Teoria Completa
Fala aí! Bem vindo ao RespondeAí, nessa página vamos estar interessados em aprender mais um pouco sobre Álgebra Linear, e vamos falar de um assunto que aparece em vários conceitos na faculdade. O que são Autovalores e Autovetores?
Definição
Seja $A$ uma matriz quadrada. Um vetor não nulo $b \in Dom(A)$ é autovetor associado ao autovalor $\lambda \in \R$ se:
Eita, um tanto quanto complexo isso aqui né? Mas é só na aparência se você entender o raciocínio você pega rapidinho a definição.
Esse $b$ é um vetor genérico $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$, que quando descobrirmos será o formato do nosso autovetor, $\lambda$ ($lambda$) é o nosso autovalor e $A$ é a matriz do nosso problema.
Os autovetores são vetores que após aplicados a matriz $A$ aparecem no resultado multiplicados um autovalor $\lambda$. Ou seja, a matriz sofreu uma transformação mas os vetores $b$ continuaram aparecendo no resultado.
Vamos ver um exemplo para entender:
Imagina a matriz:
Vamos descobrir os autovalores e autovetores dessa matriz.
Para fazer isso vamos ter que calcular as raízes do polinômio característico, que é a seguinte expressão:
Para encontrarmos os autovalores $\lambda_1$ e $\lambda_2$ vamos calcular as raízes do polinômio característico fazendo, $p(\lambda)=0$:
Primeiro calculando o determinante:
E igualando a zero:
Encontramos $\lambda_1=2$ e $\lambda_2=1$, show já temos os autovalores.
Agora vamos descobrir os autovetores $b$ associados a cada um desses autovalores. Podemos fazer isso com duas equações:
Para $\lambda_1$ vamos fazer:
Logo, pensando $b$ como um vetor genérico $(x,y)$:
Calculando essa multiplicação de matrizes, encontramos o seguinte sistema:
Como queremos um vetor $(x,0)$, os autovetores associados ao autovalor $\lambda_1=2$ tem a forma:
Para o autovalor $\lambda_2=1$ vamos usar:
Dessa forma:
Resolvendo o sistema, encontramos $x=0$ e $y=y$, e por isso queremos vetores com a carinha $(0,y)$, logo os autovetores associados ao autovalor $\lambda_2=1$ tem a forma:
Exercício
Aproveite para conferir uma resolução em vídeo de um de nossos exercícios do tópico de Autovalores e Autovetores de uma Matriz:
A matriz $A_{3_X3}$ tem três autovalores distintos, $\lambda_1$, $\lambda_2$ e $\lambda_3$. Os vetores $v=(1,1,0)$ e $u=(0,1,1)$ são autovetores associados a $\lambda_1$ e $\lambda_2$ respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a $\lambda_3$:
a) $(-1,0,1)$
b) $(2,1,-1)$
c) $(2,3,1)$
d) $(1,-2,1)$
Exercício Resolvido #1
Em cada item determine se é autovetor de .
e
e
Passo 1
Para saber se é autovetor, é só ver se é múltiplo do vetor .
Na letra :
Como não é múltiplo de , então não é autovetor de .
Passo 2
Agora é só fazer a mesma coisa na letra .
De fato, é múltiplo de , e o autovalor é .
Por isso é autovetor de .
Resposta
Não.
Sim.
Exercício Resolvido #2
Seja e seja um autovetor de associado ao autovalor . Se , quanto vale ?
Passo 1
Se é um autovetor associado ao autovalor , então:
Mas sabemos que , então:
Passando isso para a forma de sistema:
Po, dá pra matar a questão só olhando a primeira equação! Por ela temos que:
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #3
Seja uma matriz , não-nula, tal que a terceira coluna é igual a soma das duas primeiras. Assinale abaixo um autovetor de :
Passo 1
Vamos escrever a matriz do enunciado:
Podemos calcular os autovalores e depois os autovetores da matriz, mas isso daria um bocado de trabalho.
Como somamos duas colunas para formar a terceira coluna essa matriz ela será LD (Linearmente Dependente), pois um vetor coluna é combinação linear dos outros dois.
Bom, e o que isso quer dizer? Quer dizer um monte de coisas, mas o que nos interessa é que a dimensão do seu núcleo é maior que . Isso quer dizer que ela possui o autovalor !
Desse modo, sabemos que os autovetores ( tem que obedecer a seguinte equação:
Podemos então testar os autovetores das alternativas para ver qual das opções é solução para a equação acima. Beleza?!
Passo 2
Item (a)
Passo 3
Item (b)
Fazendo as continhas, temos
Passo 4
Item (c)
Passo 5
Item (d)
Fim de papo, é a letra . Show de bola?!
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #4
A matriz tem três autovalores distintos, , e . Os vetores e são autovetores associados a e respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a :
Passo 1
O que você precisa lembrar pra resolver essa questão é que o mesmo autoespaço não pode estar associado à dois ou mais autovalores distintos! Sendo assim, como , e são autovalores distintos, então o autovetor associado a deve ser (Linearmente Independentes) em relação à e !
Para checar se os vetores são LI podemos montar uma matriz onde as duas primeiras linhas são os autovetores dados, e a terceira linha o vetor que queremos checar se é LI com os demais. Se conseguirmos zerar a matriz ele será LD, caso contrário, será LI.
Vamos começar pela letra (a), teremos a matriz:
Vamos fazer manipular a matriz com as operações elementares, por exemplo:
Conseguimos zerar a linha, logo são vetores LD e podemos eliminar a letra (a). Beleza?!
Passo 2
Letra (b)
Montando a matriz:
Manipulando a matriz:
Conseguimos zerar a linha, logo são vetores LD e podemos eliminar a letra (b).
Passo 3
Letra (c)
Montando a matriz:
Manipulando a matriz:
Conseguimos zerar a linha, logo são vetores LD e podemos eliminar a letra (c)
Passo 4
Só sobrou a letra (d) , então com certeza é a resposta certa, mas vamos ver o que acontece quando tentamos zerar a matriz.
Montando a matriz:
Manipulando a matriz:
Não conseguimos zerar a última linha, logo, ele é o único com relação aos demais, e portanto é o que pode ser um autovetor associado a .
Show de bola?!
Resposta
Letra