Enunciado

20. Calcule o determinante da matriz do Exercício 12 usando uma expansão de cofatores ao longo

(a) da primeira linha(b) da primeira coluna

(c) da segunda linha(d) da segunda coluna

(e) da terceira linha(f) da terceira coluna

- 1       1       2       3       0 - 5       1       7       2

Passo 1

Para calcular o determinante dessa matriz vamos usar o método de Expansão de Cofatores, para matrizes quadradas, no caso na questão, uma matriz 3 x 3 .

det ⁡ A = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + … + a n j C n j

[expansão de cofatores ao longo da coluna j ]

det ⁡ A = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + … + a i n C i n

[expansão de cofatores ao longo da linha i ]

Passo 2

(a) da primeira linha

det ⁡ A = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13

Vamos calcular o cofator correspondente a cada entrada da primeira linha:

C 11 = - 1 1 + 1   M 11 = 1 × 0 - 5 7       2 = 0 × 2 - - 5 × 7 = 0 - ( - 35 ) = 35

C 12 = - 1 1 + 2   M 12 = - 1 × 3 - 5 1       2 = - 3 × 2 - - 5 × 1 = - 6 - - 5 = - 11

C 13 = - 1 1 + 3   M 13 = 1 × 3 0 1 7 = 3 × 7 - 0 × 1 = 21 - 0 = 21

det ⁡ A = - 1 × 35 + 1 × - 11 + 2 × 21 = - 35 - 11 + 42

det ⁡ A = - 4

Passo 3

(b) da primeira coluna

det ⁡ A = a 11 C 11 + a 21 C 21 + a 31 C 31

Vamos calcular o cofator correspondente a cada entrada da primeira coluna:

C 11 = - 1 1 + 1   M 11 = 1 × 0 - 5 7       2 = 0 × 2 - - 5 × 7 = 0 - ( - 35 ) = 35

C 21 = - 1 2 + 1   M 21 = - 1 × 1   2 7 2 = - 1 × 2 - 2 × 7 = - ( 2 - 14 ) = 12

C 31 = - 1 3 + 1   M 31 = 1 * 1       2 0 - 5 = 1 × - 5 - 2 × 0 = - 5 - 0 = - 5

det ⁡ A = - 1 × 35 + 3 × 12 + 1 × - 5 = - 35 + 36 - 5

det ⁡ A = - 4

Passo 4

(c) da segunda linha

det ⁡ A = a 21 C 21 + a 22 C 22 + a 23 C 23

Vamos calcular o cofator correspondente a cada entrada da segunda linha:

C 21 = - 1 2 + 1   M 21 = - 1 × 1   2 7 2 = - 1 × 2 - 2 × 7 = - ( 2 - 14 ) = 12

C 22 = - 1 2 + 2   M 22 = 1 × - 1 2       1 2 = - 1 × 2 - 2 × 1 = - 2 - 2 = - 4

C 23 = - 1 2 + 3   M 23 = - 1 × - 1 1       1 7 = - - 1 × 7 - 1 × 1 = - - 7 - 1 = 8

det ⁡ A = 3 × 12 + 0 × - 4 + - 5 × 8 = 36 + 0 - 40

det ⁡ A = - 4

Passo 5

(d) da segunda coluna

det ⁡ A = a 12 C 12 + a 22 C 22 + a 32 C 32

Vamos calcular o cofator correspondente a cada entrada da segunda coluna:

C 12 = - 1 1 + 2   M 12 = - 1 × 3 - 5 1       2 = - 3 × 2 - - 5 × 1 = - 6 - - 5 = - 11

C 22 = - 1 2 + 2   M 22 = 1 × - 1 2       1 2 = - 1 × 2 - 2 × 1 = - 2 - 2 = - 4

C 32 = - 1 3 + 2   M 32 = - 1 × - 1       2       3 - 5 = - - 1 × - 5 - 2 × 3 = - 5 - 6 = 1

det ⁡ A = 1 × - 11 + 0 × - 4 + 7 × 1 = - 11 + 0 + 7

det ⁡ A = - 4

Passo 6

(e) da terceira linha

det ⁡ A = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33

Vamos calcular o cofator correspondente a cada entrada da terceira linha:

C 31 = - 1 3 + 1   M 31 = 1 × 1       2 0 - 5 = 1 × - 5 - 2 × 0 = - 5 - 0 = - 5

C 32 = - 1 3 + 2   M 32 = - 1 × - 1       2       3 - 5 = - - 1 × - 5 - 2 × 3 = - 5 - 6 = 1

C 33 = - 1 3 + 3   M 33 = 1 × - 1 1       3 0 = - 1 × 0 - 1 × 3 = 0 - 3 = - 3

det ⁡ A = 1 × - 5 + 7 × 1 + 2 × - 3 = - 5 + 7 - 6

det ⁡ A = - 4

Passo 7

(f) da terceira coluna

det ⁡ A = a 13 C 13 + a 23 C 23 + a 33 C 33

Vamos calcular o cofator correspondente a cada entrada da terceira coluna:

C 13 = - 1 1 + 3   M 13 = 1 × 3 0 1 7 = 3 × 7 - 0 × 1 = 21 - 0 = 21

C 23 = - 1 2 + 3   M 23 = - 1 × - 1 1       1 7 = - - 1 × 7 - 1 × 1 = - - 7 - 1 = 8

C 33 = - 1 3 + 3   M 33 = 1 × - 1 1       3 0 = - 1 × 0 - 1 × 3 = 0 - 3 = - 3

det ⁡ A = 2 × 21 + ( - 5 ) × 8 + 2 × - 3 = 42 - 40 - 6

det ⁡ A = - 4

Resposta

- 4 para todas as alternativas.

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