TL Composta

Teoria Completa

Lembra no Ensino Médio que nós podíamos fazer composição de funções? Tipo botar uma dentro da outra e criar uma nova?

Então como transformações lineares também são funções, podemos fazer composições delas com outras transformações!

E, assim, a definição acima também se aplica a transformações lineares. Mas ai surge uma questão importante.

Será que se compormos duas T L ' s , a composta gerada a partir das duas ainda é linear?

A resposta é sim! Temos até um teorema para isso haha.

Beleza, mas como faço isso na prática?

Bom, a primeira coisa que você tem que reparar é que o contra domínio da T L que vai ficar dentro tem que ser igual ao domínio de fora! Perceba:

Se você tem T : U → V e S : V → W . A T L composta deve ser S T u . A transformação T levará o vetor u ∈ U em um vetor v ∈ V . A transformação S , por sua vez pegará esse vetor v ∈ V e levará em um vetor w ∈ W .

Se o contra domínio de T fosse diferente do domínio de S ia dar ruim, sacou?

Tá beleza, mas como faço isso na prática? Vamos pegar, por exemplo, essas transformações abaixo:

T : R 2 ⟶ R 3

T x , y = ( 2 y , x + y , x - y )

S : R 3 ⟶ R 2

S x , y , z = ( x + y + z ,   2 y - x )

Como o contradomínio de   T é igual ao domínio de S , podemos compor as duas aplicando o resultado da transformação T em S :

S T x , y = S 2 y , x + y , x - y = ( 2 y + x + y + x - y , 2 x + y - 2 y )

Com isso, fazendo as contas, podemos ver que:

S ∘ T : R 2 ⟶ R 2

( S ∘ T ) x , y = ( 2 y + 2 x , 2 x )

E assim temos a nossa expressão da transformação composta. Acontece que temos outro jeito de achar a TL composta, a partir das matrizes que representam as transformações.

Matriz que Representa uma TL Composta

Vamos supor que agora o enunciado do problema, ao invés de nos dar essas duas transformações com suas expressões analíticas, nos dá as matrizes que as representam.

T x , y = 0 2 1 1 1 - 1 x y

S x , y , z = 1 1 1 - 1 2 0 x y z

E agora, vamos ter que achar as expressões e fazer o mesmo processo de antes?

Não!! Quer dizer, se você quiser, vá em frente que vai dar certo, maaaas, temos um jeito muito mais simples de achar a TL Composta. É só multiplicarmos as 2 matrizes! Mas cuidado, a ordem da multiplicação é muito importante.

Se quisermos fazer S ∘ T a matriz que representa a transformação será ST. Isso acontece porque essa multiplicaçãoo de matrizes fica assim:

S ∘ T x , y = 1 1 1 - 1 2 0 0 2 1 1 1 - 1 x y

Reparem que o vetor x , y   está sendo aplicado primeiro na matriz da tranformação   T e o resultado disso será aplicado na matriz S . Isso é exatamente o que fizemos quando usamos as expressões analíticas e por isso a ordem da multiplicação não pode ser alterada.

Então, multiplicando S e T , a matriz   S ∘ T será:

S ∘ T ( x , y ) = 2 2 2 0 x y

Se você pegar a expressão que achamos lá em cima e achar a matriz da TL vai ver que deu a mesma coisa!

Viu? Agora basta saber as matrizes de cada uma das transformações. Assim, a fórmula dessa composição aplicada nas coordenadas de um vetor, ficaria:

T ∘ S u ξ = T ∘ S ξ ← β ∙ u β ⇒

T ∘ S u ξ = T ξ ← γ ∙ S γ ← β ∙ u β

Sendo β a base do domínio e ξ a base do contradomínio.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 221. – 42

Sejam S e T operadores lineares de R 2 definidos por S x , y = x - 2 y , y e T x , y = 2 x , - y . Determinar:

(a)   S + T

(b)   T - S

(c)   2 S + 4 T

(d)   S ∘ T

(e)   T ∘ S

(f)   S ∘ S

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Passo 1

Essa questão é simplesmente jogar uma dentro da outra ou fazer operações com elas, então vou direto ao ponto ok?

Passo 2

a

S + T = S x , y + T x , y = x - 2 y , y + 2 x , - y = 3 x - 2 y , 0

Passo 3

b

T - S = T x , y - S x , y = 2 x , - y - x - 2 y , y = x + 2 y , - 2 y

Passo 4

c

2 S + 4 T = 2 S x , y + 4 T x , y = 2 x - 2 y , y + 4 2 x , - y =

= 2 x - 4 y , 2 y + 8 x , - 4 y = 10 x - 4 y , - 2 y

Passo 5

d

S ∘ T = S T x , y = S 2 x , - y = 2 x - 2 - y , - y = 2 x + 2 y , - y

Passo 6

e

T ∘ S = T S x , y = T x - 2 y , y = 2 x - 2 y , - y = 2 x - 4 y , - y

Passo 7

f

S ∘ S = S S x , y = S x - 2 y , y = x - 2 y - 2 y , y = x - 4 y , y

Resposta

a   3 x - 2 y , 0

b   x + 2 y , - 2 y

c   10 x - 4 y , - 2 y

d   2 x + 2 y , - y

e   2 x - 4 y , - y

f   x - 4 y , y

Exercício Resolvido #2

Lista 1 de Álgebra Linear I para a p2, exercício 12-b), 2015.1, PUC-RIO, Adaptado.

Sabendo que:

T 1 - x = 1 0 0 - 1

T 1 + x = 1 0 0 1

T x 2 = - 1 1 - 1 2

S : R 3 ⟶ P 2

S w , y , z = w + y + 2 w x + z + y x 2

a   Calcule T ( a + b x + c x 2 )

b   Calcule T ∘ S

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Passo 1

a   Caramba, polinômios, vetores e matrizes juntos!! E agora???!!

Relaxa, é só seguir os mesmos passos, só que com vetores, e lembrando como se trabalha com polinômios.

Primeira coisa a fazer é a nossa boa e velha combinação linear de uma base do nosso domínio. Como T : P 2 → M 2 × 2 , uma base para ele seria:

β = { 1 - x , 1 + x , x 2 }

Então, podemos fazer uma C L desses elementos para gerar nosso elemento genérico, que é a + b x + c x 2 :

a + b x + c x 2 = α 1 1 - x + α 2 1 + x + α 3 x 2

Passo 2

Agora vamos aplicar T dos dois lados:

T a + b x + c x 2 = T ( α 1 1 - x + α 2 1 + x + α 3 x 2 )

Como T é linear, podemos abrir a expressão do nosso lado direito da equação:

T a + b x + c x 2 = α 1 T 1 - x + α 2 T 1 + x + α 3 T ( x 2 )

E aplicando as informações do enunciado:

T a + b x + c x 2 = α 1 1 0 0 - 1 + α 2 1 0 0 1 + α 3 - 1 1 - 1 2       ( I )

Passo 3

Po, mas ainda tem esses α 1 ,   α 2 ,   α 3 atrapalhando a gente. Lembra que se fossem vetores, você tinha que botar esses coeficientes em função de x , y , z (se fosse do R 3 ), porém agora são polinômios, então você tem que botar esses α 1 ,   α 2 ,   α 3 , em função de a , b , c como se fossem x , y , z .

a + b x + c x 2 = α 1 1 - x + α 2 1 + x + α 3 x 2 ⇒

a + b x + c x 2 = α 1 - α 1 x + α 2 + α 2 x + α 3 x 2 ⇒

a + b x + c x 2 = α 1 + α 2 + α 2 - α 1 x + α 3 x 2 ⇒

α 1 + α 2 = a ⇒ α 1 + b + α 1 = a ⇒ 2 α 1 = a - b ⇒ α 1 = a - b 2 α 2 - α 1 = b ⇒ α 2 = b + α 1 ⇒ α 2 = b + a - b 2 ⇒ α 2 = a + b 2 α 3 = c