Coordenadas do Vetor em Relação à Base

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Teoria

Bem vindo ao RespondeAí! Seu guia mais completo de matérias de exatas! E hoje a gente vai conversar sobre Coordenadas do Vetor em Relação à Base!

Você sabia que podemos escrever um vetor usando diferentes bases?!

-Mas como assim?

Pra ficar mais claro, vamos ver um exemplo! Considere o seguinte vetor:

Podemos escrever esse vetor usando a base :

Mas, como encontrar as coordenadas de um vetor em relação a base ?

Antes de qualquer coisa, vale reparar que tanto o vetor, quanto a base pertencem ao . Isso é muito importante!

Agora escrevemos o vetor usando uma combinação linear dos vetores da base:

Então ficamos com:

Só achamos uma solução para cada coeficiente na resolução do sistema! Por isso, podemos ver que há apenas uma única escolha de coeficientes de uma base, que geram um único vetor!

Agora, substituímos os coeficientes descobertos acima:

E prontinho!

Teorema

Se é uma base do espaço vetorial e , então a combinação linear que faz com que:

é a única. Ou seja, os coeficientes são únicos para a base que gera .

Obs.: Uma coisa interessante que de vez em quando aparece em provas é a igualdade de vetores em bases diferentes! Nós temos o seguinte:

  • O mesmo vetor pode ter representações iguais ou diferentes em bases diferentes.
  • Dois vetores distintos podem ter a mesma representação em bases distintas. Assim como podem não ter :p
  • Dois vetores distintos nunca terão a mesma representação numa mesma base!

Agora que já vimos isso, vamos aprender a escrever um vetor nas coordenadas de uma base!

Escrevendo um Vetor nas Coordenadas de uma Base

Seja uma base de e . Sejam também os coeficientes tais que . Estes coeficientes são chamados de coordenadas de na base .

Notação:

Notação do vetor em relação a base
Notação do vetor em relação a base

Basicamente, a partir dessa notação, o vetor  é “o primeiro elemento dessa matriz coluna multiplicado pelo primeiro vetor da base; somado ao segundo elemento dessa coluna multiplicado pelo segundo vetor da base, e assim por diante...”

Ou seja:

Obs: Veja que é por isso que as bases são conjuntos ordenados.

Exemplo:

Vamos voltar no exemplo anterior, as coordenadas de  na base  são:

Se definirmos uma outra base  com os mesmos vetores, porém com a ordem trocada:

As coordenadas de  na base  agora serão:

Base canônica:

Agora se escolhermos essa base canônica aqui:

Então:

Podemos ver que os coeficientes dessa base são EXATAMENTE as coordenadas do nosso vetor! A mesma coisa ocorreu com o nosso primeiro exemplo, mas dessa vez não precisamos efetuar contas! 😉

Mas afinal, o que é uma base canônica?!

Chamamos a base  , do exemplo acima, de base canônica.

Quando um espaço vetorial é formado por uma base canônica, os coeficientes nessa base são as próprias coordenadas do elemento. Isso acontece com vetores, matrizes e polinômios. Sempre quando for essa base, você consegue calcular de forma rápida e de cabeça sem efetuar contas!

Normalmente denotamos essas bases com a letra grega épsilon . Aqui vão alguns exemplos de base canônica:

Do :

Do conjunto das matrizes :

Matriz canônica
Matriz canônica

Dos polinômios de :

Obs.: Se temos um vetor escrito em alguma base dada, podemos achar o vetor escrito na base canônica apenas aplicando ele à base!

Exemplo:

Considere o seguinte vetor na base :

Escrevendo a combinação linear:

Simples assim!

Outro fato importante é quando escrevemos um vetor já pertencente à base nas coordenadas dessa base. Se liga na base:

Se tentarmos escrever o vetor  nas coordenadas da base , teremos:

Observe que a primeira coordenada deu  e o resto !! Por que isso? Porque o vetor que escolhemos era o primeiro vetor da base   Se fosse o segundo teríamos encontrado e ! E isso vale sempre!

Desse modo, se temos uma base

Então:

Vetores
Vetores

Ficou com alguma dúvida? Confere então esse conteúdo em vídeo que eu separei pra você! 👇

Agora, vamos pros exercícios para tudo ficar bem “dimensionado” na sua mente, hehe!

Teorema

Escrevendo um Vetor nas Coordenadas de uma Base

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

No espaço vetorial de R 3 , consideraremos a seguinte base β = { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 1 , - 1,1 } . Determinar as coordenadas de v ∈ R 3 em relação à base β se:

  1. v = 2 , - 3,4
  2. v = 3,5 , 6
  3. v = ( 1 , - 1,1 )

Passo 1

Letra a)

Vamos fazer a C L com os vetores da base:

2 , - 3,4 = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 1 , - 1,1 ⇒

2 = a + c ⇒ 2 = a + 4 ⇒ a = - 2 - 3 = b - c ⇒ - 3 = b - 4 ⇒ b = 1 4 = c

v β = - 2 1 4

Letra b)

3,5 , 6 = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 1 , - 1,1 ⇒

3 = a + c ⇒ a = - 3 5 = b - c ⇒ b = 11 6 = c

v β = - 3 11 6

Letra c)

Como ( 1 , - 1,1 ) é o terceiro vetor da base, então suas coordenadas na base β serão:

v β = 0 0 1

Resposta

  1. v β = - 2 1 4
  2. v β = - 3 11 6
  3. v β = 0 0 1

Exercício Resolvido #2

O conjunto β = { 2 , - 1 , - 3,2 } é uma base do R 2 . Escreva o vetor genérico do R 2 como combinação linear de β .

Passo 1

Caramba! O que ele quis dizer com o vetor genérico do R 2 ??? É um vetor genérico de duas coordenadas, ué. Sendo assim, seria o vetor x , y , x , y ∈ R . Agora que já sabemos quem é nosso vetor, é só montar a nossa combinação linear.

x , y = a 2 , - 1 + b - 3,2 ⇒

x = 2 a - 3 b ⇒ x = 4 b - 2 y - 3 b ⇒ x = b - 2 y ⇒ b = x + 2 y y = - a + 2 b ⇒ a = 2 b - y ⇒ a = 2 x + 4 y - y ⇒ a = 2 x + 3 y

Pô mas esses resultados deram em função de x , y ! Era de se esperar que isso acontecesse! É só pensar que x , y seriam coordenadas de um vetor qualquer. E num vetor qualquer teríamos que achar a , b em função de suas coordenadas, não é mesmo?

Assim, as coordenadas do vetores genérico são:

x , y β = 2 x + 3 y x + 2 y

Resposta

x , y β = 2 x + 3 y x + 2 y

Exercício Resolvido #3

  1. Existe alguma base β de R 2 tal que, 2,1 β = 0 1 ?
  2. É possível encontrar uma segunda base β ' ≠ β também satisfazendo 2,1 β = 0 1 ?

Passo 1

Letra a)

Bom, vamos definir uma base para o R 2 , sendo β = { v 1 ,   v 2 } . Sabendo que o vetor ( 2,1 ) está escrito nas coordenadas da base β , então:

2,1 = 0 v 1 + 1 v 2

Com isso, podemos perceber que o vetor ( 2,1 ) será sempre o segundo vetor da base que escolhermos, QUALQUER QUE SEJA o primeiro vetor da base, pois ele sempre multiplica o 0 .

Assim, uma possível base é:

β = 1,0 ,   2,1

Só não podemos esquecer que β é uma base! Então v 1 não pode ser múltiplo de v 2 , nem ser o vetor nulo, ou seja, v 1 não pode ser múltiplo de 2,1 e nem ser 0,0 !

Passo 2

Letra b)

Sabendo como se resolve a letra ( a ) , fica fácil a letra ( b ) ! Nós vimos que como o 0 multiplica o primeiro vetor da base que escolhemos, podemos pegar qualquer valor para o primeiro vetor dessa base, que ainda vamos satisfazer a condição dada. Observe que ele deu apenas uma condição.

Portanto um outra base β ' é:

β ' = 0,1 ,   2,1

Resposta

  1. β = 1,0 ,   2,1
  2. β ' = 0,1 ,   2,1

Exercício Resolvido #4

Seja β = u ,   v ,   w uma base do R 3 . Mostre que se u ' ,   v ' ,   w ' ∈ R 3 são tais que

u ' β = 1 1 0 ,   v ' β = 0 1 1 ,   w ' β = 1 0 1 ,

então { u ' ,   v ' ,   w ' } é uma base de R 3 .

Passo 1

Para começar vamos separar nosso problema em hipótese e tese:

Hipóteses: β = u ,   v ,   w é uma base do R 3 e u ' β = 1 1 0 ,   v ' β = 0 1 1 ,   w ' β = 1 0 1 .

Tese: { u ' ,   v ' ,   w ' } é uma base de R 3 .

Passo 2

Se { u ' ,   v ' ,   w ' } é uma base de R 3 é a nossa tese, então o que queremos saber é se { u ' ,   v ' ,   w ' } é L I e que s p a n u ' ,   v ' ,   w ' = R 3 . Vamos provar primeiro que eles são L I , pois a segunda parte da nossa tese é uma consequência da primeira.

Para começar, vamos ajeitar a nossa hipótese:

u ' = 1 u + 1 v + 0 w v ' = 0 u + 1 v + 1 w w ' = 1 u + 0 v + 1 w

Passo 3

Agora vamos equacionar a nossa tese; mais especificamente, se { u ' ,   v ' ,   w ' } é L I :

a u ' + b v ' + c w ' = 0

Por hipótese, sabemos quem é u ' ,   v ' ,   w ' em função de u ,   v , w . Assim, ao aplicarmos nossa hipótese:

a u + v + b v + w + c u + w = 0 ⇒

a u + a v + b v + b w + c u + c w = 0 ⇒

a + c u + a + b v + b + c w = 0

Passo 4

Como sabemos que o conjunto u ,   v ,   w é uma base, ele é L I também, por definição. Assim, podemos igualar seus coeficientes a zero na equação acima:

a + c = 0 ⇒ a = - c a + b = 0 ⇒ - c + b = 0 ⇒ b = c b + c = 0 ⇒ b + b = 0 ⇒ 2 b = 0 ∴ b = 0

Assim, podemos ver que:

c = 0

a = 0

Portanto, nosso conjunto { u ' ,   v ' ,   w ' } é L I também.

Passo 5

Agora falta provar que s p a n u ' ,   v ' ,   w ' = R 3 . Entretanto, como β = u ,   v ,   w é uma base do R 3 , sabemos que u , v , w ∈ R 3 . E como u ' ,   v ' ,   w ' pode ser escrito como uma C L de u , v , w , eles também pertencem ao R 3 . Assim, podemos concluir que { u ' ,   v ' ,   w ' } é um conjunto de vetores de 3 coordenadas, pertencem ao R 3 , e L I ; portanto, s p a n u ' ,   v ' ,   w ' = R 3 .

Observe que não basta falar que os vetores são simplesmente L I , porque não sabemos em que espaço se situam ( R 3 ,   R 4 , . . . ) Como os vetores são genéricos, não sabemos quantas coordenadas possuem, então poderiam ser 3 vetores L I do R 4 , que não gera o R 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #5

Seja V um espaço vetorial e α e β duas bases distintas de V .

Sejam v → e w → dois vetores distintos de V .

Denotamos as coordenadas de v → em relação à base α por v → α .

Podemos sempre afirmar que:

a   v → α ≠ v → β

b   v → α ≠ w → β

c   v → α ≠ w → α

d   v → β ≠ w → α

Passo 1

Será que a ( a ) é verdade?

Vou te mostrar um contraexemplo e você vai ver que não.

Por exemplo, olha o vetor v → = ( 2 ,   2 ) escrito na base canônica α = { i ^ ,   j ^ } :

2 ,   2 = 2 i ^ + 2 j ^ = 2 1 ,   0 + 2 ( 0 ,   1 )

O mesmo vetor escrito na base β = 1 2 ,   1 ,   1 2 ,   0 fica:

2 ,   2 = 2 1 2 ,   1 + 2 1 2 ,   0

Afinal:

2 ,   2 = ( 2 ∙ 1 2 + 2 ∙ 1 2 ,   2 ∙ 1 + 2 ∙ 0 )

Então o mesmo vetor escrito nas duas bases tem os coeficientes ( 2 ,   2 ) .

Então não podemos afirmar que um vetor é diferente só porque está escrito em bases diferentes.

Passo 2

Essa ( b ) é bem tranquila. Um vetor v → numa base sempre pode ser escrito como um vetor w → em outra base.

Olha só:

v → = ( 1 ,   1 )

w → = ( 2 ,   2 )

α = { i ^ ,   j ^ }

β = 1 2 ,   0 ,   0 , 1 2

O vetor v → escrito na base canônica é ( 1 ,   1 ) , assim como o vetor w → escrito na base canônica é ( 2 ,   2 ) .

Mas se escrevemos o v → na base β , temos v → = ( 1 ,   1 ) = 2 1 2 ,   0 + 2 0 , 1 2 = 2 ,   2 β .

Ou seja, o vetor ( 1 ,   1 ) tem coeficientes ( 2 ,   2 ) na base β .

Então v → α = w → β , e a ( b ) é falsa.

Passo 3

A letra ( c ) diz que dois vetores não podem ser escritos do mesmo jeito se estiverem na mesma base. E é verdade!

Afinal, se temos uma base β = { u → ,   v → } , por exemplo, só existe um vetor que seja igual a:

a u → + b v →

Esse vetor é o a ,   b escrito na base β .

Nem teria sentido falar em a ,   b β se existisse mais de um vetor que pudesse ser escrito assim.

Esse vetor é único.

Passo 4

Pô, a ( d ) é quase cópia da ( b ) .

Eu inclusive vou usar o mesmo exemplo, só trocando quem é v → e quem é w → .

v → = ( 2 ,   2 )

w → = ( 1 ,   1 )

α = { i ^ ,   j ^ }

β = 1 2 ,   0 ,   0 , 1 2

O vetor v → escrito na base canônica é ( 2 ,   2 ) , assim como o vetor w → escrito na base canônica é ( 1 ,   1 ) .

Mas se escrevemos o w → na base β , temos w → = 1 ,   1 α = 2 1 2 ,   0 + 2 0 , 1 2 = 2 ,   2 β .

Ou seja, o vetor ( 1 ,   1 ) tem coeficientes ( 2 ,   2 ) na base β .

Então w → α = v → β (logo a ( d ) é falsa).

Resposta

Letra ( c )

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