Enunciado

39. Qual é o número máximo de zeros que uma matriz 4 x 4 pode ter sem ter determinante zero ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Para resolver esse problema vamos analisar uma matriz genérica de ordem 3 e observar as possibilidades de acrescentar zeros sem que seu determinante seja igual a zero.

a 11 a 1 2 a 1 3 a 1 4 a 2 1 a 22 a 1 3 a 1 4 a 3 1 a 32 a 33 a 34 a 4 1 a 42 a 43 a 44

Podemos usar a definição do método de expansão de cofatores para concluir que não podemos ter nenhuma linha ou coluna nula, Para que seu determinante não seja zero.

det ⁡ A = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + … + a n j C n j

[expansão de cofatores ao longo da coluna j ]

det ⁡ A = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + … + a i n C i n

[expansão de cofatores ao longo da linha i ]

Logo temos algumas possibilidades, por exemplo:

a 11 0 0 0 0 a 22 0 0 0 0 a 33 0 0 0 0 a 44 0 a 12 0 0 0 0 a 13 0 a 31 0 0 0 0 0 0 a 44 0 0 0 a 14 0 0 a 13 0 0 a 32 0 0 a 41 0 0 0

E mais outras possibilidades.

Assim a quantidade máxima de zeros que a matriz 4 x 4 pode ter sem que seu determinante seja 0 , são 12 zeros.

Resposta

12 zeros.

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