TL Inversa

Teoria Completa

Vamos dar uma relembrada nas TL’s Compostas:

Vamos pegar, por exemplo, essas transformações abaixo:

T : R 3 ⟶ M 2 × 2

T x , y , z = x y z x + y + z

S : M 2 × 2 ⟶ R 3

S a b c d = ( a , b , c )

Agora vamos compor S com T .

S T x , y , z = S x y z x + y + z = ( x , y , z )

Com isso, podemos ver que:

S ∘ T : R 3 ⟶ R 3

( S ∘ T ) x , y , z = ( x , y , z )

Pera então, essa transformação linear composta aí, você pega um vetor no R 3 e “cospe” o mesmo vetor no R 3 ! Sim, então essa é a transformação que não faz nada.

Mas pra que esse negócio serve?!

Te falar, isso é tão importante que recebe até um nome especial! Olha ai haha

Quando acontece isso, Dizemos que S ∘ T é a Transformação Identidade. Não confunda essa transformação com aquela matriz cheia de 0 ’s e 1 ’s! Estamos usando agora uma transformação linear, e não uma matriz.

S ∘ T x , y , z = x , y , z ⇔

I d x , y , z = ( x , y , z )

E agora que vem a importância dela. Se essa composta aí é a Transformação Identidade, então S é a inversa de T : S = T - 1 ! É só lembrar o conceito de função inversa!

f - 1 f a = a ,   a ∈ R

Como montar a Inversa de uma TL

Muito bom, descobrimos como fazer a tal composição de T L s . Mas depois desse exemplo que eu dei surgiram outras duas perguntas :P

Será que toda T L tem uma inversa? E, como achamos a tal T L inversa?

Bom, primeira coisa que você tem que saber é que uma função só admite inversa se ela é bijetiva.

Por exemplo a T L abaixo:

T : R 3 → R 3

T x , y , z = ( z , x - 2 y , x + 2 y )

Será que ela é inversível? Ou melhor, uma pergunta que sabemos responder: Será que ela é bijetiva?

T x , y , z = z , x - 2 y , x + 2 y = 0

z = 0 x - 2 y = 0 ⇒ x = 2 y ⇒ x = 0 x + 2 y = 0 ⇒ 4 y = 0 ⇒ y = 0

Assim, N u c T = { 0 } e ela é injetiva.

Como as dimensões do domínio e do contra domínio são as mesmas, se ela é injetiva ela também é sobrejetiva! Portanto, ela é bijetiva sim.

Obs.: Outra forma de verificarmos se uma transformação é invertível é olhando para sua matriz na base canônica! Se a matriz for inversível, a T L também será.

Voltando ao exemplo, encontramos que T é bijetiva! E com isso podemos invertê-la! Tá, mas como faço isso?

Primeiro vamos definir uma base para o nosso domínio, de preferência a canônica:

ε = { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 , 0,0 , 1 }

Agora vamos calcular a imagem desses vetores, usando a fórmula da T L :

T 1,0 , 0 = 0,1 , 1

T 0,1 , 0 = 0 , - 2,2

T 0,0 , 1 = 1,0 , 0

O que nós queremos saber é a expressão da T - 1 . Bom se a T - 1 tem que fazer o caminho inverso de T , ou seja, levar os vetores de volta, é só trocar o que achamos aqui em cima!

T - 1 0,1 , 1 = 1,0 , 0

T - 1 0 , - 2,2 = 0,1 , 0

T - 1 1,0 , 0 = ( 0,0 , 1 )

Repare que o conjunto dos vetores { 0,1 , 1 , 0 , - 2,2 , 1,0 , 0 } forma uma base para o domínio de T - 1 , já que:

T - 1 : R 3 ⟶ R 3

Agora que temos uma base para o domínio de T - 1 e a imagem de cada um desses vetores da base, podemos achar uma expressão para T - 1 , assim como fazemos para uma T qualquer. Basta aplicar todos aqueles passos que já aprendemos, que iremos achar uma expressão para T - 1 !

x , y , z = a 0,1 , 1 + b 0 , - 2,2 + c 1,0 , 0

Aplicando T - 1 nos dois lados:

T - 1 x , y , z = a T - 1 0,1 , 1 + b T - 1 0 , - 2,2 + c T - 1 1,0 , 0 ⇒

T - 1 x , y , z = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 0,0 , 1 ⇒

T - 1 x , y , z = a , b , c     ( I )

Agora vamos achar valores para a , b , c :

x , y , z = a 0,1 , 1 + b 0 , - 2,2 + c 1,0 , 0 ⇒

x , y , z = c , a - 2 b , a + 2 b ⇒

c = x y = a - 2 b ⇒ a = y + 2 b ⇒ a = y + z 2 z = a + 2 b ⇒ z = y + 4 b ⇒ b = z - y 4

Substituindo em ( I ) :

T - 1 x , y , z = y + z 2 , z - y 4 , x

E, assim, calculamos uma expressão para a inversa de T . :D

Com matrizes...

E se o enunciado der a transformação na forma de matriz? Aí é só inverter a matriz! Olha só

T x , y , z = ( z , x - 2 y , x + 2 y )

T x , y , z = 0 0 1 1 - 2 0 1 2 0 x y z

Invertendo...

0 0 1 1 - 2 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → 1 2 0 1 - 2 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0

→ 1 2 0 0 - 4 0 0 0 1 0 0 1 0 1 - 1 1 0 0   → 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 - 1 4 1 4 1 0 0

  → 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 2 1 2 0 - 1 4 1 4 1 0 0

A matriz inversa então é 0 1 2 1 2 0 - 1 4 1 4 1 0 0 que é exatamente a representação matricial de T - 1 x , y , z = y + z 2 , z - y 4 , x .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Sabendo que:

T : R 3 ⟶ V

T x , y , z = x + y 0 0 x + y

S a 0 0 d = a , 0 , a

S :   V ⟶ R 3

Tal que V é o espaço vetorial abaixo:

V = A ∈ M 2 × 2 a 12 = a 21 = 0 }

Foi perguntado a Vitinho se T era a inversa de S , T = S - 1 . Assim, Vitinho respondeu:

“Sim, pois se compormos T com S vamos ter:

T S a 0 0 d = T a , 0 , a = a + 0 0 0 a + 0 = a 1 0 0 1

Assim,

T ∘ S = I d

E, portanto, pela definição T = S - 1 .”

Sabendo que Vitinho está errado, encontre o erro e apresente uma nova solução para que S = T - 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Podemos ver que Vitinho não sabia a definição corretamente de uma transformação inversa. Ele confundiu a matriz identidade com a transformação identidade.

Além disso, mesmo que fosse a função identidade deveríamos ter I d u = u e não foi o que aconteceu, já que a matriz que “entrava” pelo domínio era a 0 0 d ≠ a 0 0 a .

Passo 2

Para consertar o erro, devemos restringir o domínio de S para:

V = A ∈ M 2 × 2 a 12 = a 21 = 0   e   a 11 = a 22 }

Assim teríamos:

T S a 0 0 a = T a , 0 , a = a + 0 0 0 a + 0 = a 0 0 a

E, portanto:

T ∘ S a 0 0 a = I d a 0 0 a = a 0 0 a

Para:

I d : V ⟶ V

Resposta

Exercício Resolvido #2

Como Construir e Inverter Uma TL e Composição de TL's

Sejam T : R n ⟶ R m e S : R m ⟶ R k duas transformações lineares injetivas. Prove que S ∘ T   : R n ⟶ R k é também injetiva.

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Passo 1

Se ela é injetiva, queremos ver que S ∘ T u = 0 ⇔ u = 0