Coordenada

Teoria Completa

Introdução

Aqui está um conceito muito importante e que será muito usado posteriormente! Então preste muita atenção!

Lembra que na definição de base, o conjunto deveria ser ordenado?? Então, isso se deve à matéria que vamos ver agora. Se, por exemplo, temos uma base β :

β = { 1,0 , 1 , 0,0 , 1 , 0,1 , 0 }

Sabemos que essa é uma possível base do R 3 , logo qualquer vetor do R 3 pode ser escrito como combinação linear desses vetores aí. Vamos pegar, por exemplo, o vetor:

( 2,1 , 3 )

Vamos escrevê-lo como uma combinação linear dos vetores da base:

2,1 , 3 = a 1,0 , 1 + b 0,0 , 1 + c 0,1 , 0

2,1 , 3 = a , c , a + b ⇒

a = 2 c = 1 a + b = 3 ⇒ b = 1

Então, se quisermos gerar o vetor ( 2,1 , 3 ) com essa base aí, temos que pegar os coeficientes descobertos acima:

2,1 , 3 = 2 1,0 , 1 + 1 0,0 , 1 + 1 0,1 , 0

Quando a gente resolveu o sistema, só achamos uma solução para cada coeficiente! Por isso, podemos ver que há apenas uma única escolha de coeficientes de uma base, que geram um único vetor!

Obs.: Uma coisa interessante que de vez em quando aparece em provas é a igualdade de vetores em bases diferentes! Nós temos o seguinte:

  • O mesmo vetor pode ter representações iguais ou diferentes em bases diferentes.
  • Dois vetores distintos podem ter a mesma representação em bases distintas. Assim como podem não ter :p
  • Dois vetores distintos nunca terão a mesma representação numa mesma base!

Agora que já vimos isso, vamos aprender a escrever um vetor nas coordenadas de uma base!

Escrevendo um Vetor nas Coordenadas de uma Base

Basicamente, a partir dessa notação, o vetor u é “o primeiro elemento dessa matriz coluna multiplicado pelo primeiro vetor da base; somado ao segundo elemento dessa coluna multiplicado pelo segundo vetor da base, e assim por diante...”

Ou seja...:

u = a 1 u 1 + … + a k u k

Obs: Veja que é por isso que as bases são conjuntos ordenados. No exemplo anterior, as coordenadas de v = 2,1 , 3 na base β são:

v β = 2 1 1

Mas se, por exemplo, definirmos uma outra base α com os mesmos vetores, porém com a ordem trocada:

α = { 0,0 , 1 ,   1,0 , 1 , 0,1 , 0 }

As coordenadas de v na base α agora serão:

v α = 1 2 1

Agora se escolhermos essa base aqui:

ε = 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 ,   0,0 , 1

Então

2,1 , 3 = 2 1,0 , 0 + 1 0,1 , 0 + 3 ( 0,0 , 1 )

v ε = 2 1 3

Podemos ver que os coeficientes dessa base são EXATAMENTE as coordenadas do nosso vetor! A mesma coisa ocorreu com o nosso primeiro exemplo, mas dessa vez não precisamos efetuar contas!

Isso acontece porque chamamos a base ε de base canônica. Quando um espaço vetorial é formado por uma base canônica, os coeficientes nessa base são as próprias coordenadas do elemento. Isso acontece com vetores, matrizes e polinômios. Sempre quando for essa base, você consegue calcular de forma rápida e de cabeça sem efetuar contas!

Normalmente denotamos essas bases com a letra grega épsilon ( ε ). Aqui vão alguns exemplos de base canônica:

Do R 4 :

ε = 1,0 , 0,0 ,   0,1 , 0,0 ,   0,0 , 1,0 , 0,0 , 0,1

Do conjunto M 2 × 2 das matrizes 2 × 2 :

ε = 1 0 0 0 ,   0 1 0 0 ,   0 0 1 0 , 0 0 0 1

Dos polinômios de P 3 :

ε = { 1 , x , x 2 , x 3 }

Obs.: Se temos um vetor escrito em alguma base dada, podemos achar o vetor escrito na base canônica apenas aplicando ele à base. Por exemplo:

v β = 4,1 , 3 ,   β = 2,0 , 1 , 1,3 , 0 , 0,1 , 1

v = 4 2,0 , 1 + 1 1,3 , 0 + 3 0,1 , 1 = 8,0 , 4 + 1,3 , 0 + 0,3 , 3 = 9,6 , 7

Simples assim!

Outro fato importante é quando escrevemos um vetor já pertencente à base nas coordenadas dessa base. Se liga na base:

β = 1,0 , 2 , 0,0 , 1 , 0,1 , 0

Se tentarmos escrever o vetor ( 1,0 , 2 ) nas coordenadas da base β , teremos:

1,0 , 2 = a 1,0 , 2 + b 0,0 , 1 + c 0,1 , 0 ⇒

1 = a 0 = c 2 = 2 a + b ⇒ 2 = 2 + b ⇒ b = 0

Observe que a primeira coordenada deu 1 e o resto 0 !! Por que isso? Porque o vetor que escolhemos era o primeiro vetor da base β . Se fosse o segundo teríamos encontrado a = c = 0 e b = 1 ! E isso vale sempre!

Desse modo, se temos uma base β = v 1 , … , v n

Então:

v 1 β = 1 0 ⋮ 0

v n β = 0 ⋮ 0 1

Agora, vamos pros exercícios para tudo ficar bem “dimensionado” na sua mente, hehe!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 97 – Ex. 69 (Adaptado)

No espaço vetorial de R 3 , consideraremos a seguinte base β = { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 1 , - 1,1 } . Determinar as coordenadas de v ∈ R 3 em relação à base β se:

  1. v = 2 , - 3,4
  2. v = 3,5 , 6
  3. v = ( 1 , - 1,1 )
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Passo 1

Letra a)

Vamos fazer a C L com os vetores da base:

2 , - 3,4 = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 1 , - 1,1 ⇒

2 = a + c ⇒ 2 = a + 4 ⇒ a = - 2 - 3 = b - c ⇒ - 3 = b - 4 ⇒ b = 1 4 = c

v β = - 2 1 4

Letra b)

3,5 , 6 = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 1 , - 1,1 ⇒

3 = a + c ⇒ a = - 3 5 = b - c ⇒ b = 11 6 = c

v β = - 3 11 6

Letra c)

Como ( 1 , - 1,1 ) é o terceiro vetor da base, então suas coordenadas na base β serão:

v β = 0 0 1

Resposta

  1. v β = - 2 1 4
  2. v β = - 3 11 6
  3. v β = 0 0 1

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 95 – Ex. 58

O conjunto β = { 2 , - 1 , - 3,2 } é uma base do R 2 . Escreva o vetor genérico do R 2 como combinação linear de β .

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Passo 1

Caramba! O que ele quis dizer com o vetor genérico do R 2 ??? É um vetor genérico de duas coordenadas, ué. Sendo assim, seria o vetor x , y , x , y ∈ R . Agora que já sabemos quem é nosso vetor, é só montar a nossa combinação linear.

x , y = a 2 , - 1 + b - 3,2 ⇒

x = 2 a - 3 b ⇒ x = 4 b - 2 y - 3 b ⇒ x = b - 2 y ⇒ b = x + 2 y y = - a + 2 b ⇒ a = 2 b - y ⇒ a = 2 x + 4 y - y ⇒ a = 2 x + 3 y

Pô mas esses resultados deram em função de x , y ! Era de se esperar que isso acontecesse! É só pensar que x , y seriam coordenadas de um vetor qualquer. E num vetor qualquer teríamos que achar a , b em função de suas coordenadas, não é mesmo?

Assim, as coordenadas do vetores genérico são:

x , y β = 2 x + 3 y x + 2 y

Resposta

x , y β = 2 x + 3 y x + 2 y

Exercício Resolvido #3

Lista 2 para a p1, bases e coordenadas, questão 2, 2015.2, PUC-rio.
  1. Existe alguma base β de R 2 tal que, 2,1 β = 0 1 ?
  2. É possível encontrar uma segunda base β ' ≠ β também satisfazendo 2,1 β = 0 1 ?
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Passo 1

Letra a)

Bom, vamos definir uma base para o R 2 , sendo β = { v 1 ,   v 2 } . Sabendo que o vetor ( 2,1 ) está escrito nas coordenadas da base β , então:

2,1 = 0 v 1 + 1 v 2

Com isso, podemos perceber que o vetor ( 2,1 ) será sempre o segundo vetor da base que escolhermos, QUALQUER QUE SEJA o primeiro vetor da base, pois ele sempre multiplica o 0 .

Assim, uma possível base é:

β = 1,0 ,   2,1