Coordenada

Teoria Completa

Introdução

Aqui está um conceito muito importante e que será muito usado posteriormente! Então preste muita atenção!

Lembra que na definição de base, o conjunto deveria ser ordenado?? Então, isso se deve à matéria que vamos ver agora. Se, por exemplo, temos uma base β :

β = { 1,0 , 1 , 0,0 , 1 , 0,1 , 0 }

Sabemos que essa é uma possível base do R 3 , logo qualquer vetor do R 3 pode ser escrito como combinação linear desses vetores aí. Vamos pegar, por exemplo, o vetor:

( 2,1 , 3 )

Vamos escrevê-lo como uma combinação linear dos vetores da base:

2,1 , 3 = a 1,0 , 1 + b 0,0 , 1 + c 0,1 , 0

2,1 , 3 = a , c , a + b ⇒

a = 2 c = 1 a + b = 3 ⇒ b = 1

Então, se quisermos gerar o vetor ( 2,1 , 3 ) com essa base aí, temos que pegar os coeficientes descobertos acima:

2,1 , 3 = 2 1,0 , 1 + 1 0,0 , 1 + 1 0,1 , 0

Quando a gente resolveu o sistema, só achamos uma solução para cada coeficiente! Por isso, podemos ver que há apenas uma única escolha de coeficientes de uma base, que geram um único vetor!

Obs.: Uma coisa interessante que de vez em quando aparece em provas é a igualdade de vetores em bases diferentes! Nós temos o seguinte:

  • O mesmo vetor pode ter representações iguais ou diferentes em bases diferentes.
  • Dois vetores distintos podem ter a mesma representação em bases distintas. Assim como podem não ter :p
  • Dois vetores distintos nunca terão a mesma representação numa mesma base!

Agora que já vimos isso, vamos aprender a escrever um vetor nas coordenadas de uma base!

Escrevendo um Vetor nas Coordenadas de uma Base

Basicamente, a partir dessa notação, o vetor u é “o primeiro elemento dessa matriz coluna multiplicado pelo primeiro vetor da base; somado ao segundo elemento dessa coluna multiplicado pelo segundo vetor da base, e assim por diante...”

Ou seja...:

u = a 1 u 1 + … + a k u k

Obs: Veja que é por isso que as bases são conjuntos ordenados. No exemplo anterior, as coordenadas de v = 2,1 , 3 na base β são:

v β = 2 1 1

Mas se, por exemplo, definirmos uma outra base α com os mesmos vetores, porém com a ordem trocada:

α = { 0,0 , 1 ,   1,0 , 1 , 0,1 , 0 }

As coordenadas de v na base α agora serão:

v α = 1 2 1

Agora se escolhermos essa base aqui:

ε = 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 ,   0,0 , 1

Então

2,1 , 3 = 2 1,0 , 0 + 1 0,1 , 0 + 3 ( 0,0 , 1 )

v ε = 2 1 3

Podemos ver que os coeficientes dessa base são EXATAMENTE as coordenadas do nosso vetor! A mesma coisa ocorreu com o nosso primeiro exemplo, mas dessa vez não precisamos efetuar contas!

Isso acontece porque chamamos a base ε de base canônica. Quando um espaço vetorial é formado por uma base canônica, os coeficientes nessa base são as próprias coordenadas do elemento. Isso acontece com vetores, matrizes e polinômios. Sempre quando for essa base, você consegue calcular de forma rápida e de cabeça sem efetuar contas!

Normalmente denotamos essas bases com a letra grega épsilon ( ε ). Aqui vão alguns exemplos de base canônica:

Do R 4 :

ε = 1,0 , 0,0 ,   0,1 , 0,0 ,   0,0 , 1,0 , 0,0 , 0,1

Do conjunto M 2 × 2 das matrizes 2 × 2 :

ε = 1 0 0 0 ,   0 1 0 0 ,   0 0 1 0 , 0 0 0 1

Dos polinômios de P 3 :

ε = { 1 , x , x 2 , x 3 }

Obs.: Se temos um vetor escrito em alguma base dada, podemos achar o vetor escrito na base canônica apenas aplicando ele à base. Por exemplo:

v β = 4,1 , 3 ,   β = 2,0 , 1 , 1,3 , 0 , 0,1 , 1

v = 4 2,0 , 1 + 1 1,3 , 0 + 3 0,1 , 1 = 8,0 , 4 + 1,3 , 0 + 0,3 , 3 = 9,6 , 7

Simples assim!

Outro fato importante é quando escrevemos um vetor já pertencente à base nas coordenadas dessa base. Se liga na base:

β = 1,0 , 2 , 0,0 , 1 , 0,1 , 0

Se tentarmos escrever o vetor ( 1,0 , 2 ) nas coordenadas da base β , teremos:

1,0 , 2 = a 1,0 , 2 + b 0,0 , 1 + c 0,1 , 0 ⇒

1 = a 0 = c 2 = 2 a + b ⇒ 2 = 2 + b ⇒ b = 0

Observe que a primeira coordenada deu 1 e o resto 0 !! Por que isso? Porque o vetor que escolhemos era o primeiro vetor da base β . Se fosse o segundo teríamos encontrado a = c = 0 e b = 1 ! E isso vale sempre!

Desse modo, se temos uma base β = v 1 , … , v n

Então:

v 1 β = 1 0 ⋮ 0

v n β = 0 ⋮ 0 1

Agora, vamos pros exercícios para tudo ficar bem “dimensionado” na sua mente, hehe!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 97 – Ex. 69 (Adaptado)

No espaço vetorial de R 3 , consideraremos a seguinte base β = { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 1 , - 1,1 } . Determinar as coordenadas de v ∈ R 3 em relação à base β se:

  1. v = 2 , - 3,4
  2. v = 3,5 , 6
  3. v = ( 1 , - 1,1 )
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Letra a)

Vamos fazer a C L com os vetores da base:

2 , - 3,4 = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 1 , - 1,1 ⇒

2 = a + c ⇒ 2 = a + 4 ⇒ a = - 2 - 3 = b - c ⇒ - 3 = b - 4 ⇒ b = 1 4 = c

v β = - 2 1 4

Letra b)

3,5 , 6 = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 1 , - 1,1 ⇒

3 = a + c ⇒ a = - 3 5 = b - c ⇒ b = 11 6 = c

v β = - 3 11 6

Letra c)

Como ( 1 , - 1,1 ) é o terceiro vetor da base, então suas coordenadas na base β serão:

v β = 0 0 1

Resposta

  1. v β = - 2 1 4
  2. v β = - 3 11 6
  3. v β = 0 0 1

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 95 – Ex. 58

O conjunto β = { 2 , - 1 , - 3,2 } é uma base do R 2 . Escreva o vetor genérico do R 2 como combinação linear de β .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Caramba! O que ele quis dizer com o vetor genérico do R 2 ??? É um vetor genérico de duas coordenadas, ué. Sendo assim, seria o vetor x , y , x , y ∈ R . Agora que já sabemos quem é nosso vetor, é só montar a nossa combinação linear.

x , y = a 2 , - 1 + b - 3,2 ⇒

x = 2 a - 3 b ⇒ x = 4 b - 2 y - 3 b ⇒ x = b - 2 y ⇒ b = x + 2 y y = - a + 2 b ⇒ a = 2 b - y ⇒ a = 2 x + 4 y - y ⇒ a = 2 x + 3 y

Pô mas esses resultados deram em função de x , y ! Era de se esperar que isso acontecesse! É só pensar que x , y seriam coordenadas de um vetor qualquer. E num vetor qualquer teríamos que achar a , b em função de suas coordenadas, não é mesmo?

Assim, as coordenadas do vetores genérico são:

x , y β = 2 x + 3 y x + 2 y

Resposta

x , y β = 2 x + 3 y x + 2 y

Exercício Resolvido #3

Lista 2 para a p1, bases e coordenadas, questão 2, 2015.2, PUC-rio.
  1. Existe alguma base β de R 2 tal que, 2,1 β = 0 1 ?
  2. É possível encontrar uma segunda base β ' ≠ β também satisfazendo 2,1 β = 0 1 ?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Letra a)

Bom, vamos definir uma base para o R 2 , sendo β = { v 1 ,   v 2 } . Sabendo que o vetor ( 2,1 ) está escrito nas coordenadas da base β , então:

2,1 = 0 v 1 + 1 v 2

Com isso, podemos perceber que o vetor ( 2,1 ) será sempre o segundo vetor da base que escolhermos, QUALQUER QUE SEJA o primeiro vetor da base, pois ele sempre multiplica o 0 .

Assim, uma possível base é:

β = 1,0 ,   2,1

Só não podemos esquecer que β é uma base! Então v 1 não pode ser múltiplo de v 2 , nem ser o vetor nulo, ou seja, v 1 não pode ser múltiplo de 2,1 e nem ser 0,0 !

Passo 2

Letra b)

Sabendo como se resolve a letra ( a ) , fica fácil a letra ( b ) ! Nós vimos que como o 0 multiplica o primeiro vetor da base que escolhemos, podemos pegar qualquer valor para o primeiro vetor dessa base, que ainda vamos satisfazer a condição dada. Observe que ele deu apenas uma condição.

Portanto um outra base β ' é:

β ' = 0,1 ,   2,1

Resposta

  1. β = 1,0 ,   2,1
  2. β ' = 0,1 ,   2,1

Exercício Resolvido #4

Lista 2 para a p1, bases e coordenadas, questão 1, 2015.2, PUC-rio.

Seja β = u ,   v ,   w uma base do R 3 . Mostre que se u ' ,   v ' ,   w ' ∈ R 3 são tais que

u ' β = 1 1 0 ,   v ' β = 0 1 1 ,   w ' β = 1 0 1 ,

então { u ' ,   v ' ,   w ' } é uma base de R 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para começar vamos separar nosso problema em hipótese e tese:

Hipóteses: β = u ,   v ,   w é uma base do R 3 e u ' β = 1 1 0 ,   v ' β = 0 1 1 ,   w ' β = 1 0 1 .

Tese: { u ' ,   v ' ,   w ' } é uma base de R 3 .

Passo 2

Se { u ' ,   v ' ,   w ' } é uma base de R 3 é a nossa tese, então o que queremos saber é se { u ' ,   v ' ,   w ' } é L I e que s p a n u ' ,   v ' ,   w ' = R 3 . Vamos provar primeiro que eles são L I , pois a segunda parte da nossa tese é uma consequência da primeira.

Para começar, vamos ajeitar a nossa hipótese:

u ' = 1 u + 1 v + 0 w v ' = 0 u + 1 v + 1 w w ' = 1 u + 0 v + 1 w

Passo 3

Agora vamos equacionar a nossa tese; mais especificamente, se { u ' ,   v ' ,   w ' } é L I :

a u ' + b v ' + c w ' = 0

Por hipótese, sabemos quem é u ' ,   v ' ,   w ' em função de u ,   v , w . Assim, ao aplicarmos nossa hipótese:

a u + v + b v + w + c u + w = 0 ⇒

a u + a v + b v + b w + c u + c w = 0 ⇒

a + c u + a + b v + b + c w = 0

Passo 4

Como sabemos que o conjunto u ,   v ,   w é uma base, ele é L I também, por definição. Assim, podemos igualar seus coeficientes a zero na equação acima:

a + c = 0 ⇒ a = - c a + b = 0 ⇒ - c + b = 0 ⇒ b = c b + c = 0 ⇒ b + b = 0 ⇒ 2 b = 0 ∴ b = 0

Assim, podemos ver que:

c = 0

a = 0

Portanto, nosso conjunto { u ' ,   v ' ,   w ' } é L I também.

Passo 5

Agora falta provar que s p a n u ' ,   v ' ,   w ' = R 3 . Entretanto, como β = u ,   v ,   w é uma base do R 3 , sabemos que u , v , w ∈ R 3 . E como u ' ,   v ' ,   w ' pode ser escrito como uma C L de u , v , w , eles também pertencem ao R 3 . Assim, podemos concluir que { u ' ,   v ' ,   w ' } é um conjunto de vetores de 3 coordenadas, pertencem ao R 3 , e L I ; portanto, s p a n u ' ,   v ' ,   w ' = R 3 .

Observe que não basta falar que os vetores são simplesmente L I , porque não sabemos em que espaço se situam ( R 3 ,   R 4 , . . . ) Como os vetores são genéricos, não sabemos quantas coordenadas possuem, então poderiam ser 3 vetores L I do R 4 , que não gera o R 3 .

Resposta

Exercício Resolvido #5

UFRJ-P2-2013.1

Seja V um espaço vetorial e α e β duas bases distintas de V .

Sejam v → e w → dois vetores distintos de V .

Denotamos as coordenadas de v → em relação à base α por v → α .

Podemos sempre afirmar que:

a   v → α ≠ v → β

b   v → α ≠ w → β

c   v → α ≠ w → α

d   v → β ≠ w → α

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Será que a ( a ) é verdade?

Vou te mostrar um contraexemplo e você vai ver que não.

Por exemplo, olha o vetor v → = ( 2 ,   2 ) escrito na base canônica α = { i ^ ,   j ^ } :

2 ,   2 = 2 i ^ + 2 j ^ = 2 1 ,   0 + 2 ( 0 ,   1 )

O mesmo vetor escrito na base β = 1 2 ,   1 ,   1 2 ,   0 fica:

2 ,   2 = 2 1 2 ,   1 + 2 1 2 ,   0

Afinal:

2 ,   2 = ( 2 ∙ 1 2 + 2 ∙ 1 2 ,   2 ∙ 1 + 2 ∙ 0 )

Então o mesmo vetor escrito nas duas bases tem os coeficientes ( 2 ,   2 ) .

Então não podemos afirmar que um vetor é diferente só porque está escrito em bases diferentes.

Passo 2

Essa ( b ) é bem tranquila. Um vetor v → numa base sempre pode ser escrito como um vetor w → em outra base.

Olha só:

v → = ( 1 ,   1 )

w → = ( 2 ,   2 )

α = { i ^ ,   j ^ }

β = 1 2 ,   0 ,   0 , 1 2

O vetor v → escrito na base canônica é ( 1 ,   1 ) , assim como o vetor w → escrito na base canônica é ( 2 ,   2 ) .

Mas se escrevemos o v → na base β , temos v → = ( 1 ,   1 ) = 2 1 2 ,   0 + 2 0 , 1 2 = 2 ,   2 β .

Ou seja, o vetor ( 1 ,   1 ) tem coeficientes ( 2 ,   2 ) na base β .

Então v → α = w → β , e a ( b ) é falsa.

Passo 3

A letra ( c ) diz que dois vetores não podem ser escritos do mesmo jeito se estiverem na mesma base. E é verdade!

Afinal, se temos uma base β = { u → ,   v → } , por exemplo, só existe um vetor que seja igual a:

a u → + b v →

Esse vetor é o a ,   b escrito na base β .

Nem teria sentido falar em a ,   b β se existisse mais de um vetor que pudesse ser escrito assim.

Esse vetor é único.

Passo 4

Pô, a ( d ) é quase cópia da ( b ) .

Eu inclusive vou usar o mesmo exemplo, só trocando quem é v → e quem é w → .

v → = ( 2 ,   2 )

w → = ( 1 ,   1 )

α = { i ^ ,   j ^ }

β = 1 2 ,   0 ,   0 , 1 2

O vetor v → escrito na base canônica é ( 2 ,   2 ) , assim como o vetor w → escrito na base canônica é ( 1 ,   1 ) .

Mas se escrevemos o w → na base β , temos w → = 1 ,   1 α = 2 1 2 ,   0 + 2 0 , 1 2 = 2 ,   2 β .

Ou seja, o vetor ( 1 ,   1 ) tem coeficientes ( 2 ,   2 ) na base β .

Então w → α = v → β (logo a ( d ) é falsa).

Resposta

Letra ( c )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas