na forma:

A = P D P - 1

Com D matriz diagonal, temos que a diagonal de D são os autovalores dessa matriz, e as colunas de P são autovetores associados aos autovalores (na ordem em que eles aparecem em D ). E é exatamente essa fatoração que o enunciado nos dá!

Sendo assim, temos o autovalor 2 associado ao autoespaço 1,1 , 1 , 2,0 , 1 . Uma base para ele são os próprios autovetores 1 , 1,1 , 2,0 , 1 .

Já o autovalor 1 está associado ao autoespaço que tem como base - 1,2 , 0 .

Resposta

Autovalor λ = 2 associado ao autoespaço com base 1 , 1,1 , 2,0 , 1 .

Autovalor λ = 1 associado ao autoespaço com base - 1 , 2,0 .

Exercício Resolvido #2

Diga se a matriz abaixo é diagonalizável:

2 1 0 1

Passo 1

Fazendo det ⁡ A - λ I = 0 :

Temos:

2 - λ 1 0 1 - λ = 0

2 - λ 1 - λ = 0

λ = 2   o u   λ = 1

Passo 2

Para λ = 2 :

0 1 0 - 1 x y = 0 0

y = 0

Então o autoespaço associado é ( x ,   0 ) , ou seja, V λ = 2 = s p a n 1 ,   0 .

Passo 3

Para λ = 1 :

1 1 0 0 x y = 0 0

Então temos x + y = 0 e, portanto, x = - y .

Logo V λ = 1 = s p a n { - 1 ,   1 }

Como ( - 1 ,   1 ) e ( 1 ,   0 ) são L I , então temos uma base de autovetores, se considerarmos A uma matriz que representa uma T : R 2 ⟶ R 2 .

Logo a matriz é diagonalizável.

Resposta

É diagonalizável.

Exercício Resolvido #3

Seja T : R 3 ⟶ R 3 dada por:

T x , y , z = ( x + 2 y ,   - 2 x + y ,   3 z )

a   Encontre os autovalores de T e os respectivos autoespaços.

b   A transformação T é diagonalizável? Se sim, dê sua forma diagonal.

Passo 1

a   Para encontrar os autovalores precisamos passar a transformação para uma forma matricial, assim vamos escolher a mais fácil, T ε , sendo ε = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 .

Assim temos que:

T 1,0 , 0 = 1 , - 2,0

T 0,1 , 0 = 2,1 , 0

T 0,0 , 1 = 0,0 , 3

T ε = 1 2 0 - 2 1 0 0 0 3

Passo 2

Para calcular os autovalores vamos fazer det ⁡ T ε - λ I = 0

Assim temos que:

T ε - λ I = 1 - λ 2 0 - 2 1 - λ 0 0 0 3 - λ

E o polinômio característico é:

p λ = 1 - λ 2 ⋅ 3 - λ + 4 3 - λ = 0 ⇒

3 - λ 1 - λ 2 + 4 = 0 ⇒

3 - λ = 0 ∴ λ = 3

Ou

1 - λ 2 + 4 = 0 ∴ 1 - λ 2 = - 4 ∴ λ ∉ R

Passo 3

Para calcular os autovetores:

T ε - 3 I v ε = - 2 2 0 - 2 - 2 0 0 0 0 x y z = 0 ⇒

- 2 x + 2 y = 0 ⇒ 2 y = 2 x ⇒ y = 0 - 2 x - 2 y = 0 ⇒ - 4 x = 0 ⇒ x = 0 0 = 0

Logo quem é nosso autovetor?

0,0 , z = z ( 0,0 , 1 )

Cuidado! Não é o vetor nulo só porque x = y = 0 .

E o autoespaço é:

V λ = 3 = s p a n { 0,0 , 1 }

Passo 4

b   Assim, podemos afirmar que nossa T não é diagonalizável, porque não existe uma base de autovetores para o seu domínio.

Resposta

a   V λ = 3 = s p a n { 0,0 , 1 }

b   T não é diagonalizável, porque não existe uma base de autovetores para o seu domínio.

Exercício Resolvido #4

Considere A x , y , z = x + y 2 , x + y 2 ,   z . Determine P e Q tais que:

a   P - 1 A P = 1 0 0 0 1 0 0 0 0

b   Q - 1 A Q = 1 0 0 0 0 0 0 0 1

Passo 1

A questão nos pede para escrevermos matrizes P ,   Q de acordo com as equações. E o que essas equações te lembram?

Diagonalização!! Isso mesmo, então sabemos que A é diagonalizável e ele quer que a gente descubra as matrizes dos autovetores que faltam! Mas tem uma diferença entre as duas letras. Repare que a ordem nas diagonais estão trocadas, isso também altera a ordem dos autovetores. Sendo assim, vamos aos cálculos!

Passo 2

a   Sabendo que temos dois autovalores diferentes, calculá-los:

Para λ = 1 :

  A x , y , z = x + y 2 , x + y 2 ,   z = 1 ⋅ x , y , z ⇒

x + y 2 = x ⇒ x + y = 2 x ⇒ x = y x + y 2 = y ⇒ 2 y 2 = y ⇒ y = y z = z

Bom assim, temos que nosso autoespaço será:

x , y , z = y , y , z = y 1,1 , 0 + z 0,0 , 1

E assim:

V λ = 1 = s p a n 1,1 , 0 , 0,0 , 1

E já era de se esperar que a dimensão fosse 2 , já que o autovalor se repete duas vezes.

Para λ = 0 :

A x , y , z = x + y 2 , x + y 2 ,   z = 0 ⋅ x , y , z ⇒

x + y 2 = 0 ⇒ x = - y x + y 2 = 0 z = 0

E assim:

x , y , z = - y , y , 0 = y - 1,1 , 0

V λ = 0 = s p a n - 1,1 , 0

Passo 3

Agora já podemos montar nossa matriz de autovetores! Como o autovalor 1 vem primeiro na matriz diagonal:

P = 1 0 - 1 1 0 1 0 1 0

Passo 4

b   Aqui vamos usar o mesmo procedimento da letra a , como já sabemos os autovetores basta seguir a ordem da matriz diagonal e como ordem dos autovalores é 1 ,   0 ,   1 :

Q = 1 - 1 0 1 1 0 0 0 1

OBS: A ordem dos autovetores associados ao λ = 1 não importa.

Resposta

a   P = 1 0 - 1 1 0 1 0 1 0

b   Q = 1 - 1 0 1 1 0 0 0 1

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