Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

Teoria Completa

União de Subespaços Vetoriais

Eaí, se fizermos a união de dois subespaços, ainda teremos um subespaço?

Bom, primeiro temos que lembrar qual a definição de união de conjuntos né haha. Se liga:

A ∪ B = { x | x ∈ A   o u   x ∈ B }

Opa, então para algum elemento pertencer à união de dois conjuntos basta ele pertencer a um dos conjuntos, é isso? Exatamente!

Então voltamos a pergunta, essa união é um subespaço?

E agora que vem o pulo do gato. Se pegarmos um vetor w ∈ W e outro vetor h ∈ H , com H e W subespaços vetoriais.

Sabemos, pelo que eu falei ali em cima, que w ∈ ( W ∪ H ) , assim como h ∈ ( W ∪ H ) . Se ( W ∪ H ) for um subespaço vetorial, então ele deve ser fechado para soma, lembra? Logo, w + h ∈ ( W ∪ H ) , concorda?

Bom, se H ⊄ W e W ⊄ H , isso é mentira! Não conseguiu visualizar? Olha essa figura:

Nessa imagem temos W como uma reta que não pertence ao plano H . Portanto, H ⊄ W e W ⊄ H .

E, como podemos ver, sob essas condições, H ∪ W não é um subespaço vetorial, pois não está fechado para a soma. O vetor w + h claramente não pertence à W nem à H .

Mas, por exemplo, se a reta W estivesse contida no plano H , teríamos ( W ⊂ H ) . Logo, W ∪ H seria um subespaço!

Tente imaginar a reta W contida inteiramente do plano. Assim, todos os vetores da reta estariam no plano. Ao somarmos um vetor de H (do plano) com um vetor de W (que faz parte do plano) obteríamos um vetor que também estaria no plano!

Perceba, então, que depende da ocasião. Não podemos generalizar se H ∪ W é subespaço vetorial. Ele será um subespaço se H ⊂ W ou W ⊂ H .

Soma de Subespaços Vetoriais

Beleza, e a soma de subespaços? Gerará um subespaço vetorial? Não? Ou não podemos afirmar nada? Bom, primeiro temos que entender o que é a soma de subespaços!

Primeira coisa que vocês têm que por na cabeça é que não tem nada a ver com união! É bem comum confundir as duas e até achar que significam a mesma coisa, mas vocês nunca vão cometer esse erro, porque foram avisados haha.

Quando nós somamos dois conjuntos W e H , nós somamos todos os elementos de W , com todos os elementos de H ! Ou seja:

W + H = { y | y = x 1 + x 2 , x 1 ∈ H , x 2 ∈ W }

Então ela não é mais H ou W , mas a combinação linear de todos os elementos desses subespaços.

Opa, então podemos escrever a soma de dois conjuntos como o conjunto gerado pela junção dos geradores dos dois conjuntos.

Mas em?

Calma, deixa eu explicar melhor. Por exemplo, se H = 〈 v 1 , v 2 〉 e W = v 3 , então H + W = 〈 v 1 , v 2 , v 3 〉 . Sacou?

No caso da figura lá de cima, W é um reta do R 3 , e H é um plano do R 3 . Logo, W + H = R 3 !! Se liga:

Obs: Vale lembrar que nesse caso W + H = R 3 porque W ⊄ H e H ⊄ W ! Se, por exemplo, a reta W estivesse contida no plano H , teríamos que W + H = H , beleza?

Na figura acima, fica claro que h + w está contido em H + W ! E isso não foi coincidência, é algo que sempre vai acontecer! Se H e W são subespaços de V , então H + W também será subespaço vetorial de V .

Base da Soma de Subespaços

Bom, acabamos de ver que a soma de dois subespaços sempre será um subespaço. Sendo assim, seria interessante se soubéssemos como achar a base dessa soma não acham? E na verdade é bem simples! Lembrando do que eu falei agora pouco:

“Se H = 〈 v 1 , v 2 〉 e W = v 3 , então H + W = 〈 v 1 , v 2 , v 3 〉 .”

Opa, se v 1 , v 2 , v 3 é um gerador de H + W , então para acharmos uma base basta tirarmos os elementos L D do meio!

E fim de papo galera.

Interseção de Subespaço Vetorial

Já aprendemos a unir e a somar subespaços. Agora só falta interseção né galera? Bom, vamos ver como fica.

A primeira coisa que temos que ver é como escrever a interseção A ∩ B de dois conjuntos:

Esse novo conjunto é formado por todos os elementos do espaço onde está contido que satisfazem as duas condições ao mesmo tempo.

Lembra que na união de conjuntos era necessário satisfazer pelo menos uma delas? Então, na interseção ele tem que satisfazer ambas. Bem intuitivo né? Ficaria algo assim:

A ∩ B = x x ∈ A   e   x ∈ B }

Agora que já sabemos achar a interseção, temos aquela pergunta clássica, a interseção de dois subespaços também é um subespaço vetorial?

Vamos ver esses conjuntos aqui embaixo:

H = x , y , z , w ∈ R 4 t 1,2 , 0,0 + s 2,1 , 0,1 ,   t , s ∈ R }

W = x , y , z , w ∈ R 4 x + y + z + w = 0 }

Será que a interseção desses dois subespaços do R 4 também é subespaço do R 4 ?

Vamos por passos:

Passo 1: Pra podermos definir bem o subconjunto gerado pela interseção dos subespaços precisamos das condições deles. A do W ta fácil:

x + y + z + w = 0

Mas e a do H ? Do jeito que tá, tá complicado de ver né. Bom, vamos passar para a forma cartesiana então:

t 1,2 , 0,0 + s 2,1 , 0,1 = ( t + 2 s , 2 t + s , 0 , s )

Portanto, temos o sistema:

x = t + 2 s y = 2 t + s z = 0 w = s     ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )

De ( 1 ) temos:

t = x - 2 s   5

Substituindo 4 e 5 em 2 :

y = 2 x - 4 w + w

Beleza, agora temos as condições dos dois conjuntos:

H :   y = 2 x - 3 w z = 0

W : x + y + z + w = 0

Passo 2: Agora vamos ver qual o conjunto de vetores que satisfaz ambas as condições ao mesmo tempo. Para isso, é só montarmos um sistema com as 3 equações que temos:

y = 2 x - 3 w z = 0 x + y + z + w = 0

Substituindo as duas primeiras equações na última, obtemos:

x + 2 x - 3 w + 0 + w = 0

3 x - 2 w = 0

x = 2 w 3

Passo 3: Assim, podemos concluir que:

x = 2 w 3

y = 2 2 w 3 - 3 w ∴ y = - 5 w 3

z = 0

w = w

Opa, então os vetores que pertencem a H ∩ W tem essa cara:

2 w 3 , - 5 w 3 , 0 , w = w 2 3 , - 5 3 , 0,1

Portanto, H ∩ W = s p a n 2 3 , - 5 3 , 0,1

Caraca, então conseguimos escrever a interseção como um s p a n ! Logo, este conjunto �� um subespaço vetorial (lembre-se do teorema)!

Pera, então pegamos dois conjuntos que eram subespaços vetoriais e sua interseção deu também um subespaço! Será que isso sempre acontece? De fato, sim, e isso nos leva a mais um teorema:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 86 – Fix 3.13.

Considere V e W planos distintos contendo a origem em R 3 . Determine V + W :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro, podemos escrever uma base para V e W :

V = v 1 , v 2 ; W = 〈 v 3 , v 4 〉

Onde v 1 , v 2 ∈ V e v 3 , v 4 ∈ W .

Passo 2

Ta, e agora? Bom, que tal tentarmos visualizar o que está acontecendo? Toma uma imagem pra ajudar:

Bom, temos dois planos V e W distintos do R 3 , e ambos esses planos contém a origem.

A primeira e mais importante coisa que temos que notar é que, quaisquer dois planos distintos no R 3 que contenham a origem terão sempre uma reta como interseção!

Isso, por sua vez, quer dizer que suas bases poderão ter um vetor em comum, que seria qualquer vetor sobre essa reta!

Sendo assim, podemos dizer que:

v 1 = v 4

Com isso, os planos podem ser escritos como:

V = v 1 , v 2 ; W = 〈 v 1 , v 3 〉

Onde