Diagonalização
Teoria
Fala aí! Bora aprender TUDO sobre Diagonalização de Matrizes?
O que Significa Diagonalizar uma Matriz?
Diagonalizar é escrever uma matriz, que representa uma transformação linear (TL) na base dos autovetores na qual ela é diagonal.
-Hãam? 😖
Pra ficar mais claro eu vou te dar um exemplo!
Vamos pegar uma
![Matriz A diagonalizada.](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/dae894a2-7b6d-454b-a1b3-e7c1995f4cc4.webp)
O que fizemos aqui foi pegar uma matriz
Agora você me pergunta, qual é a relação entre a matriz e a matriz ?
O que é uma excelente pergunta! Os elementos da diagonal da matriz
Dizemos que uma matriz
![Matriz diagonal D](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/c4e14b04-7fa6-47f6-9349-a8b6627c22cb.webp)
Essa matriz
Uma outra forma de escrever a relação acima é essa daqui:
![Decomposição espectral da matriz A](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/2fb671cd-87b9-4cae-af0e-a853586dab81.webp)
Chamamos essa relação de decomposição espectral, guarda esse nome porque ele é importante! Mas agora vamos ao que interessa…bora aprender o passo a passo pra diagonalizar uma matriz e é claro, como descobrir se uma matriz é diagonalizavel!
Como Diagonalizar uma Matriz?
Pra a gente aprender como diagonalizar uma matriz, vamos usar o mesmo exemplo que vimos ali em cima e calcular
![Como Diagonalizar uma Matriz](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/02a91f5d-f2cb-4fb9-954c-cb94dc2bc841.webp)
A resolução desse problema você também pode conferir no vídeo abaixo!
Passo 1: Calcular os Autovalores de
Pra a gente achar a forma diagonal da matriz
A matriz
Fazendo isso, temos:
Passo 2: Calcular os Autovetores
Para calcular os autovetores, fazemos:
Primeiro calculamos o autovetor associado a
Agora, para o autovetor associado a
Passo 3: Montar a Matriz D e a Matriz P
Finalmente podemos montar a matriz diagonal
Prontinho!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 210 – Fix 7.15
A matriz abaixo está fatorada na forma
Passo 1
Como vimos nesse capítulo, ao fatorarmos uma matriz na forma:
Com
Sendo assim, temos o autovalor
Já o autovalor
Resposta
Autovalor
Autovalor
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Diga se a matriz abaixo é diagonalizável:
Passo 1
Fazendo
Temos:
Passo 2
Para
Então o autoespaço associado é
Passo 3
Para
Então temos
Logo
Como
Logo a matriz é diagonalizável.
Resposta
É diagonalizável.
Exercício Resolvido #3
Lista 1 para a P3, exercício 12-a)-b), Álgebra Linear I, PUC-rio.
Seja
Passo 1
Assim temos que:
Passo 2
Para calcular os autovalores vamos fazer
Assim temos que:
E o polinômio característico é:
Ou
Passo 3
Para calcular os autovetores:
Logo quem é nosso autovetor?
Cuidado! Não é o vetor nulo só porque
E o autoespaço é:
Passo 4
Resposta
Exercício Resolvido #4
Curso de Álgebra Linear, Fundamentos e Aplicações Terceira Edição, Marco Cabral e Paulo Golfeld, página 211 Prob. 7.12
Considere
Passo 1
A questão nos pede para escrevermos matrizes
Diagonalização!! Isso mesmo, então sabemos que
Passo 2
Para
Bom assim, temos que nosso autoespaço será:
E assim:
E já era de se esperar que a dimensão fosse
Para
E assim:
Passo 3
Agora já podemos montar nossa matriz de autovetores! Como o autovalor
Passo 4
OBS: A ordem dos autovetores associados ao