Matriz de Mudança de Base

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Teoria

Algumas vezes a gente pode se deparar com problemas em que vai ser interessante mudar a base do nosso vetor! Nesses casos a gente vai usar a matriz mudança de base! Bora aprender como isso vai funcionar?

O que é a Matriz Mudança de Base?

Imagina que você tem o elemento e ele esta escrito na base , mas você quer passar ele para a base . Como você faria isso!?

É aqui que entra a Matriz Mudança de Base , dessa forma podemos fazer:

Mudança de base
Mudança de base

Essa fórmula ali de cima tá dizendo que, pra achar o vetor na base tudo o que você precisa fazer é multiplicar a matriz mudança de base, representada por , pelo vetor na base beta!

Ahh, um detalhe…a matriz mudança de base é uma transformação identidade indo de uma base para uma base , por isso aquele ali em cima. O que faz muito sentido, porque a transformação identidade não altera o vetor e é exatamente isso que queremos! O nosso vetor vai ser o mesmo, mas com uma base diferente!

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Como Calcular a Matriz Mudança de Base?

Agora é hora de colocar a mão na massa! Vamos calcular uma matriz mudança de base de para e depois vamos aplicar ela pra mudar a base do vetor !

Passo 1: Escrever os Elementos de como uma Combinação Linear dos Elementos de

Vai ficar assim:

Combinação linear
Combinação linear

Essa galera de verdinho são os elementos da nossa matriz mudança de base!

Passo 2: Calcular os Sistemas Lineares para Achar a Matriz Mudança de Base

Vamos pegar a primeira linha de equações acima e montar um sistema linear. Ficamos com:

Fazendo a mesma coisa com a segunda e a terceira linha, podemos montar a matriz mudança de base:

Passo 3: Calcular o vetor na base

Pra isso a gente vai usar a fórmula:

Substituindo, temos:

Matrizes Semelhantes

Vamos começar com a definição formal de matrizes semelhantes:

Matrizes semelhantes
Matrizes semelhantes

Beleza, mas porque isso é interessante?

Além de podermos mudar a base de vetores pela matriz de mudança de base, e fazer o contrário apenas invertendo a matriz. Existe um outro método prático para mudar para, por exemplo, uma outra , sem ter que ter todo aquele trabalho de sempre!

Podemos chamar , , . Assim, nossa semelhança de matrizes fica assim:



A matriz à direita pegaria um vetor na base e trocaria a base dele para . A matriz do meio aplicaria a transformação no vetor, mantendo ele na base . E a matriz à esquerda trocaria a base dele de para !


Para lembrar da fórmula é só seguir as setinhas das bases da direita para a esquerda. Ela vai de para , depois de para , e depois de para . No final das contas ela simplesmente vai de para .

Matrizes Semelhantes

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Sejam α ,   β ,   γ bases do espaço vetorial V , e sejam

A = I α ← β ,   B = I γ ← β ,   C = I γ ← α

matrizes de mudança de base. Então:

a   B - 1 C = A

b   B C - 1 = A - 1

c   B C - 1 = A

d   B - 1 C = A - 1

Passo 1

A única coisa que sabemos, que pode nos ajudar, é que a inversa de uma matriz de mudança de base muda a “ordem” das bases. Sendo assim, vamos analisar as bases e os produtos para ver qual equação está correta.

a

B - 1 = I β ← γ ,     C = I γ ← α ⇒

B - 1 C = I β ← γ ⋅ I γ ← α = I β ← α ≠ A

Passo 2

b

B = I γ ← β ,     C - 1 = I α ← γ

B C - 1 = I γ ← β ⋅ I α ← γ

Não dá para “juntar” as matrizes, então não pode ser essa. Com isso eliminamos a letra c também.

Passo 3

d

B - 1 = I β ← γ ,     C = I γ ← α

B - 1 C = I β ← γ ⋅ I γ ← α = I β ← α = A - 1

- ''

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #2

Seja P 1 o espaço euclidiano dos polinômios p x = a x + b e considere a base β = 2 x - 2,2 x + 2 . Se γ é uma base tal que a matriz de mudança de base de β para γ

I γ ← β = 1 - 2 1 - 1

então a base γ é:

a   γ = - 4 x , 6 x - 2

b   γ = - 4 x - 6 , - 2

c   γ = { 2 x - 2 ,   2 x + 2 }

d   γ = { 8 ,   8 x }

Passo 1

Sabendo como se monta a matriz de mudança de base, podemos descobrir quem é a base γ . Digamos que a base γ seja assim:

γ = { p 1 x ,   p 2 x }

Até agora podemos afirmar que

I 2 x - 2 γ = 1 1 ⇒

I 2 x - 2 = p 1 x + p 2 ( x )

E que

I 2 x + 2 γ = - 2 - 1 ⇒

I 2 x + 2 = - 2 p 1 x - p 2 ( x )

Passo 2

Mas e agora, como vamos achar quem são p 1 ( x ) e p 2 ( x ) ??? Como se trata da transformação identidade podemos afirmar que:

I 2 x - 2 = p 1 x + p 2 x = 2 x - 2

I 2 x + 2 = - 2 p 1 x - p 2 x = 2 x + 2

E com isso temos um sistema linear de duas equações e duas variáveis:

p 1 x + p 2 x = 2 x - 2 - 2 p 1 x - p 2 x = 2 x + 2       1 2

De 1 temos que:

p 1 x = 2 x - 2 - p 2 x

Substituindo em 2 :

- 2 2 x - 2 - p 2 x - p 2 x = 2 x + 2

- 4 x + 4 + 2 p 2 x - p 2 x = 2 x + 2

p 2 x = 6 x - 2

Com isso, podemos encontrar p 1 x :

p 1 x = 2 x - 2 - 6 x - 2

p 1 x = - 4 x

Assim, nossa base fica:

γ = { - 4 x ,   6 x - 2 }

Resposta

Letra a

Exercício Resolvido #3

À questão “Seja L : R 2 ⟶ R 2 a transformação linear definida por L 1,0 = ( 1,0 ) e L 1,1 = ( 0 , 0 ) . Encontre a matriz de L associada a base canônica de R 2 ”, Joãozinho respondeu:

A resposta do Joãozinho está errada pois L 1,1 deveria dar ( 0,0 ) . Indique qual foi o erro que Joãozinho cometeu e explique a sua afirmação.

OBS: Este item não pede a resposta certa, pede para explicar ao Joãozinho o seu erro.

Passo 1

Embora as matrizes P e Q estivessem corretas, Joãozinho trocou de lugar as matrizes L γ e L β .

Lembre-se da fórmula!

T β ← β = I d β ← γ ∙ T γ ← γ ∙ I d γ ← β

O que Joãozinho fez foi:

L γ = I β ← γ L β I γ ← β

Quando, pela fórmula, o que ele devia ter feito era:

L β = I β ← γ L γ I γ ← β

Ou ainda:

L γ = I γ ← β L β I β ← γ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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