Dimensão

Teoria Completa

Para começar a aquecer os motores e ter uma “dimensão” (haha) do que é esse tópico, vamos olhar esse conjunto abaixo:

V = x , y , z ∈ R 3 a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 2,2 , 0 + d ( 1,5 , 0 ) }

Bom, de cara já podemos perceber que esse conjunto não possui muitos geradores. Podemos ver que os dois últimos são C L dos demais. Assim, poderíamos restringir os geradores apenas aos vetores

1,0 , 0   e   0,1 , 0

Assim podemos definir esses 2 vetores como uma base para o conjunto V .

Poderíamos ter notado que há vetores “demais” no conjunto, pois, se esses 4 vetores fossem L I , teríamos um espaço gerado por 4 vetores.

Mas eles pertencem ao R 3 , que é gerado por apenas 3 vetores! E não podemos ter um espaço gerado “maior” que o próprio espaço em que os vetores geradores estão contidos! Não faria sentido, né?

Vamos formalizar essa noção de “tamanho”:

OBS: Podemos entender também que a dimensão de um conjunto ou espaço gerado é igual ao número de vetores L I que geram esse espaço ou conjunto.

Notação: dim ⁡ V = k .

Por exemplo, o R 4 é formado por 4 vetores L I , logo ele tem dimensão 4 .

O conjunto das matrizes 2 × 2 , possui dimensão 4 , pois:

a b c d = a 1 0 0 0 + b 0 1 0 0 + c 0 0 1 0 + d 0 0 0 1

E a dimensão de P 2 , polinômios de no máximo de grau 2 é:

a ( 1 ) + b ( x ) + c ( x 2 )

Então, o que eu quis dizer ali em cima é:

“Não podemos ter um espaço gerado com dimensão maior do que o próprio espaço em que o nosso espaço gerado está contido”

No nosso caso ali, temos 4 vetores geradores do R 3 . Como a dimensão do R 3 é 3 , então a dimensão máxima de qualquer conjunto contido no R 3 é 3 e fim de papo.

No exemplo acima podemos ver que dim ⁡ V = 2 , pois possui dois geradores L I , e, portanto, trata-se de um plano! (Confira!) Uma coisa importante sobre planos e retas é:

  • um plano sempre tem dimensão igual a 2 , pois possui sempre 2 geradores L I ;
  • uma reta sempre tem dimensão igual a 1 , pois possui sempre 1 gerador L I .

Polinômios

Tenho uma pergunta pra vocês. Esse conjunto aqui em baixo é uma base do R 2 ?

β = 1,0 , 0 , 0,1 , 0

Se você disse sim, você caiu numa das maiores pegadinhas da álgebra! Mas fica tranquilo que muita gente erra isso quando está aprendendo mesmo!

De fato, esse conjunto é uma base do plano x y no R 3 . O problema é que o plano x y no R 3 e o R 2 não são a mesma coisa! Isso porque o R 2 contêm vetores com DUAS coordenadas! Então o conjunto β NUNCA poderia gerar o R 2 já que ele tem vetores de 3 coordenadas.

De forma geral isso acontece porque R n ⊄ R m , para n < m . Ou seja, nesse caso o R 3 não contém o R 2 , então um conjunto de vetores do R 3 nunca poderia gerar o R 2 !

Show de bola, próxima pergunta:

P 1 ⊂ P 2 ?

O que acham? P 1 está contido em P 2 ? Ahh, isso parece meio óbvio, é que nem o R 2 e o R 3 né?? Ai que você se engana, jovem padawan. Vetores de 3 coordendas não conseguem gerar vetores de 2 coordenadas. Então nunca que uma base do R 3 vai gerar o R 2 !! Mas para polinômios isso não é necessariamente verdade!!

Se pegarmos uma base para P 2 ela consegue gerar polinômios de P 1 (apesar de uma base de P 2 não ser uma base de P 1 ). Repare, no espaço gerado de 1 , x , x 2 :

a + b x + c x 2

Então se zerarmos a terceira coordenada, ficamos apenas com:

a + b x

Que são todos os polinômios de no máximo grau 1 . Sendo assim, sempre um espaço de grau menor vai estar contido no de grau maior para polinômios!

Essa diferença acontece porque o R n é formado por todos os vetores de n coordenadas. Já o P n é formado por todos os polinômios de grau igual ou menor que n . Esse “menor” na definição é que muda o raciocínio! Então fica ligado porque os professores adoram explorar essa diferença nas provas haha.

Resumindo:

P n ⊂ P m ,   para n ≤ m

R n ⊄ R m , para n < m

O b s : Repare que para n = m , é verdade, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

Agora, vamos pros exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Faça o que se pede

a) Encontre uma base β para:

H =   s p a n { 1 ,   0 ,   2 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   3 ,   - 2 ,   4 }

Além disso, diga qual a dimensão de H .

b) O conjunto:

α = { x 2 - 1 , x 2 + 1 , x - 1 , x 2 + x - 4 }

é linearmente independente? Calcule também d i m ⁡ ( s p a n α ) .

c) Dê uma base e uma dimensão para H :

H = s p a n - 1 2 0 3 , 2 - 1 - 3 0 , 1 1 - 3 3 , 2 2 - 6 6

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Antes de tudo, vamos tentar achar os vetores que são C L dos outros, pois uma base possui apenas vetores L I (lembrar a definição!).

Olhando para o espaço gerado, podemos descartar o vetor nulo, que é uma C L de qualquer vetor.

Podemos verificar que o vetor 3 , - 2,4 pode ser escrito como

3 , - 2,4 = 2 1 , - 1,1 + 1,0 , 2

e também pode ser eliminado. Logo, nos resta apenas:

{ 1 ,   0 ,   2 ,   1 ,   - 1 ,   1 , 0 ,   1 ,   1 }

Passo 2

Podemos observar também que

0,1 , 1 = 1,0 , 2 - ( 1 , - 1,1 )

e vamos descartar o vetor 0,1 , 1 também.

Assim sobrou apenas:

{ 1,0 , 2 , 1 , - 1,1 }

Esses vetores ai em cima são L . I , pois um não é uma C L do outro. Na dúvida, aplique a definição e verifique (ache coeficientes iguais a zero).

Encontramos β = { 1,0 ,   2 ,   1 , - 1 ,   1 }

Como a base possui 2 vetores, temos dim ⁡ H = 2 .

Passo 3

Letra b) Bom, se queremos verificar se aquele conjunto é L I , vamos fazer uma C L entre eles:

a x 2 - 1 + b x 2 + 1 + c x - 1 + d x 2 + x - 4 = 0 ⇒

a x 2 - a + b x 2 + b + c x - c + d x 2 + d x - 4 d = 0

Após desenvolver, basta apenas agrupar os termos em { 1 , x , x 2 } , já que sabemos que este conjunto é L I . Assim, igualamos seus coeficientes a zero.

- a + b - c - 4 d + c + d x + a + b + d x 2 = 0 ⇒

- a + b - c - 4 d = 0   ( I ) c + d = 0 ⇒ c = - d   ( I I ) a + b + d = 0 ⇒ a = - b - d   ( I I I )

Passo 4

Substituindo as equações I I e ( I I I ) na ( I ) , temos:

b + d + b + d - 4 d = 0 ⇒

- 2 d + 2 b = 0 ∴ d = b

Portanto podemos concluir que:

c = - b

a = - 2 b

d = b

b = b

Então, se colocarmos a = - 2 ,   b = 1 ,   c = - 1 ,   d = 1 teremos zero, ou seja, existe uma combinação linear dando zero sem ser a trivial. O que isso nos diz? Que os vetores são LD!

Beleza agora que sabemos que o conjunto é LD, vamos ver qual ou quais vetores podem ser escrito como CL dos demais. Dessa forma, saberemos quais podem ser descartados por serem redundantes e assim teremos nossa base!

Nossa equação principal fica assim:

- 2 b x 2 - 1 + b x 2 + 1 - b x - 1 + b x 2 + x - 4 = 0

Dividindo tudo por b , já que como são L D ,   b ≠ 0 :

- 2 x 2 - 1 + x 2 + 1 - x - 1 + x 2 + x - 4 = 0 ∴

x 2 + x - 4 = 2 x 2 - 1 - x 2 + 1 + ( x - 1 )

Passo 5

E assim vemos que podemos descartar x 2 + x - 4 . Mas isso não torna o novo conjunto

{ x 2 - 1 , x 2 + 1 , x - 1 }

L I . Precisamos verificar isso de novo. Uma dica para não ter tanto trabalho é aproveitar as equações já feitas e apenas remover o d delas.

- a + b - c + c x + a + b x 2 = 0

- a + b - c = 0   ( I V ) c = 0 ⇒ c = 0   ( V ) a + b = 0 ⇒ a = - b   ( V I )

Tomando c = 0 pela equação ( V ) :

- a + b = 0 ⇒ a = b a = - b

Somando as duas vemos que:

2 a = 0 ∴ a = 0 = b

Portanto, sim, o novo conjunto é L I e a dimensão é 3.

Passo 6

Passo 7

Letra c) Primeiramente, vamos verificar se o conjunto é L I , mas, em vez de usarmos a definição podemos ter um pouco menos de trabalho e usar o teorema vendo se alguma matriz é uma C L das demais. Sempre tente fazer isso antes de aplicar a definição a não ser que peçam para você provar, é claro.

Repare que, para a quarta matriz, 2 2 - 6 6 = 2 1 1 - 3 3 . Logo, podemos descartar esta quarta matriz.

Outra coisa que podemos ver é que a terceira matriz 1 1 - 3 3 é a soma da primeira com a segunda. Assim podemos eliminar já as duas últimas.

Passo 8

Repare que as duas que sobraram

- 1 2 0 3 , 2 - 1 - 3 0