Matriz de Mudança de Base

Teoria Completa

Transformação Identidade x Matriz Identidade

Lembra da Transformação Identidade? Isso mesmo, aquela que não faz nada haha.

Então, neste capítulo vamos falar um pouco sobre o que acontece quando representamos ela indo de uma base para outra.

Junto com ela temos a Matriz Identidade, e também será assunto do capítulo. Será necessário que você dê uma lembrada em escalonamento também!

Para você não se confundir vamos usar as seguintes notações abaixo:

Notação: A Transformação Identidade será representada por I d .

Notação: A Matriz Identidade será representada por I .

Matriz de Mudança de Base

Bom, lembra dessa fórmula aqui:

T u α = T α ⟵ β ⋅ u β

Agora vamos trocar essa T aí em cima pela transformação identidade, então vamos fazer T = I d . Substituindo na fórmula, ficamos com:

I d u α = I d α ⟵ β ⋅ u β

Ahhh mas espera aí, a transformação identidade não faz nada com o vetor: ela não transforma o vetor em nada! Então I d u = u . Substituindo na fórmula, temos:

u α = I d α ⟵ β ⋅ u β

Po, ficou mais simples essa fórmula aí!

O que essa fórmula quer dizer é que ela pega um vetor escrito nas coordenadas de uma base β e leva ele para o mesmo vetor, só que escrito nas coordenadas de uma base α . Ahh então ela de novo não transforma o vetor, ela APENAS MUDA A BASE EM QUE ELE ESTÁ ESCRITO!

Por isso que a matriz I d α ⟵ β é chamada de Matriz de Mudança de Base. A rigor, temos sempre que definir quais as bases sobre as quais ela está operando, então vamos ver a sua definição.

Tá mas quem é essa matriz aí? É a matriz identidade?

Não!! Não é a matriz identidade, pode ser uma matriz qualquer! Vamos ver um exemplo:

Seja I d : R 3 ⟶ R 3 , com α = 1,1 , 0 , 0,0 , 1 , 1,0 , 0 e β = - 4,3 , 0 , 0,0 , 1 , 3,4 , 0 bases do R 3 . Calcule I d α ⟵ β .

Agora que já sabemos que esta não vai ser a matriz identidade, vamos calcular do jeito tradicional que aprendemos:

Vamos aplicar I d em todos os vetores da base do domínio β .

I d - 4,3 , 0 = - 4,3 , 0

I d 0,0 , 1 = 0,0 , 1

I d 3,4 , 0 = 3,4 , 0

Po, então nem precisava ter feito conta né? Sim é verdade, isso ocorre porque a transformação identidade aplicada em um vetor, é o próprio vetor.

Assim, basta escrever esses vetores agora nas coordenadas da base α :

- 4,3 , 0 = a 1 1,1 , 0 + b 1 0,0 , 1 + c 1 1,0 , 0

Dá pra fazer até de cabeça essa né? Vai ser 3 vezes o primeiro vetor menos 7 vezes o terceiro!

a 1 = 3 ,   b 1 = 0 ,   c 1 = - 7

E, portanto:

- 4,3 , 0 α = 3 0 - 7

Fazendo a mesma coisa para ao segundo vetor:

Podemos ver que o vetor ( 0,0 , 1 ) está em ambas as bases. E como ele é o segundo vetor da base α , suas coordenadas nessa base são:

0,0 , 1 = 0 1,1 , 0 + 1 0,0 , 1 + 0 1,0 , 0

0,0 , 1 α = 0 1 0

Agora fazendo para o terceiro vetor temos que:

3,4 , 0 = a 3 1,1 , 0 + b 3 0,0 , 1 + c 3 1,0 , 0

Resolvendo a equação temos que:

a 3 = 4 ,   b 3 = 0 ,   c 3 = - 1

E portanto:

3,4 , 0 α = 4 0 - 1

Assim nossa matriz I d α ⟵ β fica:

I d α ⟵ β = 3 0 4 0 1 0 - 7 0 - 1

Viu? Não deu a matriz identidade!

Ahh então essa matriz nunca vai dar a matriz identidade???

ERRADO! Essa matriz vai dar SEMPRE a matriz identidade quando a matriz mudança de base for de uma base para ela mesma. Ou seja,

I d β ← β = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 1

Para qualquer β que escolhermos! E essa é a matriz identidade!

Então lembre-se: a representação matricial da transformação identidade só é a matriz identidade quando vai de uma base para essa mesma base.

Invertendo a Matriz de Mudança de Base

Ok! Então pra mudar a base das coordenadas de um vetor é só multiplicar pela matriz de mudança de base dessa base para a base que você quer mudar.

Mas e se eu quiser fazer o contrário? Por exemplo, ao invés de mudar de β para α usando I d α ⟵ β , vamos fazer de I d β ⟵ α . Bom, vamos ver uma coisa.

Se fizermos I d β ⟵ α ⋅ I d α ⟵ β , podemos lembrar que isso é a representação matricial de uma composição de transformações. Assim, I d β ⟵ α ⋅ I d α ⟵ β = I d ∘ I d β ← β , mas como I d ∘ I d ( u ) = I d I d u = I d ( u ) , podemos dizer que I d ∘ I d = I d .

Ou, em outras palavras, não importa quantas vezes aplicamos a transformação identidade em um vetor, o resultado será sempre o mesmo.

E, portanto, I d β ⟵ α ⋅ I d α ⟵ β = I d β ← β = I , que é a matriz identidade. Mas lembra que A - 1 . A = I , então podemos concluir que:

I d β ⟵ α = I d α ⟵ β - 1

CUIDADO! Isso somente é verdade para a transformação identidade! Não serve para nenhuma outra T !!!!!

Para qualquer outra T , não bastaria inverter a matriz apenas. Logo, em geral:

T β ⟵ α ≠ T α ⟵ β - 1

Matrizes Semelhantes

Além de podermos mudar a base de vetores pela matriz de mudança de base, e fazer o contrário apenas invertendo a matriz, existe um outro método prático para mudar T γ ← γ para, por exemplo, uma outra T β ← β , sem ter que ter todo aquele trabalho de sempre.

Bom, a verdade é que podemos fazer isso de um jeito muito prático com as matrizes de mudança de base, mas principalmente pelo fato de uma matriz T γ ← γ ser sempre semelhante à T β ← β .

Ou seja, uma matriz que representa T que vai de uma base para uma mesma base, é sempre semelhante a uma outra matriz que representa T que vai de uma outra base para essa mesma outra base.

Mas afinal, o que são matrizes semelhantes?

Podemos chamar C = I d β ← γ , C - 1 = I d γ ← β , A = T β ← β ,   B = T γ ← γ . Assim, nossa semelhança de matrizes fica assim:

T β ← β = I d β ← γ ⋅ T γ ← γ ⋅ I d γ ← β

A matriz à direita pegaria um vetor na base β e trocaria a base dele para γ . A matriz do meio aplicaria a transformação T no vetor, mantendo ele na base γ . E a matriz à esquerda trocaria a base dele de γ para β !

Para lembrar da fórmula é só seguir as setinhas das bases da direita para a esquerda. Ela vai de β para γ , depois de γ para γ , e depois de γ para β . No final das contas ela simplesmente vai de β para β .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Matrizes que representam TL’s

Sejam α ,   β ,   γ bases do espaço vetorial V , e sejam

A = I α ← β ,   B = I γ ← β ,   C = I γ ← α

matrizes de mudança de base. Então:

a   B - 1 C = A

b   B C - 1 = A - 1

c   B C - 1 = A

d   B - 1 C = A - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A única coisa que sabemos, que pode nos ajudar, é que a inversa de uma matriz de mudança de base muda a “ordem” das bases. Sendo assim, vamos analisar as bases e os produtos para ver qual equação está correta.

a

B - 1 = I β ← γ ,     C = I γ ← α ⇒

B - 1 C = I β ← γ ⋅ I γ ← α = I β ← α ≠ A

Passo 2

b

B = I γ ← β ,     C - 1 = I α ← γ

B C - 1 = I γ ← β ⋅ I α ← γ

Não dá para “juntar” as matrizes, então não pode ser essa. Com isso eliminamos a letra c também.

Passo 3

d

B - 1 = I β ← γ ,     C = I γ ← α

B - 1 C = I β ← γ ⋅ I γ ← α = I β ← α = A - 1

- ''

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #2

Matrizes que representam TL’s

Seja P 1 o espaço euclidiano dos polinômios p x = a x + b e considere a base β = 2 x - 2,2 x + 2 . Se γ é uma base tal que a matriz de mudança de base de β para γ

I γ ← β = 1 - 2 1 - 1

então a base γ é:

a   γ = - 4 x , 6 x - 2

b   γ = - 4 x - 6 , - 2

c   γ = { 2 x - 2 ,   2 x + 2 }