União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

Teoria Completa

União de Subespaços Vetoriais

Eaí, se fizermos a união de dois subespaços, ainda teremos um subespaço?

Bom, primeiro temos que lembrar qual a definição de união de conjuntos né haha. Se liga:

A ∪ B = { x | x ∈ A   o u   x ∈ B }

Opa, traduzindo o matematiquês teríamos: O conjunto A união com B e compostos por elementos que pertencem a A ou a B. Então para algum elemento pertencer à união de dois conjuntos basta ele pertencer a um dos conjuntos, é isso? Exatamente!

Então voltamos a pergunta, essa união é um subespaço?

E agora que vem o pulo do gato. Se pegarmos um vetor w ∈ W e outro vetor h ∈ H , com H e W subespaços vetoriais.

Pelo que eu falei ali em cima, como   w ∈ W então w ∈ ( W ∪ H ) , do mesmo jeito, já que h ∈ H então h ∈ ( W ∪ H ) . Se ( W ∪ H ) for um subespaço vetorial, então ele deve ser fechado para soma, lembra? Logo, w + h ∈ ( W ∪ H ) , concorda?

Bom, se H ⊄ W e W ⊄ H , então w + h   n ã o   p e r t e n c e   a   ( W ∪ H ) Não conseguiu visualizar?

Imagine que o subespaço H fosse um plano e W uma reta que atravessa esse plano. Portanto, H ⊄ W e W ⊄ H :

Vamos acrescentar os vetores w ∈ W e h ∈ H

Queremos analisar a soma desses vetores pois para ( W ∪ H ) ser um espaço vetorial, então w + h tem que pertencer a ( W ∪ H ) .

E, como podemos ver, sob essas condições, H ∪ W não é um subespaço vetorial, pois não está fechado para a soma. O vetor w + h claramente não pertence à W nem à H .

Mas, por exemplo, se a reta W estivesse contida no plano H , teríamos ( W ⊂ H ) . Logo, W ∪ H seria um subespaço!

Tente imaginar a reta W contida inteiramente do plano. Assim, todos os vetores da reta estariam no plano. Ao somarmos um vetor de H (do plano) com um vetor de W (que faz parte do plano) obteríamos um vetor que também estaria no plano!

Perceba, então, que depende da ocasião. Não podemos generalizar se H ∪ W é subespaço vetorial. Ele será um subespaço se H ⊂ W ou W ⊂ H .

Soma de Subespaços Vetoriais

Beleza, e a soma de subespaços? Gerará um subespaço vetorial? Não? Ou não podemos afirmar nada? Bom, primeiro temos que entender o que é a soma de subespaços!

Primeira coisa que vocês têm que por na cabeça é que não tem nada a ver com união! É bem comum confundir as duas e até achar que significam a mesma coisa, mas vocês nunca vão cometer esse erro, porque foram avisados haha.

Quando nós somamos dois conjuntos W e H , nós somamos todos os elementos de W , com todos os elementos de H ! Ou seja:

W + H = { y | y = x 1 + x 2 , x 1 ∈ H , x 2 ∈ W }

Novamente traduzindo o matematiquês, significa que o conjunto formado pela soma de W e H é formado pelos elementos y tal que y = x 1 + x 2 sendo que x 1 pertence a H e x 2 pertence a W. Então os elementos de W + H não são mais elementos de H ou W , mas a combinação linear de todos os elementos desses subespaços.

Opa, então podemos escrever a soma de dois conjuntos como o conjunto gerado pela junção dos geradores dos dois conjuntos.

Mas em?

Calma, deixa eu explicar melhor. Por exemplo, se H = 〈 v 1 , v 2 〉 e W = 〈 v 3 〉 , então H + W = 〈 v 1 , v 2 , v 3 〉 . Sacou?

No caso da figura lá de cima, W é um reta do R 3 , e H é um plano do R 3 . Logo, W + H = R 3 !! Se liga:

Obs: Vale lembrar que nesse caso W + H = R 3 porque W ⊄ H e H ⊄ W ! Se, por exemplo, a reta W estivesse contida no plano H , teríamos que W + H = H , beleza?

Na figura acima, fica claro que h + w está contido em H + W ! E isso não foi coincidência, é algo que sempre vai acontecer! Se H e W são subespaços de V , então H + W também será subespaço vetorial de V .

Base da Soma de Subespaços

Bom, acabamos de ver que a soma de dois subespaços sempre será um subespaço. Sendo assim, seria interessante se soubéssemos como achar a base dessa soma não acham? E na verdade é bem simples! Lembrando do que eu falei agora pouco:

“Se H = 〈 v 1 , v 2 〉 e W = 〈 v 3 〉 , então H + W = 〈 v 1 , v 2 , v 3 〉 .”

Opa, se 〈 v 1 , v 2 , v 3 〉 é um gerador de H + W , então para acharmos uma base basta tirarmos os elementos L D do meio!

E fim de papo galera.

Interseção de Subespaço Vetorial

Já aprendemos a unir e a somar subespaços. Agora só falta interseção né galera? Bom, vamos ver como fica.

A primeira coisa que temos que ver é como escrever a interseção A ∩ B de dois conjuntos:

Esse novo conjunto é formado por todos os elementos do espaço onde está contido que satisfazem as duas condições ao mesmo tempo.

Lembra que na união de conjuntos era necessário satisfazer pelo menos uma delas? Então, na interseção ele tem que satisfazer ambas. Bem intuitivo né? Ficaria algo assim:

A ∩ B = { x | x ∈ A   e   x ∈ B }

Momento tradução: O conjunto A intersecção com B é formado pelos elementos x tal que x pertence a A e também pertencem a B

Agora que já sabemos achar a interseção, temos aquela pergunta clássica, a interseção de dois subespaços também é um subespaço vetorial?

Vamos ver esses conjuntos aqui embaixo:

H = { x , y , z , w ∈ R 4 | t 1,2 , 0,0 + s 2,1 , 0,1 ,   t , s ∈ R }

W = { x , y , z , w ∈ R 4 | x + y + z + w = 0 }

Será que a interseção desses dois subespaços do R 4 também é subespaço do R 4 ?

Vamos por passos:

Passo 1: Pra podermos definir bem o subconjunto gerado pela interseção dos subespaços precisamos das condições deles. A do W ta fácil:

x + y + z + w = 0

Mas e a do H ? Do jeito que tá, tá complicado de ver né. Bom, vamos passar para a forma cartesiana então:

t 1,2 , 0,0 + s 2,1 , 0,1 = ( t + 2 s , 2 t + s , 0 , s )

Portanto, temos o sistema:

De ( 1 ) temos:

t = x - 2 s   5

Substituindo 4 e 5 em 2 :

y = 2 x - 4 w + w

Beleza, agora temos as condições dos dois conjuntos:

Passo 2: Agora vamos ver qual o conjunto de vetores que satisfaz ambas as condições ao mesmo tempo. Para isso, é só montarmos um sistema com as 3 equações que temos:

Substituindo as duas primeiras equações na última, obtemos:

x + 2 x - 3 w + 0 + w = 0

3 x - 2 w = 0

x = 2 w 3

Passo 3: Assim, podemos concluir que:

x = 2 w 3

y = 2 2 w 3 - 3 w ∴ y = - 5 w 3

z = 0

w = w

Opa, então os vetores que pertencem a H ∩ W tem essa cara:

2 w 3 , - 5 w 3 , 0 , w = w 2 3 , - 5 3 , 0,1

Portanto, H ∩ W = s p a n 2 3 , - 5 3 , 0,1

Caraca, então conseguimos escrever a interseção como um s p a n ! Logo, este conjunto é um subespaço vetorial (lembre-se do teorema)!

Pera, então pegamos dois conjuntos que eram subespaços vetoriais e sua interseção deu também um subespaço! Será que isso sempre acontece? De fato, sim, e isso nos leva a mais um teorema:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 86 – Fix 3.13.

Considere V e W planos distintos contendo a origem em R 3 . Determine V + W :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro, podemos escrever uma base para V e W :

V = v 1 , v 2 ; W = 〈 v 3 , v 4 〉

Onde v 1 , v 2 ∈ V e v 3 , v 4 ∈ W .

Passo 2

Ta, e agora? Bom, que tal tentarmos visualizar o que está acontecendo? Toma uma imagem pra ajudar:

Bom, temos dois planos V e W distintos do R 3 , e ambos esses planos contém a origem.

A primeira e mais importante coisa que temos que notar é que, quaisquer dois planos distintos no R 3 que contenham a origem terão sempre uma reta como interseção!

Isso, por sua vez, quer dizer que suas bases poderão ter um vetor em comum, que seria qualquer vetor sobre essa reta!

Sendo assim, podemos dizer que:

v 1 = v 4

Com isso, os planos podem ser escritos como:

V = v 1 , v 2 ; W = 〈 v 1 , v 3 〉

Onde v 1 é um vetor da reta na qual os planos se interceptam. Por sua vez, v 2 é algum outro vetor de V e v 3 é algum outro vetor de W .

Passo 3

Agora que temos uma base para cada um dos planos, podemos encontrar uma base para V + W :

V + W = 〈 v 1 , v 2 , v 1 , v 3 〉

Perceba que v 2 e v 3 são L I entre si (caso contrário, V e W seriam o mesmo plano) e são L I com relação a v 1 (caso contrário, V e W seriam uma reta).

Sendo assim, o único elemento L D no conjunto gerador acima é o v 1 que aparece duas vezes. Portanto, uma base para V + W seria:

v 1 , v 2 , v 3

Passo 4

Lembrando que a base contém vetores do R 3 , como ela tem 3 elementos, chegamos a conclusão de que:

V + W = R 3

Resposta

V + W = R 3

Exercício Resolvido #2

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 86 – Fix 3.13.

Considere V e W planos distintos contendo a origem em R 3 . Determine V ∩ W :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, eu podia tentar explicar pra vocês usando algum teorema ou relação matemática, mas nesse caso seria um desperdício de tempo. Então nós, malandramente, vamos visualizar o que está acontecendo. Toma uma imagem pra ajudar:

Bom, temos dois planos V e W distintos do R 3 , e ambos esses planos contém a origem.

Bom, só por essa imagem já matamos o problema né? Percebam que de qualquer jeito que você botar os planos, eles vão ter como interseção uma reta! Então a interseção será uma reta passando na origem.

E é isso aí gente, nós se vê por aí.

Resposta

V ∩ W é uma reta que passa na origem.

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Considere os conjuntos abaixo:

W = x , y , z ∈ R 3 2 x + z = 0 }

H = x , y , z , w ∈ R 4 z = 0   e   w = 0 } E que:

W = s p a n { 1,0 , - 2 , 0,1 , 0 }

H = s p a n { 1,0 , 0,0 , 0,1 , 0,0 }

  1. dim ⁡ H ∩ W = 1 pois só possuem um vetor em comum.
  2. H = R 2 , já que é gerado por 2 vetores L I

a   Ambas as afirmativas são verdadeiras.

b   I é verdadeira e II é falsa

c   II é verdadeira e I é falsa

d   Ambas são falsas

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Passo 1

Bom, a afirmativa II é falsa, pois não basta que 2 vetores sejam L I apenas, eles precisam pertencer ao R 2 também. Ser gerado pelos vetores 1,0 , 0,0 , 0,1 , 0,0 não os fazem igual ao R 2 , mesmo que seja o plano x y .

Passo 2

Já na afirmativa I, sabemos que H é um subconjunto do R 4 enquanto W é do R 3 , e assim é impossível fazer qualquer conta envolvendo os dois.

Logo a resposta certa é a letra d

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V .

Se sabemos que U não está contido em W , nem W está contido em U , podemos afirmar que:

a   U ∩ W é um subespaço de V , mas U ∪ W não é um subespaço de V

b   U ∩ W é um subespaço de V e U ∪ W pode ser um subespaço de V

c   U ∩ W não é um subespaço de V e U ∪ W também não é um subespaço de V

d   U ∩ W é um subespaço de V e U ∪ W também é um subespaço de V

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Passo 1

Suponha que eu tenho uma base { a → ,   b → ,   c → } para U e uma base { u → ,   b → ,   c → } para W , sendo a → e u → vetores L I , pra garantir que U e W são conjuntos diferentes.

Passo 2

A interseção entre os dois é o b → ,   c → , que é um subespaço vetorial, pois eu posso garantir todas as combinações lineares de { b → , c → } estão em U e também estão em W , assim todas as combinações lineares de { b → ,   c → } tem que estar em U ∩ W . Logo é um subespaço vetorial.

Passo 3

A união entre os dois é o espaço gerado por { a → ,   b → ,   c → } mais o espaço gerado por { u → ,   b → ,   c → } . Ou seja, qualquer vetor que seja combinação linear de a → está em U ∪ W , assim como qualquer vetor que seja combinação linear de u → . Mas o vetor m a → + n u → , ou seja o vetor que é combinação linear de a → e u → não pertence a U ∪ W .

Como que eu vejo que m a → + n u → não pertence a U ∪ W ? Pega um exemplo em que U é um plano ( x y , digamos) e V é outro plano ( x z , dessa vez). Então, uma combinação linear leva o vetor para fora dos DOIS planos, deixando ele lá no meio do R 3 , viu? =)

Então U ∪ W não é subespaço vetorial e obtemos a alterantiva ( a ) como resposta.

Resposta

Letra a .

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