Teoria Completa
Introdução
Aqui está um conceito muito importante e que será muito usado posteriormente! Então preste muita atenção!
Lembra que na definição de base, o conjunto deveria ser ordenado?? Então, isso se deve à matéria que vamos ver agora. Se, por exemplo, temos uma base :
Sabemos que essa é uma possível base do , logo qualquer vetor do pode ser escrito como combinação linear desses vetores aí. Vamos pegar, por exemplo, o vetor:
Vamos escrevê-lo como uma combinação linear dos vetores da base:
Então, se quisermos gerar o vetor com essa base aí, temos que pegar os coeficientes descobertos acima:
Quando a gente resolveu o sistema, só achamos uma solução para cada coeficiente! Por isso, podemos ver que há apenas uma única escolha de coeficientes de uma base, que geram um único vetor!
Obs.: Uma coisa interessante que de vez em quando aparece em provas é a igualdade de vetores em bases diferentes! Nós temos o seguinte:
- O mesmo vetor pode ter representações iguais ou diferentes em bases diferentes.
- Dois vetores distintos podem ter a mesma representação em bases distintas. Assim como podem não ter :p
- Dois vetores distintos nunca terão a mesma representação numa mesma base!
Agora que já vimos isso, vamos aprender a escrever um vetor nas coordenadas de uma base!
Escrevendo um Vetor nas Coordenadas de uma Base
Basicamente, a partir dessa notação, o vetor é “o primeiro elemento dessa matriz coluna multiplicado pelo primeiro vetor da base; somado ao segundo elemento dessa coluna multiplicado pelo segundo vetor da base, e assim por diante...”
Ou seja...:
Obs: Veja que é por isso que as bases são conjuntos ordenados. No exemplo anterior, as coordenadas de na base são:
Mas se, por exemplo, definirmos uma outra base com os mesmos vetores, porém com a ordem trocada:
As coordenadas de na base agora serão:
Agora se escolhermos essa base aqui:
Então
Podemos ver que os coeficientes dessa base são EXATAMENTE as coordenadas do nosso vetor! A mesma coisa ocorreu com o nosso primeiro exemplo, mas dessa vez não precisamos efetuar contas!
Isso acontece porque chamamos a base de base canônica. Quando um espaço vetorial é formado por uma base canônica, os coeficientes nessa base são as próprias coordenadas do elemento. Isso acontece com vetores, matrizes e polinômios. Sempre quando for essa base, você consegue calcular de forma rápida e de cabeça sem efetuar contas!
Normalmente denotamos essas bases com a letra grega épsilon (). Aqui vão alguns exemplos de base canônica:
Do :
Do conjunto das matrizes :
Dos polinômios de :
Obs.: Se temos um vetor escrito em alguma base dada, podemos achar o vetor escrito na base canônica apenas aplicando ele à base. Por exemplo:
Simples assim!
Outro fato importante é quando escrevemos um vetor já pertencente à base nas coordenadas dessa base. Se liga na base:
Se tentarmos escrever o vetor nas coordenadas da base , teremos:
Observe que a primeira coordenada deu e o resto !! Por que isso? Porque o vetor que escolhemos era o primeiro vetor da base . Se fosse o segundo teríamos encontrado e ! E isso vale sempre!
Desse modo, se temos uma base
Então:
Agora, vamos pros exercícios para tudo ficar bem “dimensionado” na sua mente, hehe!
Exercício Resolvido #1
No espaço vetorial de , consideraremos a seguinte base . Determinar as coordenadas de em relação à base se:
Passo 1
Letra a)
Vamos fazer a com os vetores da base:
Letra b)
Letra c)
Como é o terceiro vetor da base, então suas coordenadas na base serão:
Resposta
Exercício Resolvido #2
O conjunto é uma base do . Escreva o vetor genérico do como combinação linear de .
Passo 1
Caramba! O que ele quis dizer com o vetor genérico do ??? É um vetor genérico de duas coordenadas, ué. Sendo assim, seria o vetor . Agora que já sabemos quem é nosso vetor, é só montar a nossa combinação linear.
Pô mas esses resultados deram em função de ! Era de se esperar que isso acontecesse! É só pensar que seriam coordenadas de um vetor qualquer. E num vetor qualquer teríamos que achar em função de suas coordenadas, não é mesmo?
Assim, as coordenadas do vetores genérico são:
Resposta
Exercício Resolvido #3
- Existe alguma base de tal que, ?
- É possível encontrar uma segunda base também satisfazendo ?
Passo 1
Letra a)
Bom, vamos definir uma base para o , sendo . Sabendo que o vetor está escrito nas coordenadas da base , então:
Com isso, podemos perceber que o vetor será sempre o segundo vetor da base que escolhermos, QUALQUER QUE SEJA o primeiro vetor da base, pois ele sempre multiplica o .
Assim, uma possível base é:
Só não podemos esquecer que é uma base! Então não pode ser múltiplo de , nem ser o vetor nulo, ou seja, não pode ser múltiplo de e nem ser !
Passo 2
Letra b)
Sabendo como se resolve a letra , fica fácil a letra ! Nós vimos que como o multiplica o primeiro vetor da base que escolhemos, podemos pegar qualquer valor para o primeiro vetor dessa base, que ainda vamos satisfazer a condição dada. Observe que ele deu apenas uma condição.
Portanto um outra base é:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Seja uma base do . Mostre que se são tais que
então é uma base de .
Passo 1
Para começar vamos separar nosso problema em hipótese e tese:
Hipóteses: é uma base do e .
Tese: é uma base de .
Passo 2
Se é uma base de é a nossa tese, então o que queremos saber é se é e que . Vamos provar primeiro que eles são , pois a segunda parte da nossa tese é uma consequência da primeira.
Para começar, vamos ajeitar a nossa hipótese:
Passo 3
Agora vamos equacionar a nossa tese; mais especificamente, se é :
Por hipótese, sabemos quem é em função de . Assim, ao aplicarmos nossa hipótese:
Passo 4
Como sabemos que o conjunto é uma base, ele é também, por definição. Assim, podemos igualar seus coeficientes a zero na equação acima:
Assim, podemos ver que:
Portanto, nosso conjunto é também.
Passo 5
Agora falta provar que . Entretanto, como é uma base do , sabemos que . E como pode ser escrito como uma de , eles também pertencem ao . Assim, podemos concluir que é um conjunto de vetores de 3 coordenadas, pertencem ao , e ; portanto, .
Observe que não basta falar que os vetores são simplesmente , porque não sabemos em que espaço se situam () Como os vetores são genéricos, não sabemos quantas coordenadas possuem, então poderiam ser 3 vetores do , que não gera o .
Resposta
Exercício Resolvido #5
Seja um espaço vetorial e e duas bases distintas de .
Sejam e dois vetores distintos de .
Denotamos as coordenadas de em relação à base por .
Podemos sempre afirmar que:
Passo 1
Será que a é verdade?
Vou te mostrar um contraexemplo e você vai ver que não.
Por exemplo, olha o vetor escrito na base canônica :
O mesmo vetor escrito na base fica:
Afinal:
Então o mesmo vetor escrito nas duas bases tem os coeficientes .
Então não podemos afirmar que um vetor é diferente só porque está escrito em bases diferentes.
Passo 2
Essa é bem tranquila. Um vetor numa base sempre pode ser escrito como um vetor em outra base.
Olha só:
O vetor escrito na base canônica é , assim como o vetor escrito na base canônica é .
Mas se escrevemos o na base , temos .
Ou seja, o vetor tem coeficientes na base .
Então , e a é falsa.
Passo 3
A letra diz que dois vetores não podem ser escritos do mesmo jeito se estiverem na mesma base. E é verdade!
Afinal, se temos uma base , por exemplo, só existe um vetor que seja igual a:
Esse vetor é o escrito na base .
Nem teria sentido falar em se existisse mais de um vetor que pudesse ser escrito assim.
Esse vetor é único.
Passo 4
Pô, a é quase cópia da .
Eu inclusive vou usar o mesmo exemplo, só trocando quem é e quem é .
O vetor escrito na base canônica é , assim como o vetor escrito na base canônica é .
Mas se escrevemos o na base , temos .
Ou seja, o vetor tem coeficientes na base .
Então (logo a é falsa).
Resposta
Letra