Autovetores e Autovalores

Teoria Completa

Fala aí! Bem vindo ao RespondeAí, nessa página vamos estar interessados em aprender mais um pouco sobre Álgebra Linear, e vamos falar de um assunto que aparece em vários conceitos na faculdade. O que são Autovalores e Autovetores?

Definição

Seja $A$ uma matriz quadrada. Um vetor não nulo $b \in Dom(A)$ é autovetor associado ao autovalor $\lambda \in \R$ se:

$$Ab=\lambda b$$

Eita, um tanto quanto complexo isso aqui né? Mas é só na aparência se você entender o raciocínio você pega rapidinho a definição.

Esse $b$ é um vetor genérico $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$, que quando descobrirmos será o formato do nosso autovetor, $\lambda$ ($lambda$) é o nosso autovalor e $A$ é a matriz do nosso problema.

Os autovetores são vetores que após aplicados a matriz $A$ aparecem no resultado multiplicados um autovalor $\lambda$. Ou seja, a matriz sofreu uma transformação mas os vetores $b$ continuaram aparecendo no resultado.

Vamos ver um exemplo para entender:

Imagina a matriz:

$$A=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Vamos descobrir os autovalores e autovetores dessa matriz.

Para fazer isso vamos ter que calcular as raízes do polinômio característico, que é a seguinte expressão:

$$p(\lambda)=det(A-\lambda I)=det\Big(\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix}\Big)$$

Para encontrarmos os autovalores $\lambda_1$ e $\lambda_2$ vamos calcular as raízes do polinômio característico fazendo, $p(\lambda)=0$:

$$p(\lambda)=det\Big(\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix}\Big)=0$$

Primeiro calculando o determinante:

$$\begin{vmatrix} 2-\lambda & 0\\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix}= (2-\lambda)(1-\lambda)$$

E igualando a zero:

$$ (2-\lambda)(1-\lambda)=0$$

Encontramos $\lambda_1=2$ e $\lambda_2=1$, show já temos os autovalores.

Agora vamos descobrir os autovetores $b$ associados a cada um desses autovalores. Podemos fazer isso com duas equações:

$$Ab=\lambda b \text{ ou }(A-\lambda I) b=0$$

Para $\lambda_1$ vamos fazer:

$$Ab=\lambda_1b$$

Logo, pensando $b$ como um vetor genérico $(x,y)$:

$$\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$$

Calculando essa multiplicação de matrizes, encontramos o seguinte sistema:

$$\begin{cases}2x=2x \Rightarrow x=x\\ y=2y \Rightarrow y=0\end{cases}$$

Como queremos um vetor $(x,0)$, os autovetores associados ao autovalor $\lambda_1=2$ tem a forma:

$$b=x \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$$

Para o autovalor $\lambda_2=1$ vamos usar:

$$(A-\lambda I)b=0$$

Dessa forma:

$$\begin{bmatrix} 2-\lambda_2 & 0\\ 0 & 1-\lambda_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \Rightarrow\begin{bmatrix} 2-1 & 0\\ 0 & 1-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=0$$

Resolvendo o sistema, encontramos $x=0$ e $y=y$, e por isso queremos vetores com a carinha $(0,y)$, logo os autovetores associados ao autovalor $\lambda_2=1$ tem a forma:

$$b=y\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$$

Exercício

Aproveite para conferir uma resolução em vídeo de um de nossos exercícios do tópico de Autovalores e Autovetores de uma Matriz:

A matriz $A_{3_X3}$ tem três autovalores distintos, $\lambda_1$, $\lambda_2$ e $\lambda_3$. Os vetores $v=(1,1,0)$ e $u=(0,1,1)$ são autovetores associados a $\lambda_1$ e $\lambda_2$ respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a $\lambda_3$:

a) $(-1,0,1)$

b) $(2,1,-1)$

c) $(2,3,1)$

d) $(1,-2,1)$

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 209 – Prob 7.2

Em cada item determine se v → é autovetor de A .

a   v → = 1 4 e A = - 1 1 - 1 8

b   v → = 4 - 3 1 e A = 3 7 9 - 4 - 5 1 2 4 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para saber se é autovetor, é só ver se A ∙ v → é múltiplo do vetor v → .

Na letra ( a ) :

A ∙ v → = - 1 1 - 1 8 ∙ 1 4 = 3 31

Como ( 3 ,   31 ) não é múltiplo de ( 1 ,   4 ) , então v → não é autovetor de A .

Passo 2

Agora é só fazer a mesma coisa na letra ( b ) .

A ∙ v → = 3 7 9 - 4 - 5 1 2 4 4 ∙ 4 - 3 1 = 12 - 21 + 9 - 16 + 15 + 1 8 - 12 + 4 = 0 0 0

De fato, ( 0 ,   0 ,   0 ) é múltiplo de ( 4 ,   - 3 ,   1 ) , e o autovalor é 0 .

Por isso ( 4 ,   - 3 ,   1 ) é autovetor de A .

Resposta

a   Não.

b   Sim.

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Álgebra Linear, P2 – 2016.1, Questão 03

Seja A = 2 0 1 0 1 0 - 2 0 5 e seja v → = v 1 , v 2 , v 3 um autovetor de A associado ao autovalor 4 . Se v 1 = 1 , quanto vale v 3 ?

a   2

b   3

c   4

d   5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se v é um autovetor associado ao autovalor 4 , então:

2 0 1 0 1 0 - 2 0 5 v 1 v 2 v 3 = 4 v 1 4 v 2 4 v 3

Mas sabemos que v 1 = 1 , então:

2 0 1 0 1 0 - 2 0 5 1 v 2 v 3 = 4 4 v 2 4 v 3

Passando isso para a forma de sistema:

2 + v 3 = 4 v 2 = 4 v 2 - 2 + 5 v 3 = 4 v 3

Po, dá pra matar a questão só olhando a primeira equação! Por ela temos que:

2 + v 3 = 4 ⇒ v 3 = 2

Resposta

Letra ( a )

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Álgebra Linear, P4 – 2015.1, Questão 09

Seja A uma matriz 3 × 3 , não-nula, tal que a terceira coluna é igual a soma das duas primeiras. Assinale abaixo um autovetor de A :

a   1 , - 1,1 T

b   1,1 , - 1 T

c   1,1 , 2 T

d   1,1 , - 2 T

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos escrever a matriz do enunciado:

A = a d a + d b e b + e c f c + f

Podemos calcular os autovalores e depois os autovetores da matriz, mas isso daria um bocado de trabalho.

Como somamos duas colunas para formar a terceira coluna essa matriz ela será LD (Linearmente Dependente), pois um vetor coluna é combinação linear dos outros dois.

Bom, e o que isso quer dizer? Quer dizer um monte de coisas, mas o que nos interessa é que a dimensão do seu núcleo é maior que 1 . Isso quer dizer que ela possui o autovalor 0 !

Desse modo, sabemos que os autovetores ( x ) tem que obedecer a seguinte equação:

A x = 0

Podemos então testar os autovetores das alternativas para ver qual das opções é solução para a equação acima. Beleza?!

Passo 2

Item (a)

a d a + d b e b + e c f c + f ∙ 1 - 1 1 = 2 a 2 b 2 c ≠ 0

Passo 3

Item (b)

Fazendo as continhas, temos

a d a + d b e b + e c f c + f 1 1 - 1 = 0 0 0

Passo 4

Item (c)

a d a + d b e b + e c f c + f 1 1 2 = 3 a + 3 d 3 b + 3 e 3 c + 3 f ≠ 0

Passo 5

Item (d)

a d a + d b e b + e c f c + f 1 1 - 2 = - a - d - b - e - c - f ≠ 0

Fim de papo, é a letra b . Show de bola?!

Resposta

Letra ( b )

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2014.2, Questão 01

A matriz A 3 × 3 tem três autovalores distintos, λ 1 , λ 2 e λ 3 . Os vetores v = 1,1 , 0 e u = 0,1 , 1 são autovetores associados a λ 1 e λ 2 respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a λ 3 :

( a ) - 1,0 , 1

( b ) 2,1 , - 1

( c ) 2,3 , 1

( d ) 1 , - 2,1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que você precisa lembrar pra resolver essa questão é que o mesmo autoespaço não pode estar associado à dois ou mais autovalores distintos! Sendo assim, como λ 1 , λ 2 e λ 3 são autovalores distintos, então o autovetor associado a λ 3 deve ser L I (Linearmente Independentes) em relação à 1,1 , 0 e 0,1 , 1 !

Para checar se os vetores são LI podemos montar uma matriz onde as duas primeiras linhas são os autovetores dados, e a terceira linha o vetor que queremos checar se é LI com os demais. Se conseguirmos zerar a matriz ele será LD, caso contrário, será LI.

Vamos começar pela letra (a), teremos a matriz:

1 1 0 0 1 1 - 1 0 1

Vamos fazer manipular a matriz com as operações elementares, por exemplo:

1 1 0 0 1 1 - 1 0 1 L 3 ← L 3 + L 1   1 1 0 0 1 1 0 1 1 L 3 ← L 3 - L 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0

Conseguimos zerar a linha, logo são vetores LD e podemos eliminar a letra (a). Beleza?!

Passo 2

Letra (b)

Montando a matriz:

1 1 0 0 1 1 2 1 - 1

Manipulando a matriz:

1 1 0 0 1 1 2 1 - 1 L 3 ← L 2 - 2 L 1 1 1 0 0 1 1 0 - 1 - 1 L 3 ← L 3 + L 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0

Conseguimos zerar a linha, logo são vetores LD e podemos eliminar a letra (b).

Passo 3

Letra (c)

Montando a matriz:

1 1 0 0 1 1 2 3 1

Manipulando a matriz:

1 1 0 0 1 1 2 3 1 L 3 ← L 3 - 2 L 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 L 3 ← L 3 - L 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0

Conseguimos zerar a linha, logo são vetores LD e podemos eliminar a letra (c)

Passo 4

Só sobrou a letra (d) , então com certeza é a resposta certa, mas vamos ver o que acontece quando tentamos zerar a matriz.

Montando a matriz:

1 1 0 0 1 1 1 - 2 1

Manipulando a matriz:

1 1 0 0 1 1 1 - 2 1 L 3 ← L 3 - L 1 1 1 0 0 1 1 1 - 3 1 L 3 ← L 3 + 3 L 2 1 1 0 0 1 1 0 0 4

Não conseguimos zerar a última linha, logo, ele é o único L I com relação aos demais, e portanto é o que pode ser um autovetor associado a λ 3 .

Show de bola?!

Resposta

Letra ( d )

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