Cônicas com Rotação – Método dos Autovalores

Teoria Completa

Introdução

Você provavelmente conhece curvas famosos como parábolas, elipses e hipérboles quando elas estão retinhas ao longo do eixo x ou y . Mas acredite: existem cônicas que estão tortas, tipo essa parábola:

Chamamos essas cônicas de rotacionadas. Normalmente o exercício dá a equação geral delas e precisamos descobrir qual cônica é.

Existem duas maneiras de fazer isso: o método matricial (mais usado em geometria analítica) e o método dos autovalores (mais usado em álgebra linear), que é o que vamos ver agora :)

Equação Geral das Cônica

Normalmente, nesses exercícios, vamos ter uma equação no formato geral, que é assim:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Sendo que A ,   B ,   C ,   D ,   E e F são constantes.

Lembrando: qualquer cônica pode ser escrita com essa equação geral.

Cônicas Degeneradas

Olhando a expressão podemos nos perguntar: só existe as cônicas parábola, elipse e hipérbole??

Relaxa!! Vamos te mostrar que além dessas três que já conhecemos, existem também as cônicas que chamamos de cônicas degeneradas.

As cônicas degeneradas são todas as outras cônicas que não são elipse, parábola ou hipérbole. Alguns exemplos são:

  • x 2 + y 2 + 7 = 0 (vazio)
  • x 2 + y 2 = 9 (circunferência)
  • y 2 = 0 ( y = 0 , eixo x )
  • x y = 0 (par de retas, os eixos x e y )
  • 3 x 2 + 2 y 2 = 0 (origem)
  • y 2 - 1 = 0 (par de retas paralelas)
  • - 2 x + y - 1 = 0 (reta)

Voltando para as cônicas não degeneradas, ou seja, elipse, parábola e hipérbole.

Na equação geral que vimos acima vemos que a equação tem um termo x y . Por meio desses termo temos dois casos:

  • Caso 1: B = 0 , se isso ocorre, então significa que a cônica pode estar no máximo transladada, igual os casos que já vimos nos assuntos anteriores
  • Caso 2: B ≠ 0 , significa que a cônica está rotacionada. Além disso, ela pode estar transladada também viu?

Cônicas com rotação

Vamos te ensinar um método de resolução para o CASO 2 em que utilizaremos vários conceitos da álgebra linear e geometria analítica. Mas, não se desespere!! Vamos te ensinar de uma forma prática, para que você entenda o método de resolução, blz?!

Para rotacionarmos cônicas, vamos tirar ela do sistema de coordenadas x O y e passar pro sistema x O y .

Primeiro, vamos relembrar a forma genérica de uma cônicas que vimos antes:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0   ( 1 )

Guarde essa expressão com carinho!!

Pra entendermos direitinho, vamos supor que o exercício nos deu a equação:

4 x 2 + 4 x y + 1 y 2 + 2 x + 6 y - 9 = 0

Os nossos coeficientes são: A = 4 , B = 4 , C = 1 , D = 2 , E = 6 e F = - 9 .

Como nesse caso B ≠ 0 , ou seja, como temos o termo x y , a cônica está rotacionada, então bora lá ajustar essa equação e descobrir que cônica é essa.

Passo 1 - Escrevendo de forma matricial

Aquela equação geral de cônicas, pode ser reescrita de forma matricial:

Acredite em mim, se fizermos as multiplicações de matrizes direitinho, obteremos a mesma expressão

Vamos utilizar essa expressão no exemplo anterior. E outro detalhe, quando for montar as matrizes se atente para o local exato das constantes, ou seja, a constante A é a do x 2 a B do x y e assim por diante.

Então, no nosso exemplo:

Passo 2 – Encontrando a matriz H

Montada a expressão ( 2 ) vamos definir a matriz que chamaremos de matriz H .

Então, no nosso caso:

Passo 3 – Calculando os autovalores

Tendo a matriz H acharemos os autovalores dessa matriz!! Mas, o que são autovalores?

Calma!!!

Relembrando, vimos que autovalores de uma matriz A são os valores que λ pode assumir na equação:

                                                                  d e t ⁡ ( A - λ I ) = 0 (3)

Vamos calcular os autovalores da nossa matriz H para exemplificar:

Pra calcular os autovalores, vamos calcular   d e t ⁡ ( H - λ I ) , ou seja, a matriz H menos a matriz identidade multiplicada por   λ :

Calculando o determinante dessa matriz, temos:

4 - λ 1 - λ - 4 = 0

λ 2 - 5 λ = 0 →   λ λ - 5 = 0

Os valores de λ são:

λ ' = 0       e         λ ' ' = 5

O que chamamos de AUTOVALORES são os λ que encontramos.

Passo 4 – Calculando os autovetores unitários

Já que temos os autovalores vamos encontrar agora os AUTOVETORES!! Para cada autovalor temos um autovetor!! Além disso, o autovetor que encontrarmos deve ser unitário, ou seja, seu módulo deve ser 1!!

Muita informação!! Vamos com calma!!

Então, supondo que nosso autovetor é:

Acharemos os valores de x 0 e y 0 fazendo simplesmente:

H - λ I v = 0

No nosso exemplo:

- Para λ ' = 0

Vamos começar achando o autovetor para λ ' = 0 . Teremos:

H - 0 . I v ' = 0

Como a matriz identidade fica anulada pelo 0:

Encontramos nesse caso duas equações:

4 x 0 + 2 y 0 = 0

2 x 0 + y 0 = 0

Note que a primeira equação é o dobro da segunda. Podemos isolar x 0 na segunda equação::

x 0 = - y 0 2

Vamos atribuir valores agora. Se escolhermos y 0 = 2 , x 0 será x 0 = - 1 .

Encontramos o autovetor então? Quase, calma aí!! Estamos esquecendo que ele deve ser unitário!! Então, devemos calcular o módulo do autovetor e dividir cada uma das suas coordenadas pelo módulo.

Temos que x 0 ,   y 0 = ( - 1 ,   2 ) , seu módulo é 5 . Portanto, nosso autovetor unitário, será:

v ' = - 1 5 , 2 5

- Para λ ' ' = 5

Agora vamos calcular o autovetor para λ ' ' = 5 , o esquema é o mesmo:

Montando a expressão multiplicando a partir da primeira linha, temos:

- 1 x 0 + 2 y 0 = 0

2 y 0 = x 0

Atribuindo valores novamente e escolhendo y 0 = 1 , temos que x 0 = 2 . Agora vamos deixar esse vetor unitário.

Tendo x 0 ,   y 0 = ( 2 ,   1 ) , seu módulo vai ser 2 2 + 1 ² = 5 , logo, o nosso vetor unitário vai ser

v ' ' = 2 5 , 1 5

Passo 5 – Montando as matrizes D e P

Tendo os autovalores e autovetores unitário, montaremos duas matrizes: A matriz P que será a matriz de autovetores e a matriz D que será a matriz de autovalores. Essas matrizes são montadas da seguinte forma:

Então, para montar a matriz D você colocará na sua diagonal os valores que você encontrou para os autovalores e na diagonal secundária será sempre ZEROS.

Já na matriz P , suas colunas serão referentes a um dos autovetores. Por exemplo, se considerarmos o autovetor v = ( x 0 ,   y 0 ) e o segundo autovetor v 1 = ( x 1 ,   y 1 ) então, nossa matriz P será:

Temos que tomar um cuidado!! A primeira coluna da matriz deve possui o autovetor relacionado ao mesmo autovalor que está na coluna 1 da matriz D , e na segunda coluna a mesma coisa. Então, teremos a seguinte ligação;

A matriz P tem ainda uma outra característica!! Ela que dá o ângulo de rotação da nossa cônica, pois:

Assim, a rotação da nossa cônica será θ .

No nosso exemplo:

Passo 6 – Escrevendo a expressão

Tendo calculado todos os passos anteriores, vamos usar as informações que encontramos para escrever a seguinte expressão:

Nesse ponto conseguimos ver que todos os cálculos que fizemos anteriormente serviram para fazer uma mudança de coordenadas de x y para x ' y ' . Isso foi feito para eliminar o termo B x y da cônica e conseguirmos então trabalhar com ela.

Tendo a expressão ( 5 ) acima, vamos fazer as multiplicações das matrizes e então chegaremos numa equação que dependerá de x ' e y ' e voltaremos aos problemas do Tópico 1, onde passaremos a ter o termo B = 0 , ou seja, bastará completarmos quadrados para encontrar a cônica. Então, no nosso exemplo:

Multiplicando as matrizes:

5 y ' 2 + 2 5 x ' + 2 5 y ' - 9 = 0

Oba!! Agora temos nossa equação no novo sistema de coordenadas e sem o termo x y :D agora sim bora descobrir que cônica é essa!

Completando quadrados em y ' :

( 5 y ' 2 + 2 5 y ' + 1 ) + 2 5 x ' - 9 - 1 = 0

5 y ' + 1 2 = 10 - 2 5 x '

Fazendo os ajustes necessários, teremos que isso é uma parábola transladada ao longo do eixo x . Abaixo temos o esboço dessa parábola antes de ser rotacionada (em azul) e depois de fazermos todos esses ajustes (em vermelho):

No tópico 1, quando falamos de translação de cônicas também fizemos uma mudança de coordenadas e para isso tínhamos uma relação entre x y e x ' y ' , e nesse caso qual a relação entre x y e x ' y ' . Neste, caso a relação é a seguinte:

Ufa!!! Agora sim, você já sabe tudo o que você precisa para resolver esse tipo de problema!!

Para finalizar nosso estudo sobre cônicas, vamos falar um pouco sobre a representação paramétrica de alguma das cônicas!!

Equações Paramétricas da Cônicas

Das várias cônicas que existem, 3 delas possuem equações paramétricas. Mas o que são equações paramétricas?

É uma forma diferente de representar as cônicas, em geral utilizando coordenadas polares para as cônicas, pois são 2 D .

  • Elipse
  • Considerando uma elipse com equação:

    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

    Podemos observar na figura abaixo que teremos como equações paramétricas:

    x = a . cos ⁡ θ

    y = b . sin ⁡ θ

  • Hipérbole
  • Considerando uma hipérbole com equação:

    x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

    Com a ajuda de algumas relações trigonométricas simples e da figura abaixo, obteremos como equações paramétricas:

    x = a . s e c   θ  

    y = b . t a n   θ  

  • Circunferência

Considerando uma circunferência, como mostra a figura abaixo, com equação:

( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 = a 2

Teremos como equações paramétricas:

x - x 0 = a . θ  

y - y 0 = a . s i n   θ  

Agora sim, acabouuuu!! Uhulll

Bora praticar com os exercícios?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Classifique as seguintes cônicas degeneradas:

  1. x 2 - y 2 = 0
  2. 8 x 2 + 7 y 2 = 0
  3. x 2 + 3 y 2 + 7 = 0
  4. x 2 - 2 x y + y 2 = 0
  5. x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0
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Passo 1

Nesse exercício temos que classificar as cônicas degeneradas que nos são dadas. Lembrando que as cônicas degeneradas são todas aquelas que falamos na teoria, ou seja: origem, retas, circunferência, entre outras. Basicamente, qualquer cônica que não seja elipse, hipérbole ou parábola.

Passo 2

a) x 2 - y 2 = 0

A solução da equação acima é:

x = ± y

Essa solução nada mais é que um conjunto de retas, ou seja, as retas:

x = y     e     x = - y

O exercício não pede, mas esboçando:

Passo 3

b) 8 x 2 + 7 y 2 = 0

Nesse item temos tanto y quanto x elevados ao quadrado e a soma deles dando zero. A única solução possível é que x e y sejam zero, logo:

x ,   y = ( 0 ,   0 )

Então, nossa solução representa a origem do sistema cartesiano.

Passo 4

c) x 2 + 3 y 2 + 7 = 0

Agora, para que nossa equação seja válida temos que ter:

  x 2 + 3 y 2 = - 7

Porém, esse resultado é impossível nos reais já que temos a soma de quadrados, e sabe-se que qualquer número real ao quadrado é positivo, então temos a soma de dois números positivos tendo que dar - 7 . Pela inviabilidade de solução, temos que a expressão representa o VAZIO.

Passo 5

d) x 2 - 2 x y + y 2 = 0

E agora, como fazemos??

Bem, vamos tentar ajeitar a expressão completando quadrados para que então possamos concluir algo. Completando quadrados teremos:

x 2 - 2 x y + y 2 = 0 → x - y 2 = 0

x - y 2 = 0 → x = y

Nossa equação representa a reta x = y

Passo 6

d) x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0

Ufa!! É a última!!

Para achar qual cônica é, vamos novamente completar quadrados. Teremos:

x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0

x 2 - 2 x + y 2 - 4 y = 0

( x - 1 ) 2 - 1 + y - 2 2 - 4 = 0

( x - 1 ) 2 + y - 2 2 = 5

Olha, é uma circunferência!! Com centro em ( 1 ,   2 ) e raio r = 5

Caso você tenha curiosidade de como é a circunferência fizemos um esboço.

Resposta

a )   r e t a s   x = y   e   x = - y

b )   O r i g e m   ( 0 ,   0 )

c )   C o n j u n t o   v a z i o

d )   A   r e t a   x = y

e )   C i r c u n f e r ê n c i a   c o m   C = 1 ,   2   e   r = 5

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Escreva as equações paramétricas das curvas a seguir:

a) ( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4

b) x 2 4 + y 2 9 = 1

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Passo 1

Vamos começar a esquentar nossos motores!! Começar a aplicar tudo o que vimos na teoria!!

E nosso objetivo nesse exercício é escrever as equações paramétricas das cruvas. Bora começar!!

Passo 2

a)   ( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4

Nossa primeira curva é uma circunferência. Vimos na teoria que para a equação genérica :

( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 = a 2

Temos as seguintes equações paramétricas:

x - x 0 = a . cos  ⁡ θ

y - y 0 = a . sin ⁡ θ

Então, só substituir:

x - 1 = 2 cos ⁡ θ

y + 2 = 2 sin ⁡ θ

Pronto!! Já encontramos x e y em função de cos ⁡ θ e sin ⁡ θ , respectivamente.

Passo 3

b) x 2 4 + y 2 9 = 1

Agora, temos uma elipse. Também vimos que para uma elipse do seguinte formato:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

Temos as equações:

x = b . cos ⁡ θ

y = a . sin ⁡ θ

Ué, mas as equações que vimos na teoria não eram assim!! Será que o b e o a não estão trocados??

Já vou responder logo: não estão!!

Aquela fórmula que vimos na teoria serve pra uma elipse com a equação do tipo

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Nesse exercício, o b tá em baixo do x, e o a tá em baixo do y.

Quem vai entrar multiplicando o cosseno é cara que tá em baixo do x, ou seja, nesse caso é o b!

E o seno?? Aí vai ser quem tiver em baixo do y (no caso do exercício é o a), beleza??

Show, agora que vimos isso, comparando a equação da elipse que a gente tem com a que eu mostrei pra vocês no início, vemos temos que:

b = 2

a = 3

Então, nossas equações paramétricas são:

x = 2 . cos ⁡ θ

y = 3 . sin ⁡ θ

Essa foi só para aquecer!! Hehe.. Vamos para a próxima!!

Resposta

a )   x - 1 = 2 cos ⁡ θ

y + 2 = 2 sin ⁡ θ

b )   x = 2 . cos ⁡ θ

y = 3 . sin ⁡ θ

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Determinar a equação retangular da curva cujas equações paramétricas são:

x = 2 + 3 tan ⁡ t           e               y = 1 + 4 sec ⁡ t

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Passo 1

O enunciado pede a equação retangular, mas o que é isso??

Calma!! Você sabe o que é, mas, talvez, nunca tenha ouvido essa expressão!! A equação retangular, é a expressão da curva em função de x e y , ou seja, escrita no sistema cartesiano ou também chamado de sistema retangular.

Passo 2

Bom, para chegarmos numa relação retangular temos que sumir com os termos tan ⁡ t e sec ⁡ t . Para isso, precisamos conhecer uma relação entre esses termos. Da geometria lá do colégio sabemos que:

( cos ⁡ θ ) 2 + ( sin  ⁡ θ ) 2 = 1

Se dividirmos essa expressão por ( cos ⁡ θ ) 2 , teremos:

( cos ⁡ θ ) 2 + ( sin ⁡ ⁡ θ ) 2 = 1 ( cos ⁡ θ ) 2

1 + ( tan ⁡ θ ) 2 = ( sec ⁡ θ ) 2 →   ( sec ⁡ θ ) 2 - tan ⁡ θ 2 = 1

Então, vamos tentar manipular a expressão que nos foi dada pelo enunciado para tentarmos usar essa expressão e eliminar os termos que são dependentes da secante e da tangente.

Passo 3

Vamos começar reescrevendo as equações que nos foram dadas de uma forma diferente:

x = 2 + 3 tan ⁡ t           e               y = 1 + 4 sec ⁡ t

x - 2 3 = tan ⁡ t       e       y - 1 4 = sec ⁡ t   ( 1 )

Usando a relação:

( sec ⁡ θ ) 2 - tan ⁡ θ 2 = 1   ( 2 )

Se elevarmos as equações ( 1 ) ao quadrado teremos:

x - 2 3 2     = tan ⁡ θ 2       e           y - 1 4 2 = ( sec ⁡ θ ) 2

Bom, temos o quadrado da tangente e o quadrado da secante. Temos pela expressão ( 2 ) que a subtração da secante pela tangente dá um, então é o que faremos:

    y - 1 4 2 - x - 2 3 2 = 1

Pronto, chegamos numa expressão retangular da curva. E por sinal, qual é essa curva?

Como já vimos, é uma hipérbole transladada ;)

Resposta

    y - 1 4 2 - x - 2 3 2 = 1

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Seja l a curva com equações paramétricas:

x = a 1 + t 2 1 - t 2           e               y = 2 b t 1 - t 2

Determine l .

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Passo 1

Bom, quando aprendemos cônicas, vimos todas definidas no sistema cartesiano, ou seja, com x e y . Então, para conseguirmos identificar a curva com maior facilidade nossa tarefa será sumir com o parâmetro t e encontrar uma relação entre x e y .

Bora começar??

Passo 2

Esse tipo de exercício é meio que tentativa e erro. Então, tem alguns que precisamos ver pelo menos uma vez na vida para ter a sacada. Essse é um deles haha.

Para começar vamos reescrever as expressões dadas:

x = a 1 + t 2 1 - t 2 → x a = 1 + t 2 1 - t 2

y = 2 b t 1 - t 2 → y 2 b = t 1 - t 2

Se elevarmos ao quadrado teremos:

x a = 1 + t 2 1 - t 2

x a 2 = 1 + 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2   ( 1 )

y b = 2 t 1 - t 2

y b 2 = 4 t 2 ( 1 - t 2 ) 2 ( 2 )

Passo 3

Vamos, agora, analisar os numeradores das expressões ( 1 ) e ( 2 ) . Se pegarmos a expressão ( 1 ) e subtrairmos da expressão ( 2 ) , teremos:

1 + 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2 - 4 t 2 ( 1 - t 2 ) 2 = 1 - 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2

Agora aqui no numerador do último cara da direita temos um quadrado perfeito!

1 - 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2 = ( 1 - t 2 ) 2 ( 1 - t 2 ) 2 = 1

Finalmente,

1 + 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2 - 4 t 2 ( 1 - t 2 ) 2 = 1

Logo, temos que:

x a 2 - y b 2 = 1

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

E essa é a expressão de uma hipérbole!!

Resposta

H i p é r b o l e

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Determinar os autovalores e os autovetores associados se:

A = 3 0 8 - 1

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Passo 1

Vamos fazer um aquecimento!! Hehe... para então podermos ir sem nenhuma dúvida para os casos das cônicas com rotação!!

Passo 2

A matriz que nos é dada: A = 3 0 8 - 1

Foi nos dada a matriz A e devemos calcular seus autovalores e autovetores. Primeiro, começamos com os autovalores, para isso faremos:

A - λ I = 0

Então,

3 0 8 - 1 - λ 0 0 λ = 0

3 - λ 0 8 - 1 - λ = 0

Calculando o determinante, temos:

3 - λ   - 1 - λ = 0

Os autovalores são:

λ = 3         e       λ = - 1

Agora, que temos os autovalores podemos calcular o autovetor para cada um dos autovalores. Vamos começar por λ = 3 .

Para λ = 3 :

Encontrar o autovetor v significa respeitar:

A - λ I . v = 0

Sendo A a matriz dada, λ = 3 , I a matriz identidade e v o autovetor que queremos descobrir.

Montando a expressão acima e supondo que v = ( a ,   b )