Cônicas com Rotação – Método dos Autovalores

Teoria Completa

Introdução

A gente viu as equações de parábolas, elipses e hipérboles quando elas estão retinhas ao longo do eixo x ou y . Mas acredite: existem cônicas que estão tortas, tipo essa parábola:

Chamamos essas cônicas de rotacionadas. Normalmente o exercício dá a equação geral delas e precisamos descobrir qual cônica é.

Existem duas maneiras de fazer isso: o método matricial (mais usado em geometria analítica) e o método dos autovalores (mais usado em álgebra linear), que é o que vamos ver agora :)

Equação Geral das Cônicas

Normalmente, nesses exercícios, vamos ter uma equação no formato geral, que é assim:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Sendo que A ,   B ,   C ,   D ,   E e F são constantes.

Lembrando: qualquer cônica pode ser escrita com essa equação geral.

Cônicas Degeneradas

Olhando a expressão podemos nos perguntar: só existe as cônicas parábola, elipse e hipérbole??

Relaxa!! Vamos te mostrar que além dessas três que já conhecemos, existem também as cônicas que chamamos de cônicas degeneradas.

As cônicas degeneradas são todas as outras cônicas que não são elipse, parábola ou hipérbole. Alguns exemplos são:

  • x 2 + y 2 + 7 = 0 (vazio)
  • x 2 + y 2 = 9 (circunferência)
  • y 2 = 0 ( y = 0 , eixo x )
  • x y = 0 (par de retas, os eixos x e y )
  • 3 x 2 + 2 y 2 = 0 (origem)
  • y 2 - 1 = 0 (par de retas paralelas)
  • - 2 x + y - 1 = 0 (reta)

Voltando para as cônicas não degeneradas, ou seja, elipse, parábola e hipérbole!! Na equação geral que vimos acima vemos que a equação tem um termo x y . Por meio desse termo temos dois casos:

  • Caso 1: B = 0 , se isso ocorre, então significa que a cônica pode estar no máximo transladada, igual os casos que já vimos nos assuntos anteriores
  • Caso 2: B ≠ 0 , significa que a cônica está rotacionada. Além disso, ela pode estar transladada também viu?
  • Cônicas com rotação

    Vamos te ensinar um método de resolução para o CASO 2 em que utilizaremos vários conceitos da álgebra linear e geometria analítica. Mas, não se desespere!! Vamos te ensinar de uma forma prática, para que você entenda o método de resolução, blz?!

    Para rotacionarmos cônicas, vamos tirar ela do sistema de coordenadas x O y e passar pro sistema x O y .

    Primeiro, vamos relembrar a forma genérica de uma cônicas que vimos antes:

    A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0   ( 1 )

    Guarde essa expressão com carinho!!

    Pra entendermos direitinho, vamos supor que o exercício nos deu a equação:

    4 x 2 + 4 x y + 1 y 2 + 2 x + 6 y - 9 = 0

    Os nossos coeficientes são: A = 4 , B = 4 , C = 1 , D = 2 , E = 6 e F = - 9 .

    Como nesse caso B ≠ 0 , ou seja, como temos o termo x y , a cônica está rotacionada, então bora lá ajustar essa equação e descobrir que cônica é essa.

    Passo 1 - Escrevendo de forma matricial

    Vamos escrever essa expressão de um jeito matricial, desse jeito:

    x   y A B 2 B 2 C x y + D   E x y + F = 0   ( 2 )

    Note que a expressão ( 2 ) é equivalente à expressão ( 1 ) , mas usando matrizes. E outro detalhe, quando for montar as matrizes se atente para o local exato das constantes, ou seja, a constante A é a do x 2 a B do x y e assim por diante.

    Então, no nosso exemplo:

    x   y 4 2 2 1 x y + 10   6 x y - 9 = 0

    Passo 2 – Encontrando a matriz H

    Montada a expressão ( 2 ) vamos definir a matriz que chamaremos de matriz H .

    Então, no nosso caso:

    H = 4 2 2 1

    Passo 3 – Calculando os autovalores

    Tendo a matriz H acharemos os autovalores dessa matriz!! Mas, o que são autovalores?

    Calma!!!

    Relembrando, vimos que autovalores são os valores λ que:

    d e t ⁡ ( H - λ I ) = 0   ( 3 )

    Vamos calcular os autovalores da nossa matriz H pra exemplificar:

    H = 4 2 2 1

    Pra calcular os autovalores, vamos fazer   d e t ⁡ ( H - λ I ) , ou seja, a matriz H menos a matriz identidade multiplicada por   λ :

      4 2 2 1 - λ 1 0 0 1 = 0

    4 - λ 2 2 1 - λ = 0

    Calculando o determinante dessa matriz, temos:

    4 - λ 1 - λ - 4 = 0

    λ 2 - 5 λ = 0 →   λ λ - 5 = 0

    Os valores de λ são:

    λ ' = 0       e         λ ' ' = 5

    O que chamamos de AUTOVALORES são os λ que encontramos.

    Passo 4 – Calculando os autovetores unitários

    Já que temos os autovalores vamos encontrar agora os AUTOVETORES!! Para cada autovalor temos um autovetor!! Além disso, o autovetor que encontrarmos deve ser unitário, ou seja, seu módulo deve ser 1!!

    Muita informação!! Vamos com calma!!

    Então, supondo que nosso autovetor é:

    v = x 0 y 0

    Acharemos os valores de x 0 e y 0 fazendo simplesmente:

    H - λ I v = 0

    No nosso exemplo:

    - Para λ ' = 0

    Vamos começar achando o autovetor para λ ' = 0 . Teremos:

    H - 0 . I v ' = 0

    Como a matriz identidade fica anulada pelo 0:

    H . v ' = 0

    4 2 2 1 x 0 y 0 = 0

    Para encontrar a relação entre x 0 e y 0 podemos usar tanto a primeira linha quanto a segunda linha da matriz, pois o resultado final será o mesmo. Assim, pegando a primeira linha montamos a expressão ( 4 ) .

    4 x 0 + 2 y 0 = 0   ( 4 )

    Pela expressão ( 4 ) , temos:

    x 0 = - y 0 2

    Vamos atribuir valores. Escolhendo y 0 = 2 , x 0 será x 0 = - 1 .

    Encontramos o autovetor então? Quase, calma aí!! Estamos esquecendo que ele deve ser unitário!! Então, devemos calcular o módulo do autovetor e dividir cada uma das suas coordenadas pelo módulo.

    Temos que x 0 ,   y 0 = ( - 1 ,   2 ) , seu módulo é 5 . Portanto, nosso autovetor unitário, será:

    v ' = - 1 5 , 2 5

    - Para λ ' ' = 5

    Agora vamos calcular o autovetor para λ ' ' = 5 , o esquema é o mesmo:

    H - 5 . I v ' ' = 0

    4 2 2 1 - 5 1 0 0 1 . v ' ' = 0

    - 1 2 2 - 4 . v ' ' = 0

    - 1 2 2 - 4 x 0 y 0 = 0

    Montando a expressão multiplicando a partir da primeira linha, temos:

    - 1 x 0 + 2 y 0 = 0

    2 y 0 = x 0

    Escolhendo y 0 = 1 , temos que x 0 = 2 . Agora vamos deixar esse vetor unitário.

    Tendo x 0 ,   y 0 = ( 2 ,   1 ) , seu módulo vai ser 2 2 + 1 ² = 5 , logo, o nosso vetor unitário vai ser

    v ' ' = 2 5 , 1 5

    Passo 5 – Montando as matrizes D e P

    Tendo os autovalores e autovetores unitário, montaremos duas matrizes: A matriz P que será a matriz de autovetores e a matriz D que será a matriz de autovalores. Essas matrizes são montadas da seguinte forma:

    D = λ 1 0 0 λ 2

    Então, para montar a matriz D você colocará na sua diagonal os valores que você encontrou para os autovalores e na diagonal secundária será sempre ZEROS.

    Já na matriz P , suas colunas serão referentes a um dos autovetores. Por exemplo, se considerarmos o autovetor v = ( x 0 ,   y 0 ) e o segundo autovetor v 1 = ( x 1 ,   y 1 ) então, nossa matriz P será:

    P = x 0 x 1 y 0 y 1

    Temos que tomar um cuidado!! A primeira coluna da matriz deve possui o autovetor relacionado ao mesmo autovalor que está na coluna 1 da matriz D , e na segunda coluna a mesma coisa. Então, teremos a seguinte ligação;

    A matriz P tem ainda uma outra característica!! Ela que dá o ângulo de rotação da nossa cônica, pois:

    P = x 0 x 1 y 0 y 1 = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

    Assim, a rotação da nossão cônica será θ .

    No nosso exemplo:

    D = 0 0 0 5

    P = - 1 5 2 5 2 5 1 5

    Passo 6 – Escrevendo a expressão

    Tendo calculado todos os passos anteriores, vamos usar as informações que encontramos para escrever a seguinte expressão:

    Nesse ponto conseguimos ver que todos os cálculos que fizemos anteriormente serviram para fazer uma mudança de coordenadas de x y para x ' y ' . Isso foi feito para eliminar o termo B x y da cônica e conseguirmos então trabalhar com ela.

    Tendo a expressão ( 5 ) acima, vamos fazer as multiplicações das matrizes e então chegaremos numa equação que dependerá de x ' e y ' e voltaremos aos problemas do Tópico 1, onde passaremos a ter o termo B = 0 , ou seja, bastará completarmos quadrados para encontrar a cônica. Então, no nosso exemplo:

    x ' y ' 0 0 0 5 x ' y ' + 2   6 - 1 5 2 5 2 5 1 5 x ' y ' - 9 = 0

    Multiplicando as matrizes:

    5 y ' 2 + 2 5 x ' + 2 5 y ' - 9 = 0

    Oba!! Agora temos nossa equação no novo sistema de coordenadas e sem o termo x y :D agora sim bora descobrir que cônica é essa!

    Completando quadrados em y ' :

    ( 5 y ' 2 + 2 5 y ' + 1 ) + 2 5 x ' - 9 - 1 = 0

    5 y ' + 1 2 = 10 - 2 5 x '

    Fazendo os ajustes necessários, teremos que isso é uma parábola transladada ao longo do eixo x . Abaixo temos o esboço dessa parábola antes de ser rotacionada (em azul) e depois de fazermos todos esses ajustes (em vermelho):

    No tópico 1, quando falamos de translação de cônicas também fizemos uma mudança de coordenadas e para isso tínhamos uma relação entre x y e x ' y ' , e nesse caso qual a relação entre x y e x ' y ' . Neste, caso a relação é a seguinte:

    Ufa!!! Agora sim, você já sabe tudo o que você precisa para resolver esse tipo de problema!!

    Para finalizar nosso estudo sobre cônicas, vamos falar um pouco sobre a representação paramétrica de alguma das cônicas!!

    Equações Paramétricas da Cônicas

    Das várias cônicas que existem 3 delas possuem equaçãoes paramétricas. Mas, o que são equações paramétricas?

    É uma forma diferente de representar as cônicas, em geral utilizando coordenadas polares para as cônicas, pois são 2 D .

  • Elipse
  • Considerando uma elipse com equação:

    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

    Podemos observar na figura abaixo que teremos como equações paramétricas:

    x = a . cos ⁡ θ

    y = b . sin ⁡ θ