Autovalores e Autovetores de uma Matriz

Teoria Completa

Definição de Autovetores e Autovalores

Antes de começarmos a calcular autovalores e autovetores precisamos entender o que eles são exatamente beleza?

Bom, vamos começar a aprender sobre um tipo especial de vetores (autovetores). Essa é a parte preferida do curso pra maioria das pessoas (pra mim também haha), então animação e vamos em frente!

Calma aí, Woody! Só vir comigo!

Vamos pegar a matriz abaixo:

A = 2 0 0 1

Olha só o que rola quando multiplicamos o vetor ( 1,0 ) pela nossa matriz:

2 0 0 1 1 0 = 2 0 = 2 1 0

Ih, caraca! Resultou no mesmo vetor só que multiplicado por 2 , né??

Quando isso acontece (multiplicamos um vetor por uma matriz e deu o mesmo vetor multiplicado por um número) teremos que o vetor ( 1,0 ) é um autovetor associado a uma matriz (a nossa matriz inicial A ) e número 2 é o autovalor!

Vou te dar um spoiler e te dizer que essa cara, o autovalor, se chama λ = 2 (lâmbda)!

Agora vamos ver outro exemplo! Dessa vez vamos multiplicar a matriz pelo vetor ( 0,1 ) .

2 0 0 1 0 1 = 0 1 = 1 0 1

Epaa! Agora nosso númerozinho que apareceu multiplicando o vetor (o autovalor) é 1! Então, nesse caso, λ = 1 .

Lembrando que quando isso acontece, dizemos que ( 0 , 1 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1 .

Logo, nosso vetor ( 1,0 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 2 .

Assim como nosso vetor ( 0 ,   1 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1 .

Lembrando que por enquanto estamos chutando vetores pra multiplicar só pra entendermos o conceito, mas depois vamos calcular esses autovalores e autovetores hein!!

Ta, mas que que isso quer dizer?

Bom, os autovetores são as direções preservadas por uma matriz!! Lembre-se que quando multiplicamos um escalar por um vetor, nós preservamos a direção do vetor. Já o autovalor é simplesmente o nome que damos para esse número que está alterando a norma do vetor.

Entendeu? A definição formal é essa aqui embaixo. Mas não é nada mais nada menos do que a generalização do que acabamos de ver no exemplo.

Só tem uma coisinha diferente dos exemplos. Faltou falar que definimos autovetor como um vetor não nulo, então o vetor nulo nunca poderá ser autovetor mesmo satisfazendo a condição A b = λ b !!

Beleza, então basicamente, se multiplicarmos a matriz dada pelo autovetor b , isso tem que ser igual a esse b multiplicado pelo seu autovalor associado.

Antes de seguirmos em frente vamos ver algumas observações importantes sobre autovalores e autovetores:

  • Só faz sentido falarmos de autovetores e autovalores em matrizes quadradas!
  • Autovalores e autovetores sempre estão juntos! Não existe um autovalor que não esteja associado a um autovetor e vice-versa.
  • Cada autovetor só pode estar associado a um único autovalor.
  • λ pode ser zero, mas v não! Se v = ( 0,0 ) fosse um autovetor ele estaria associado a infinitos autovalores!
  • Por outro lado, nada impede que um autovalor esteja associado a mais de um autovetor! Quando isso acontece, dizemos que o autovalor tem multiplicidade n , onde n é a dimensão dos autoespaços aos quais o autovalor está associado.
  • Autovetores diferentes associados a autovalores diferentes sempre serão L I !
  • Se te pedirem para provar que um vetor é um autovetor, não basta provar somente que A b = λ b ! É necessário provar que b ≠ 0 também! Não se esqueça disso!
  • Até agora, somente usamos vetores pertencentes ao R n como autovetores! Mas se por acaso matrizes e polinômios satisfizerem as condições dadas, eles também serão autovetores!

Autoespaços

Um autoespaço é o conjunto gerador de autovetores, ou seja, uma base dos autovetores pra determinado autovalor.

COMO ASSIM?? :O

Repara só: vamos pegar o vetor ( 2,0 ) e aplicar naquela nossa matriz A . Assim:

2 0 0 1 2 0 = 2 2 0

Caramba! O vetor ( 2,0 ) também é um autovetor associado ao autovalor λ = 2 ! É, mas como já tínhamos visto, ( 2,0 ) e ( 1,0 ) são múltiplos. Além disso, se a gente pegar quaisquer outros múltiplos de ( 1,0 ) e multiplicar pela matriz A , eles “sempre sairão dobrados”, ou seja, serão autovetores associados ao autovalor λ = 2 .

Então vamos ter infinitos autovetores?? Sim! Sempre!! VOCÊ NUNCA IRÁ ACHAR APENAS UM ÚNICO AUTOVETOR! VOCÊ SEMPRE TERÁ UM >ESPAÇO GERADOR DE AUTOVETORES!!

Então os autovetores associados ao autovalor λ = 2 são o espaço gerado por 1,0 . Já para λ = 1 , os seus autovetores são s p a n 0,1 , sendo esses os nossos autoespaços.

Ou seja, o autoespaço é o gerador dos autovetores.

Observe que o vetor nulo está contido no autoespaço de qualquer autovalor (se multiplicarmos os vetores geradores por 0), mesmo que os autovetores de λ não possam ser nulos, por definição.

O vetor nulo satisfaz a definição de autoespaço, mas o vetor nulo não satisfaz a definição de autovetor.

Logo, podemos concluir que o autoespaço de λ (que tem o vetor nulo) é diferente do conjunto de autovetores de λ (que não tem o vetor nulo).

Obs.: A soma da dimensão dos autoespaços de uma matriz será sempre menor ou igual à dimensão do seu domínio (ou contradomínio, ela é quadrada né :p)! Quando a soma da dimensão dos autoespaços da matriz for igual à dimensão do seu domínio, dizemos que temos uma base de autovetores.

E se o autovalor for zero?

Agora, vamos pegar outra matriz, por exemplo:

A = 1 - 1 0 1 - 1 0 2 - 2 0

Vamos achar o seu núcleo. Para isso, resolvemos o sistema aumentado, lembra?:

1 - 1 0 1 - 1 0 2 - 2 0 0 0 0 → e s c a l o n a n d o 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Da primeira linha, temos:

x - y = 0 ⇒ x = y

Assim, nosso núcleo será:

y , y , z = y 1,1 , 0 + z 0,0 , 1 ⇒

N u c A = s p a n 1,1 , 0 , 0,0 , 1

Pera mas o núcleo não são os caras do domínio que satisfazem A b = 0 ? Então podemos interpretar como A b = 0 ⋅ b (isso nos lembra a definição de autovalor e autovetor né?). E assim, os vetores do núcleo SÃO SEMPRE OS AUTOVETORES ASSOCIADOS AO AUTOVALOR λ = 0 .

Então, se λ é nulo, os autovetores associados a λ = 0 são exatamente os elementos do N u c A :D

Daí, chegamos à conclusão de que se A possui um autovalor zero ( λ = 0 ) , então N u c A ≠ 0 . E, portanto, A não é injetiva.

Basicamente o último fato acima nos diz que, se tem um autovalor zero, então tem que ter gente no núcleo associado a esse autovalor, ou seja, os autovetores.

Se liga num bizu que pode te ajudar muito na prova:

Agora vamo lá pros exercícios provar que entendemos a definição de autovalor e autovetor :D

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 209 – Prob 7.2

Em cada item determine se v → é autovetor de A .

a   v → = 1 4 e A = - 1 1 - 1 8

b   v → = 4 - 3 1 e A = 3 7 9 - 4 - 5 1 2 4 4

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Passo 1

Para saber se é autovetor, é só ver se A ∙ v → é múltiplo do vetor v → .

Na letra ( a ) :

A ∙ v → = - 1 1 - 1 8 ∙ 1 4 = 3 31

Como ( 3 ,   31 ) não é múltiplo de ( 1 ,   4 ) , então v → não é autovetor de A .

Passo 2

Agora é só fazer a mesma coisa na letra ( b ) .

A ∙ v → = 3 7 9 - 4 - 5 1 2 4 4 ∙ 4 - 3 1 = 12 - 21 + 9 - 16 + 15 + 1 8 - 12 + 4 = 0 0 0

De fato, ( 0 ,   0 ,   0 ) é múltiplo de ( 4 ,   - 3 ,   1 ) , e o autovalor é 0 .

Por isso ( 4 ,   - 3 ,   1 ) é autovetor de A .

Resposta

a   Não.

b   Sim.

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Álgebra Linear, P2 – 2016.1, Questão 03

Seja A = 2 0 1 0 1 0 - 2 0 5 e seja v → = v 1 , v 2 , v 3 um autovetor de A associado ao autovalor 4 . Se v 1 = 1 , quanto vale v 3 ?

a   2

b   3

c   4

d   5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se v é um autovetor associado ao autovalor 4 , então:

2 0 1 0 1 0 - 2 0 5 v 1 v 2 v 3 = 4 v 1 4 v 2 4 v 3

Mas sabemos que v 1 = 1 , então:

2 0 1 0 1 0 - 2 0 5 1 v 2 v 3 = 4 4 v 2 4 v 3

Passando isso para a forma de sistema:

2 + v 3 = 4 v 2 = 4 v 2 - 2 + 5 v 3 = 4 v 3

Po, dá pra matar a questão só olhando a primeira equação! Por ela temos que:

2 + v 3 = 4 ⇒ v 3 = 2

Resposta

Letra ( a )

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Álgebra Linear, P4 – 2015.1, Questão 09

Seja A uma matriz 3 × 3 , não-nula, tal que a terceira coluna é igual a soma das duas primeiras. Assinale abaixo um autovetor de A :

a   1 , - 1,1 T

b   1,1 , - 1 T

c   1,1 , 2 T

d   1,1 , - 2 T

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Passo 1

Vamos escrever a matriz do enunciado:

A = a d a + d b e b + e c f c + f

Podemos calcular os autovalores e depois os autovetores da matriz, mas isso daria um bocado de trabalho.

Ao invés disso, perceba que a matriz CLARAMENTE é L D haha. Afinal somamos duas colunas pra formar ela. Bom, e o que isso quer dizer? Quer dizer um monte de coisas, mas o que nos interessa é que a dimensão do seu núcleo é maior que 1 . Isso quer dizer que ela possui o autovalor 0 ! Então vamos testar os autovetores das opções pra ver se algum zera ela ;)

Passo 2

a a d a + d b e b + e c f c + f 1 - 1 1 ≠ 0

b a d a + d b e b + e c f c + f 1 1 - 1 = 0 0 0

Fim de papo, é a letra b .

Resposta

Letra ( b )

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2014.2, Questão 01

A matriz A 3 × 3 tem três autovalores distintos, λ 1 , λ 2 e λ 3 . Os vetores v = 1,1 , 0 e u = 0,1 , 1 são autovetores associados a λ 1 e λ 2 respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a λ 3 :

( a ) - 1,0 , 1

( b ) 2,1 , - 1

( c ) 2,3 , 1

( d ) 1 , - 2,1

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Passo 1

O que você precisa lembrar pra resolver essa questão é que o mesmo autoespaço não pode estar associado à dois ou mais autovalores distintos! Sendo assim, como λ 1 , λ 2 e λ 3 são autovalores distintos, então o autovetor associado a λ 3 deve ser L I em relação à 1,1 , 0 e 0,1 , 1 !

Então vamos jogar todas as opções nas linhas de uma matriz junto com nossos vetores e tentar zerar elas:

1 1 0 0 1 1 - 1 0 1 2 1 - 1 2 3 1 1 - 2 1 → L 3 ← L 3 + L 1 L 4 ← L 4 - 2 L 1 L 5 ← L 5 - 2 L 1 L 6 ← L 6 - L 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 - 1 - 1 0 1 1 0 - 3 1 → L 3 ← L 3 - L 2 L 4 ← L 4 + L 2 L 5 ← L 5 - L 2 L 6 ← L 6 + 3 L 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4

Pronto, a única linha que não zerou foi a do 1 , - 2,1 , logo, ele é o único L I e portanto é o único que pode ser um autovetor associado a λ 3 .

Resposta

Letra ( d )

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